Aufgabe 1: 20 Punkte

Studiengang Betriebswirtschaft

Fach Wirtschaftsstatistik

Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. WI-WST-P12-031004

Datum 04.10.2003

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

· Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

· Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.

· Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

· Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

· Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genann- ten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Hilfsmittel: — Studienbriefe

Anzahl Aufgaben: - 5 - — HFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: - 100 -

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

max. Punktzahl 20 20 20 20 20

Notenspiegel

Note ^{1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0}

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5-0

HFH · Hamburger Fern-Hochschule

Klausuraufgaben Wirtschaftsstatistik, WI-WST-P12-031004 Seite 2 von 4

Aufgabe 1: 20 Punkte

Zur Senkung der Arbeitslosenzahl will die Bundesregierung ein Subventionsprogramm für Unternehmen in den neuen Bundesländern starten. Vorbereitend werden hierzu zu- fallsbedingt sechs große Unternehmen ausgewählt, die nach ihrer letztjährigen Investiti- onshöhe in Mio. € und nach der Anzahl der daraufhin vorgenommenen Neueinstellungen befragt werden. Das Ergebnis ist folgender Tabelle zu entnehmen.

Investitionshöhe x in Mio. € 1 4 6 9 10 12

Neueinstellungen y in 100 4 5 8 10 12 15

a) Es wird vermutet, dass zwischen der Investitionshöhe x (in Mio. €) und der davon abhängigen Zahl y der Neueinstellungen (in der Einheit 100) tendenziell ein linearer Zusammenhang existiert. Ermitteln Sie anhand einer geeigneten Tabelle den Wert des Determinationskoeffizienten (Bestimmtheitsmaß), auf 2 Dezimalstellen gerundet, und nehmen Sie aufgrund Ihres Ergebnisses zur geäußerten Vermutung Stellung.

b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x.

c) Nennen und interpretieren Sie den Regressionskoeffizienten.

d) Wie lauten Ihre Prognosen für die im Mittel zu erwartenden Neueinstel- lungen in der Einheit 100 für die Investitionshöhe 5 Mio. € ?

9 P.

6 P.

3 P.

2 P.

Aufgabe 2: 20 Punkte

Im Jahr 2002 erzielten die Unternehmen einer bestimmten Branche in Deutsch- land folgende Umsätze in der Einheit 10.000 €.

Umsatz x_i in 10.000 € Anzahl f_i der Unternehmen

20 10

25 6

30 1

70 2

260 3

400 3

a) Erweitern Sie die vorstehende Tabelle so, dass Sie die zugehörige Lorenzkurve zeichnen können. Tragen Sie in die Grafik die Gleichvertei- lungsgerade ein und schraffieren Sie den Bereich, der für die Stärke der rela- tiven Umsatzkonzentration zuständig ist. (Vorschlag: 1 cm =ˆ 0,1)

b) Nennen Sie den Anteil der 24% umsatzstärksten Unternehmen am Gesamtumsatz aller Unternehmen.

c) Erweitern Sie Ihre Tabelle zu a) durch geeignete Spalten so, dass Sie den Gini-Koeffizienten (4 Dezimalstellen) bestimmen können. Interpretieren Sie das Ergebnis.

10 P.

4 P.

6 P.

Ein Verkäufer von Dosenbier unterstellt, dass die Wahrscheinlichkeit, eine verkaufte Bierdo- se wieder zurückzuerhalten, stets konstant 0,75 beträgt. Zur Überprüfung werden die an einem Vormittag verkauften 12 Pfanddosen durchnummeriert. Es beschreibe x die Zahl der zurückgegebenen Dosen von den 12 nummerierten Bierdosen.

a) Wie ist die Zufallsvariable x verteilt? Nennen Sie alle zur Berechnung von Wahrschein- lichkeiten notwendigen Parameter.

b) Wie viele zurückgegebene Dosen von den 12 verkauften Bierdosen sind im Mittel zu erwarten? Welche Standardabweichung besitzt x?

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden von den 12 Dosen genau 9 zurückgegeben?

Halten Sie in dieser Rechnung das Ergebnis auf 5 Dezimalstellen fest und runden Sie das Endergebnis auf 4 Dezimalstellen.

d) Ist es wahrscheinlicher, dass 9 oder dass 10 Dosen zurückgegeben werden?

[Beachten Sie den Hinweis unter c).]

e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 11 Dosen zurückgegeben?

[Beachten Sie den Hinweis unter c).]

f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 8 Dosen zurückgegeben werden?

[Beachten Sie den Hinweis unter c).]

2 P.

3 P.

3,5 P.

4 P.

4 P.

3,5 P.

