Aufgabe 1: 20 Punkte

(1)

Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. PW-WST-P11-060610 / WH-WST-P11-060610

Datum 10.06.2006

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genann- ten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Hilfsmittel: — Studienbriefe

Anzahl Aufgaben: - 5 - — HFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: - 100 -

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

max. Punktzahl 20 20 20 20 20

Notenspiegel

Note ^1,0 ^1,3 ^1,7 ^2,0 ^2,3 ^2,7 ^3,0 ^3,3 ^3,7 ^4,0 ^5,0

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5-0

(2)

HFH • Hamburger Fern-Hochschule

PW-WST-P11-060610 / WH-WST-P11-060610-AUFGABEN Seite 2

Aufgabe 1: 20 Punkte

Die folgende Tabelle zeigt die Mengen- und Preisentwicklung eines Warenkorbes mit den ausgewählten Gütern I, II, III, IV, V und VI für die Jahre 2003, 2004 und 2005.

Waren- 2003 2004 2005

korb Menge Preis (€) Menge Preis (€) Menge Preis (€)

I 24 12,00 25 12,50 25 12,80

II 36 15,00 35 16,50 34 16,60

III 25 18,00 24 18,50 24 18,60

IV 21 10,00 20 10,50 21 10,60

V 41 20,00 40 20,00 38 20,80

VI 16 12,00 15 13,00 15 12,80

a) Berechnen Sie die Preisindizes nach Laspeyres für die Berichtsjahre 2004 und 2005

mit dem Basisjahr 2003. (1 Dezimalstelle) 8 P

b) Interpretieren Sie die in a) bestimmten Preisindizes. 4 P

In der nachstehenden Tabelle sind die Jahresgewinne in der Einheit 1.000 € einer Firma für die Jahre 1998 bis 2005 aufgeführt.

Jahr 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Gewinn in 1.000 € 700 720 780 800 760 740 680 640

c) Bestimmen Sie aus den Jahresgewinnen eine Folge von Messzahlen (gegebe-

nenfalls 1 Dezimalstelle) für das Basisjahr 2001. 4 P

d) Berechnen Sie aus den Jahresgewinnen in 1.000 € die gleitenden Mittelwerte 4.

und 5. Ordnung (gegebenenfalls 1 Dezimalstelle). Halten Sie die Werte in einer geeigneten Tabelle fest.

4 P

Aufgabe 2: 20 Punkte

Die Abtropfmasse x (in g) von Kirschen in Gläsern sei normalverteilt mit dem Mittelwert µ_x=700 g und der Standardabweichung σ_x=1,25 g. Der laufenden Produktion wird ein Kirschglas zufallsbedingt entnommen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Abtropfmasse des gewählten Kirschgla-

ses höchstens 702,6 g beträgt? (3 Dezimalstellen) 4 P

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Abtropfmasse des gewählten Kirschgla-

ses mindestens 699,1 g beträgt? (3 Dezimalstellen) 4 P

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Abtropfmasse des gewählten Kirschgla-

ses zwischen 697,6 g und 702,8 g liegt? (3 Dezimalstellen) 5 P d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Abtropfmasse des gewählten Kirschgla-

ses genau 700 g beträgt? 2 P

e) Kirschgläser, deren Abtropfmasse weniger als 696,9 g oder mehr als 703,1 g beträgt, gelten als nicht erwünscht. Mit wie viel Prozent nicht erwünschter Gläser ist etwa zu rechnen? (3 Dezimalstellen)

5 P

(3)

Aufgabe 3: 20 Punkte

Max nimmt an einem Torwandschießen einer bekannten Fastfoodkette teil, um eines der begehrten WM-Tickets zu gewinnen. Max hat wochenlang für diesen Auftritt trainiert. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % erzielt Max einen Treffer an der Torwand. Im Rahmen des Events darf Max 10 mal auf die Torwand schießen. Es sei unterstellt, dass die 10 Schüsse unabhängig voneinander sind. X beschreibe die Anzahl der Treffer bei den 10 unabhängigen Torschussversuchen.

