Datum 3.12.2005
Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:
• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.
• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.
• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.
• Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.
• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genann- ten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.
Bearbeitungszeit: 120 Minuten Hilfsmittel: — Studienbriefe
Anzahl Aufgaben: - 5 - — HFH-Taschenrechner
Höchstpunktzahl: - 100 -
Bewertungsschlüssel
Aufgabe 1 2 3 4 5
max. Punktzahl 20 20 20 20 20
Notenspiegel
Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0
notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5-0
PW-WST-P11-051203 / WH-WST-P11-051203-AUFGABEN Seite 2
Aufgabe 1: 20 Punkte
Ein mittelständisches Unternehmen produziert Blattetiketten von der Rolle. Die Wahr- scheinlichkeit, dass bei der Bedienung der Etikettiermaschine innerhalb von 90 Minuten ein Rollenwechsel vorzunehmen ist, sei konstant 12%. Das Unternehmen produziert auf sieben derartiger Maschinen, die alle unabhängig voneinander arbeiten. X sei die Anzahl der Etikettiermaschinen von den sieben, bei denen innerhalb von 90 Minuten ein (Rollen-)wechsel erforderlich wird.
a) Welche und wie viele verschiedene Werte kann die Zufallsvariable x annehmen? 1 P b) Wie ist x verteilt? Nennen Sie alle zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten not-
wendigen Größen (Parameter). 2 P
c) Bei wie vielen Maschinen wird im genannten Zeitraum im Mittel ein Rollenwechsel
erforderlich sein? Wie groß sind die Varianz und die Standardabweichung von x? 5 P d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei genau einer Maschine während der
nächsten 90 Minuten ein Rollenwechsel erforderlich wird?
(6 Dezimalstellen)
2 P
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei höchstens einer Maschine während der nächsten 90 Minuten ein Wechsel erforderlich wird?
(6 Dezimalstellen)
3,5 P
f) Was ist wahrscheinlicher: während der nächsten 90 Minuten ist bei genau 2 oder
bei genau 3 Maschinen ein Rollenwechsel erforderlich? (6 Dezimalstellen) 6,5 P
Aufgabe 2: 20 Punkte
In nachstehender Tabelle sind für die Jahre 1999 bis 2004 die jährlichen Kosten für Wer- bemittel x in Tausend € und der jeweilige Jahresumsatz y in Mill. € festgehalten.
1999 2000 2001 2002 2003 2004
x 3 4 5 8 10 12
y 15 18 21 24 28 32
a) Berechnen Sie den Wert des Korrelationskoeffizienten (2 Dezimalstellen), und inter-
pretieren Sie Ihr Ergebnis. 8 P
b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x. (2 Dezi-
malstellen) 5 P
c) Nennen und interpretieren Sie den Regressionskoeffizienten. 3 P d) Schätzen Sie den im Mittel zu erwartenden Jahresumsatz in Mill. €, wenn der jährliche
Werbungsaufwand 7 bzw. 11 Tausend € betragen wird. 4 P
In der nachstehenden Tabelle sind die Körpergrößen in cm von Kindern dreier Grund- schulklassen einer Stadt klassifiziert festgehalten:
Körpergröße x in cm von xiu bis unter xio
Anzahl fi
der Schulkinder
126 − 130 12
130 − 132 8
132 − 136 16
136 − 140 16
140 − 144 12
144 − 146 16
a) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, die Varianz und die Standardabweichung der
Körpergrößen. 7 P
b) Erweitern Sie die obige Tabelle so, dass Sie das erste Quartil Q1, den Median und
das 3. Quartil berechnen können. 7 P
c) Bestimmen Sie die maximale Körpergröße von 55% der kleinsten Schulkinder? 3 P d) Wie groß ist das kleinste Schulkind der 10% größten Kinder? 3 P
Aufgabe 4: 20 Punkte
In einer Papierfabrik in Dörpen wird gestrichenes Papier hergestellt. Das Flächengewicht x des Papiers sei normalverteilt mit dem Mittelwert 135 g/m² und der Standardabweichung 1,25 g/m².