Aufgabe 4: 20 Punkte

In der folgenden Tabelle ist die Verteilung des Verkaufspreises x in € eines bestimmten DVD-Players in ausgewählten Geschäften der Unterhaltungselektronik einer Stadt klassifiziert festgehalten.

Verkaufspreis x in € von xiu bis unter xio

Anzahl fi

der Geschäfte

126 - 130 12

130 - 132 8

132 - 136 16

136 - 140 16

140 - 144 12

144 - 146 16

a) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, die Varianz und die auf 2 Dezimalstellen gerun- dete Standardabweichung der Verkaufspreise.

b) Erweitern Sie die in der Aufgabenstellung gegebene zweispaltige Tabelle durch Hinzufü- gen der Spalte der kumulierten absoluten Klassenhäufigkeiten, so dass Sie durch Fein- berechnung das erste Quartil, den Median und das auf 2 Dezimalstellen gerundete 3. Quartil bestimmen können.

c _a) Bestimmen Sie durch Feinberechnung den maximalen Verkaufspreis des Players der 55% billigsten Anbieter.

c _b) Welchen Mindestpreis fordern die 15% teuersten Anbieter für den Player?

8 P.

8 P.

2 P.

2 P.

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Klausuraufgaben Wirtschaftsstatistik, WI-WST-P12-031004 Seite 4 von 4

Aufgabe 5: 20 Punkte

Eine Firma benutzt eine Maschine zum Füllen einer Bio-Entkalkerlösung in besonders umweltfreundliche Leichtflaschen. Die eingefüllte Menge x ist dabei normalverteilt mit dem Mittelwert mx=250 ml und der Standardabweichung sx=1,25 ml.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Einfüllmenge einer der laufenden Produktion zufällig entnommenen Flasche höchstens 250,7 ml beträgt? (3 Dezimalstellen)

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Einfüllmenge einer der laufenden Produktion zufällig entnommenen Flasche mindestens 251,6 ml beträgt? (3 Dezimalstellen)

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Einfüllmenge einer der laufenden Produktion zufällig entnommenen Flasche mindestens 247,1 ml und höchstens 251,3 ml beträgt? (3 Dezimalstellen)

d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Einfüllmenge einer der laufenden Produktion zufällig entnommenen Flasche genau 255 ml beträgt?

e) Die Einfüllmenge einer derartigen Flasche ist zu beanstanden, wenn sie vom Mittelwert 250 ml um mehr als 3,2 ml nach oben bzw. nach unten ab- weicht. Zum Verkauf an den Handel werden die Flaschen in Paketen zu 100 Flaschen angeboten. Wie viele zu beanstandende Flaschen haben Sie im Mittel je Paket zu erwarten?

4 P.

4 P.

5 P.

2 P.

5 P.

Viel Erfolg!

Lösung Aufgabe 1: 20 Punkte

a)

x

y

x

y

(x

)² (y

)² (x

)( y

)

1 4

6

5 36 25 30

4 5

3

4 9 16 12

6 8

1

1 1 1 1

9 10 2 1 4 1 2

10 12 3 3 9 9 9

12 15 5 6 25 36 30

42 54 84 88 84

2 2

42 54

x 7 ; y 9

6 6

84 84

r 0,95

84 88 88

= = = =

= = »

×

Da r² sehr nahe an +1 liegt, ist das lineare Modell relativ gut geeignet.

yx yx

b) b 84 1 84

a 9 1 7 2

= =

= - × =

Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x lautet:

ˆy 2 x

c) b

=1 Mit der Zunahme der Investition um 1 Einheit (um 1 Mio. €) ist im Mittel eine Zunahme der Neueinstellungen um 1 Einheit (um 100 Personen) verbunden.

d)

Lösung Aufgabe 2: 20 Punkte

a)

x

f

x

f

p

P

F

S

20 10 200 0,40 0,080 0,40 0,080

25 6 150 0,24 0,060 0,64 0,140

30 1 30 0,04 0,012 0,68 0,152

70 2 140 0,08 0,056 0,76 0,208

260 3 780 0,12 0,312 0,88 0,520

400 3 1200 0,12 0,480 1,00 1,000

25 2500

3 P

2 P 2 P 1 P

2 P 2 P

3 P

3 P

2 P

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Korrekturrichtlinie WI-WST-P12-031004 Seite 2 von 5

b) 24% von 25 Unternehmen sind 6 Unternehmen. Die 6 umsatzstärksten Unternehmen haben einen Gesamtumsatz von 1200 + 780 = 1980 Ein- heiten. Der Anteil beträgt

1980 0,480 0,312 0,792 .