a) Wie viele verschiedene und welche Werte kann x real annehmen? 1 P b) Wie ist die Zufallsvariable x verteilt? Nennen Sie alle zur Berechnung von Wahr-

scheinlichkeiten notwendigen Größen (Parameter). 2 P

c) Bestimmen Sie den Erwartungswert bzw. Mittelwert (1 Dezimalstelle) sowie die Vari-

anz und die Standardabweichung (3 Dezimalstellen) von x. 2 P

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft Max genau 8 mal? (6 Dezimalstellen) 2 P e) Ist es wahrscheinlicher, dass Max genau 5 Treffer oder genau 10 Treffer bei den 10

Versuchen erzielt? (6 Dezimalstellen) 5 P

f) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt Max mindestens 7 Treffer? (6 Dezimalstellen) 4 P g) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt Max höchstens 5 Treffer? (6 Dezimalstellen) 4 P

Aufgabe 4: 20 Punkte

Im Rahmen einer Vergleichsstudie werden in einem Unternehmen der Holzwirtschaft die Durchmesser der Baumstämme ermittelt. Die nachstehende Tabelle zeigt die gemesse- nen

Werte.

Durchmesser xi abs. Häufigkeit fi

5 2

10 3

11 5

15 5

16 10

18 15

20 10

a) Vervollständigen Sie die Tabelle um die Spalten der relativen Häufigkeiten pi und der kumulierten relativen Häufigkeiten

ci

p (Aufwärtskumulierung).

2 P

b) Bestimmen Sie anhand der erweiterten Tabelle den Modus, den Median, das untere

und das obere Quartil und das 3. Dezil. 5 P

c) Vervollständigen Sie die Ausgangstabelle so, dass Sie das arithmetische Mittel und die Varianz berechnen können. Nennen Sie zusätzlich die auf 2 Dezimalstellen ge- rundete Standardabweichung, die Spannweite und den mittleren Quartilsabstand.

9 P

d) Berechnen Sie für die vorstehende Verteilung die Schiefemaße nach Pearson und

Yule (2 Dezimalstellen). Ist die vorliegende Verteilung symmetrisch, linksschief oder 4 P

(4)

PW-WST-P11-060610 / WH-WST-P11-060610-AUFGABEN Seite 4

Aufgabe 5: 20 Punkte

In folgender Tabelle ist für eine Reihe von Firmen der IT-Branche einer Region der Um- satz des Monats März 2006 in der Einheit 10 000 € festgehalten.

Umsatz xi (in 10.000€) Anzahl fi der Firmen

3 80

10 26

24 14

32 2

400 4

a) Erweitern Sie die Tabelle durch geeignete Spalten so, dass Sie damit die Lorenzkurve zeichnen können. Tragen Sie in Ihre Grafik die Gleichverteilungsgerade ein, und schraffieren Sie den Bereich, der für die Stärke der relativen Umsatzkonzentration zu- ständig ist (Vorschlag: 1 cm

^0,1).

12 P

b) Erweitern Sie die Tabelle so, dass Sie den Gini-Koeffizienten (4 Dezimalstellen)

bestimmen können. Interpretieren Sie den Wert. 5 P

c) Welchen prozentualen Anteil am Gesamtumsatz besitzen die 5% umsatzstärksten

Firmen? 3 P

Viel Erfolg!

(5)

Studiengang Wirtschaft (postgradual)

Fach Wirtschaftsstatistik

Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. PW-WST-P11-060610 / WH-WST-P11-060610

Datum 10.06.2006

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich vorgeschrieben:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stossen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung eines Teilschritts führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weiter gerechnet, erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor: Erstkorrektur in rot, evtl. Zweitkorrektur in grün.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebene Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in die Ergebnisliste ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Notenschema zu Grunde zu legen:

Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5–0

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

28. Juni 2006

an Ihr Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine

Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrums- leiter anzuzeigen.