Der laufenden Produktion werden nach dem Zufallsprinzip Papierbogen entnommen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Flächengewicht des Papiers höchstens
137,6 g/m² beträgt? (3 Dezimalstellen) 3,5 P
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Flächengewicht des Papiers wenigs-
tens 132,2 g/m² beträgt? (3 Dezimalstellen) 3,5 P
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Flächengewicht des Papiers mindes-
tens 134 g/m² und höchstens 136,6 g/m² beträgt? (3 Dezimalstellen) 5 P d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Flächengewicht des Papiers genau 135
g/m² beträgt? 2 P
e) Das Papier wird u. a. nicht in den Verkauf gegeben, wenn das Flächengewicht des Papiers mehr als das 2,4fache von der Standardabweichung nach oben abweicht.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig der Produktion entnommener Bogen sich als nicht verkäuflich darstellt? (3 Dezimalstellen)
4 P
PW-WST-P11-051203 / WH-WST-P11-051203-AUFGABEN Seite 4
Aufgabe 5: 20 Punkte
a) Für die Waren A, B, C, D und E eines Warenkorbs sind in der nachstehenden Tabelle die Verbrauchsmengen und die Preise je Einheit in den Jahren 2003 und 2004 auf- geführt.
2003 2004
Waren Menge qi03 Preis pi03 Menge qi04 Preis pi04
A 8 9 9 10
B 10 5 9 6
C 12 11 12 11
D 13 10 13 9
E 8 2 6 3
1. Berechnen Sie unter Zugrundelegung des Basisjahres 2003 den Preisindex nach
Laspeyres für das Berichtsjahr 2004, und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. 5 P 2. Bestimmen Sie unter Zugrundelegung des Basisjahres 2003 den Preisindex nach
Paasche für das Berichtsjahr 2004, und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. 5 P b) In der nachstehenden Tabelle sind die Gewinnindizes eines Unternehmens d in der
Reihe 1 für die Jahre 1994 bis 1998 bezogen auf das Basisjahr 1994 und in der Rei- he 2 für die Jahre 1998 bis 2004 bezogen auf das Basisjahr 1998 aufgeführt.
Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Reihe 1 100 105 110 120 125
Reihe 2 100 104 112 116 108 120 124
1. Verketten Sie die beiden Reihen durch Fortschreibung zu einer Reihe mit dem
Basisjahr 1994. 6 P
2. Verketten Sie die beiden Reihen durch Rückrechnung zu einer Reihe mit dem
Basisjahr 1998. 4 P
Viel Erfolg!
Studiengang Wirtschaft (postgradual) / HTL
Fach Wirtschaftsstatistik
Art der Leistung Prüfungsleistung
Klausur-Knz. PW-WST-P11-051203 / WH-WST-P11-051203
Datum 3.12.2005
Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich vorgeschrieben:
• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.
• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.
• Stossen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.
• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung eines Teilschritts führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weiter gerechnet, erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.
• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor: Erstkorrektur in rot, evtl. Zweitkorrektur in grün.
• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebene Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in die Ergebnisliste ein.
• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Notenschema zu Grunde zu legen:
Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0
notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5–0
• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum
21.12.2005
an Ihr Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine
Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrums- leiter anzuzeigen.
Bewertungsschlüssel
PW-WST-P11-051203 / WH-WST-P11-051203 - KORREKTURRICHTLINIE Seite 2
Lösung Aufgabe 1: 20 Punkte
a) x kann nur die Werte 0,1,2,...,7 annehmen. Das sind 8 verschiedene Werte. 1 P
b) x ist binomialverteilt mit (n=7; p=0,12). 2 P
c)
( )
0,859767 0,7392
σ
0,7392 0,88
0,12 7 p 1 p n σ
0,84 0,12 7 P n E(x)
x 2x
=
=
=
⋅
⋅
=
−
⋅
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
5 P
d)
( )
0,12 0,88 0,390099 11 7 x
p = = ⋅ 1⋅ 6≈
2 P
e)
( )
(
x 1)
0,390099 0,408676 0,798769 p0,408676 0,88
0 0,12 0 7
x
p 0 7
≈ +
≈
≤
≈
⋅
⋅
=
=
3,5 P
f)
( )
( )
0,12 0,88 0,036270 33 7 x p
0,159586 0,88
2 0,12 2 7
x
4 3
5 2
≈
⋅
⋅
=
=
≈
⋅
⋅
=
=
p
Es ist wahrscheinlicher, dass bei genau zwei Maschinen innerhalb der nächsten 90 Minuten ein Rollenwechsel erforderlich wird.
2,5 P 2,5 P
1,5 P
Lösung Aufgabe 2: 20 Punkte
a)
xi yi xi−
x
yi−y
(xi−x
)² (yi−y
)² (xi−x
)( yi−y
)3 15 −4 −8 16 64 32
4 18 −3 −5 9 25 15
5 21 −2 −2 4 4 4
8 24 1 1 1 1 1
10 28 3 5 9 25 15
12 32 5 9 25 81 45
42 138 64 200 112
42 138
x 7 ; y 23
6 6
r 112 0,9899 0,99 64 200
= = = =
= ≈ ≈
⋅
3 P
Da der Wert von r relativ sehr nahe 1 liegt, ist das lineare Modell relativ sehr gut geeignet. 2 P 3 P
yx yx
b 112 1,75 ; a 23 1,75 7 10,75
= 64 = = − ⋅ =
Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x lautet: yˆ=10,75+1,75x. 5 P c) Der Regressionskoeffizient lautet 1,75. Bei einer Zunahme des Werbungsaufwands
um 1 Einheit (1 Tsd. €) nimmt der Jahresumsatz im Mittel um 1,75 Einheiten (Mill. €) zu.