2500 = + =

c)

p

S

S

+S

p

(S

+S

) 0,40 0,080 0,080 0,03200 0,24 0,140 0,220 0,05280 0,04 0,152 0,292 0,01168 0,08 0,208 0,360 0,02880 0,12 0,520 0,728 0,08736 0,12 1,000 1,520 0,18240 0,39504

G 1 0,39504 0,60496 0,6050

Da G schon relativ nahe 1 liegt, kann von einer stärkeren relativen Umsatzkonzentration gesprochen werden.

F

S

5 P

4 P

1P 1P

2 P

2 P

a) x ist binomialverteilt B(n=12 ; p=0,75).

x 2 x x

b) n p 12 0,75 9

n p (1 p) 12 0,75 0,25 2,25 2,25 1,5

m = × = × =

s = × × - = × × =

s = =

9 3

c) p(x 9) 12 0,75 0,25 0,25810 0,2581 9

= =æ öç ÷ × » » è ø

10 2

d) p(x 10) 12 0,75 0,25 0,23229 0,2323 10

= =æ öç ÷ × » »

è ø

Es ist wahrscheinlicher, dass 9 Dosen zurückgegeben werden.

11 1

12 0

e) p(x 11) p(x 11) p(x 12) 0,12671 0,03168 0,15839 0,1584 p(x 11) 12 0,75 0,25 0,126705 0,12671

11

p(x 12) 12 0,75 0,25 0,03168 12

³ = = + = » + » »

= =æ öç ÷ × » »

è ø

= =æ öç ÷ × » è ø

f ) p(x 8) 1 p(x 9) 1 {0,25810 0,23229 0,15839} 0,35122 0,3512£ = - ³ » - + + » »

Lösung Aufgabe 4: 20 Punkte

a)

von x

bis unter x

x

f

x

f

(x

137)² (x

137)²f

126

130 128 12 1536 81 972

130

132 131 8 1048 36 288

132

136 134 16 2144 9 144

136

140 138 16 2208 1 16

140

144 142 12 1704 25 300

144

146 145 16 2320 64 1024

80 10960 2744 2 P

2 P

1 P 1P 1P

3,5 P

4 P

4 P

3,5 P

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Korrekturrichtlinie WI-WST-P12-031004 Seite 4 von 5

2 x x

10960

x 137

80

s 2744 34,3 80

s 5,86

= =

= =

»

b)

von x

bis unter x

f

f

126

130 12 12

130

132 8 20

132

136 16 36

136

140 16 52

140

144 12 64

144

146 16 80

1 2

3

0,25 80 20 Q 132

40 36

0,50 80 40 Q x 136 4 137

16 60 52

0,75 80 60 Q 140 4 142,67 12

× = ® =

× = ® = = + - × =

× = ® = + - × »

%

c)

55

44 36

) 0,55 80 44 P 136 4 138 16

a × = ® = + - × =

Der Verkaufspreis beträgt höchstens 138 €.

85

) 1 0,15 0,85 0,85 80 68 68 64

P 144 2 144,5

16

b - = ® × =

® = + - × =

Der Verkaufspreis beträgt wenigstens 144,50 €.

2 P

2 P 2 P 2 P

2 P 2 P 2 P

2 P

2 P

250,7 250

a) p(x 250,7) p z p(z 0,56) 1,25

0,5 p(0 z 0,56) 0,5 0,212 0,712

æ - ö

£ = çè £ ÷ø= £

= + £ £ » + »

251,6 250

b) p(x 251,6) p z p(z 1,28) 1,25

0,5 p(0 z 1,28) 0,5 0,400 0,100

æ - ö

³ = çè ³ ÷ø= ³ =

= - £ £ » - »

247,1 250 251,3 250

c) p(247,1 x 251,3) p z p( 2,32 z 1,04)

1,25 1,25

p(0 z 2,32) p(0 z 1,04) 0,490 0,351 0,841

- -

æ ö

£ £ = çè £ £ ÷ø= - £ £ =

= £ £ + £ £ » + »

d) p(x 255) 0= =

e)

[ ]

[

]

2

) 56 , 2 0 ( 5 , 0 2 ) 56 , 2 ( 2 ) 56 , 2 ( ) 56 , 2 (

25 , 1

250 2 , 3 250 25

, 1

250 2 , 3 250

) 2 , 3 250 (

) 2 , 3 250 (

)

"

tan ("

» -

×

»

£

£ -

×

=

³

×

=

³ + -

£

÷= ø ç ö

è

æ > + -

÷ + ø ç ö

è

æ < - -

= +

>

+ -

<

=

z p z

p z

p z

p

z p z

p

x p x

p den beans

p

Je Paket ist im Mittel eine zu beanstandende Flasche zu erwarten.

4 P

4 P

5 P

2 P

5 P