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

max. Punktzahl 20 20 20 20 20

(6)

PW-WST-P11-060610 / WH-WST-P11-060610 - KORREKTURRICHTLINIE Seite 2

Lösung Aufgabe 1: 20 Punkte

a)

2 , 104 12 100

16 20 41 10 21 18 25 15 36 12 24

13 16 20 41 5 , 10 21 5 , 18 25 5 , 16 36 5 , 12

P_L²⁰⁰³^/²⁰⁰⁴ 24 ⋅ =

⋅ +

⋅

⋅ +

= ⋅

106 12 100

16 20 41 10 21 18 25 15 36 12 24

8 , 12 16 8 , 20 41 6 , 10 21 6 , 18 25 6 , 16 36 8 , 12

P_L²⁰⁰³^/²⁰⁰⁵ 24 ⋅ =

⋅ +

⋅

⋅ +

= ⋅

4 P 4 P b) Die Preise sind 2004 unter Verwendung der Mengen des Basisjahres 2003 gegenüber

2003 um 4,2% gestiegen.

Die Preise sind 2005 unter Verwendung der Mengen des Basisjahres 2003 gegenüber 2003 um 6% gestiegen.

2 P 2 P

c) und d)

Jahr 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Gewinn (in 1000 €) 700 720 780 800 760 740 680 640

Messzahlen 87,5 90 97,5 100 95 92,5 85 80

gl. Mittelwert

4. Ordnung − − 757,5 767,5 757,5 725,0 − −

gl. Mittelwert

5. Ordnung − − 752 760 752 724 − −

Lösung Aufgabe 2: 20 Punkte

a)

( ) ( )

1 0,98 0,481 0,5

2,08 z 0 p 0,5 2,08 z 1,25 p

700 702,6 z p ,6) 02 7 p(x

≈ +

≈

≤

≤ +

=

≤

=



 



 −

≤

=

≤ 4 P

b)

( ) ( )

0,764 0,264 0,5

72 , 0 z 0 p 0,5 -0,72 z 1,25 p

700 699,1 z p ) 1 , 99 6 p(x

≈ +

≈

≤

≤ +

=

≥

=



 



 ≥ −

=

≥ 4 P

c)

( )

(

0 z 1,92

) (

p0 z

)

0,473 0,488 0,961 p

z 1,92 - 1,25 p

700 702,8 1,25 z

700 697,6 p ) 7 x p(697,6

≈ +

≈

≤

≤ +

≤

=

≤

=



 



 − ≤ ≤ −

=

≤

24 , 2

24 , 2 8

,

02 5 P

d) p(x=700) = 0 2 P

e)

( )

(

0,56 0,493

)

0,014 1,4% 2

2,48) z p(0 - 0,5 2 2,48) p(z ) 48 , 2 p(z 703,1) p(x

696,9) p(x

≈

−

⋅

≈

≤

⋅

=

>

+

−

<

=

<

+

< 5 P

4 P

2 P 2 P

(7)

Lösung Aufgabe 3: 20 Punkte

a) x kann nur die Werte 0,1,2,...,10 annehmen. Das sind 11 verschiedene Werte. 1 P

b) x ist binomialverteilt mit (n=10; p=0,75). 2 P

c)

( )

1,3693 σ

1,875 0,25 0,75 10 p 1 p n σ

7,5 0,75 10 p n x Ε

x 2x

=

⋅

=

−

⋅

=

⋅

=

⋅

=

2 P

d)

( )

0,75 0,25 0,281568

8 8 10 x

p ⋅ ⁸⋅ ² ≈



 



=

= 2 P

e)

( )

^0,75 ^0,25 ^0,056314

10 1 10 x p

0,058399 0,25

5 0,75 5 10 x p

0 10

5 5

≈

⋅

⋅



 



=

=

≈

⋅

⋅



 



=

= 0

2 P 2 P

Es ist wahrscheinlicher, dass Max genau 5 mal trifft. 1 P

f)

( )

0,775876 0,056314

0,187712 0,281568

0,250282 7)

(x p

0,187712 0,25

9 0,75 9 10 x p

0,250282 0,25

7 0,75 7 10 x p

1 9

3 7

= +

+ +

=

≥

≈

⋅

⋅



 



=

=

≈

⋅

⋅



 



=

=

Max erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,775876 mindestens 7 Treffer.