d)
30 11 75 , 1 75 , 10 ) 11 ( yˆ
23 7 75 , 1 75 , 10 ) 7 ( yˆ
=
⋅ +
=
=
⋅ +
=
3 P
4 P
Lösung Aufgabe 3: 20 Punkte
a)
von xu bis xo xi fi xi·fi (xi-x)² (xi-x)²·fi
126 - 130 128 12 1.536 81 972
130 - 132 131 8 1.048 36 288
132 - 136 134 16 2.144 9 144
136 - 140 138 16 2.208 1 16
140 - 144 142 12 1.704 25 300
144 - 146 145 16 2.320 64 1.024
80 10.960 2.744
5,8566 s
34,3;
80 s 2744 80 137;
10960
x= = 2x= = x= 3 P
b)
2 P 2 P 2 P
von xu bis xo fic
126 - 130 12
130 - 132 20
132 - 136 36 1 P
136 - 140 52
140 - 144 64
144 - 146 80
c)
138 16 4
36 - 136 44 P 44 80 0,55 :
P55 ⋅ = 55= + ⋅ =
Die maximale Körpergröße der von 55% der kleinsten Schulkinder beträgt 138 cm.
3 P 4 P
142,67 12 4
52 - 140 60 Q 60 80 0,75 : Q
137 16 4
36 - 136 40 x Q 40 80 0,50 : Q
132 Q 20 80 0,25 : Q
3 3
2 2
1 1
≈
⋅ +
=
=
⋅
=
⋅ +
=
=
=
⋅
=
=
⋅
~
PW-WST-P11-051203 / WH-WST-P11-051203-KORREKTURRICHTLINIE Seite 4
Lösung Aufgabe 4: 20 Punkte
a)
( ) ( )
1 0,98 0,481 0,5
2,08 z
0 p 0,5 2,08 z
1,25 p 135 137,6 z
p 137,6) p(x
≈ +
≈
≤
≤ +
=
≤
=
−
≤
=
≤
3,5 Pb)
( ) ( )
0,988 0,488
0,5
2,24 z
0 p 0,5 -2,24 z
1,25 p 135 132,2 z
p 132,2) p(x
≈ +
≈
≤
≤ +
=
≥
=
≥ −
=
≥
3,5 Pc)
( )
(
0 z 0,8) (
p0 z 28)
0,288 0,400 0,688 pz 0,8 - 1,25 p
135 136,6 1,25 z
135 p 134 136,6) x p(134
≈ +
≈
≤
≤ +
≤
≤
=
≤
≤
=
− ≤ ≤ −
=
≤
≤
, 1
28 ,
1 5 P
d) p(x=135) = 0 2 P
e)
( ) ( )
0,008 0,492
0,5
2,4 z 0 p - 0,5 2,4 z 1,25 p
135 z 138
p 138) p(x
≈
−
≈
≤
≤
=
≥
=
≥ −
=
≥
4 Pf)
2 250 008 ,
0 ⋅ =
Es ist zu erwarten, dass 2 Bogen je Paket Ausschuss sind.
2 P
Lösung Aufgabe 5: 20 Punkte
a)
1. 100 103,25
400 100 413 2 8 10 13 11 12 5 10 9 8
3 8 9 13 11 12 6 10 10
PL03/04 8 ⋅ = ⋅ =
⋅ +
⋅ +
⋅ +
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅ +
⋅ +
⋅ +
= ⋅
Die Preise sind 2004 (unter Verwendung der Mengen des Basisjahres 2003) gegenüber 2003 um 3,25% gestiegen.
3 P
2 P
2. 100 102,75
400 100 411 2 6 10 13 11 12 5 9 9 9
3 6 9 13 11 12 6 9 10
PP03/04 9 ⋅ = ⋅ =
⋅ +
⋅ +
⋅ +
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅ +
⋅ +
⋅ +
= ⋅
Die Preise sind 2004 (unter Verwendung der Mengen des Berichtsjahres 2004) gegenüber 2003 um 2,75% gestiegen.
3 P
2 P
b) je Wert 1 P,
max. 10 P
Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Reihe 1 100 105 110 120 125 130 140 145 135 150 155
Reihe 2 80 84 88 96 100 104 112 116 108 120 124