4 P

g)

( )

0,078126 6)

p(x 5)

(x p

0,921874 775876

6) (x p

0,145998 0,25

6 0,75 6 10 x

p ⁶ ⁴

=

−

=

≥

−

=

≤

= +

=

≥

≈

⋅

⋅



 



=

=

921874 , 0 1 1

, 0 145998 , 0

4 P

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,078126 trifft er höchstens 5 mal.

(8)

Lösung Aufgabe 4: 20 Punkte

a)

xi fi pi Fi=

ci

p

5 2 0,04 0,04

10 3 0,06 0,10

11 5 0,10 0,20

15 5 0,10 0,30

16 10 0,20 0,50

18 15 0,30 0,80

20 10 0,20 1,00

50 b)

d=18 1 P x~=0,5⋅

(

16+18

)

=17 1 P

Q1=15 1 P Q3 = 18 1 P

(

¹⁵ ¹⁶

)

¹⁵^,⁵

5 , 3 0

D = ⋅ + = 1 P

c)

xi fi xifi

( )

^x_i⁻^x²^⋅^f_i

5 2 10 242

10 3 30 108

11 5 55 125

15 5 75 5

16 10 160 0

18 15 270 60

20 10 200 160

50 800 700

50 16

x = 800 = 1,5 P ^s²^x ⁼ ⁷⁰⁰₅₀ ⁼¹⁴ 1,5 P

74 , 3 14 s_x = ≈

1 P R=20−5=15 1 P

5 , 2 1

15 Q 18− =

= 1 P

d)

33 , 3 0 1 15

18

) 15 17 ( ) 17 18 ( ) Y sk(

80 , 14 0

) 17 16 ( 3 ) P sk(

−

≈

−

− =

−

= −

−

− ≈

= 1,5 P

1,5 P

Es liegt eine linksschiefe Verteilung vor. 1 P

1 P 1 P

1 P 2 P

(9)

Lösung Aufgabe 5: 20 Punkte

a)

xi f_i x f_i⋅ _i p_i P_i F_i S_i

3 80 240 0,6349 0,0960 0,6349 0,0960

10 26 260 0,2063 0,1040 0,8412 0,2000

24 14 336 0,1111 0,1344 0,9523 0,3344

32 2 64 0,0159 0,0256 0,9682 0,3600

400 4 1600 0,0317 0,6400 1,000 1,0000

126 2.500

pi S_i S_i+S_{i 1}₋ p (S_i⋅ _i +S )_{i 1}₋

0,6349 0,0960 0,0960 0,0610

0,2063 0,2000 0,2960 0,0611

0,1111 0,3344 0,5344 0,0594

0,0159 0,3600 0,6944 0,0110

0,0317 1,0000 1,3600 0,0431

0,2356 5 P

1 P 1,5 P 1,5 P 1,5 P 1,5 P

1,5 P 1,5 P

b)

(10)

G = 1 – 0,2356 = 0,7644 1 P

Da G schon relativ nahe 1 liegt, kann von einer relativ hohen Konzentration des Umsatzes

gesprochen werden. 1 P

b) 5% von 126 Firmen sind 6 (6,3) Firmen. Die umsatzstärksten 6 Firmen haben einen prozentualen Anteil am Gesamtumsatz von

(4* 400 + 2* 32)* 100 / 2.500 = 66,56 % 3 P