Prof.Dr. W.Koepf
Dr. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung¨
Ubungsblatt 09¨ COMPUTERALGEBRA II 13.01.2011
Aufgabe 1: (Taylorreihen impliziter Funktionen) (a) Benutzen Sie das Newtonverfahren, um√3
7 zu approximieren (um also die Gleichungf(x) = x3−7 = 0 numerisch zu l¨osen). Geben Sie die ersten 5 Approximationen beginnend mit dem Startwert 2 in einer sinnvollen numerischen Genauigkeit an. Bestimmen Sie die Differenzen zum exakten Wert auf 20 Dezimalstellen. Woran sieht man die quadratische Konvergenz?
(b) Nun betrachten wir statt f : R → R eine Funktion F : R[[x]] → R[[x]], gegeben durch F(y) =x2y +y2x −y −1. Sei ferner y0 =−1. Dann k¨onnen wir die Taylorreihe von y(x) aus der implizit gegebenen Gleichung F(y) = 0 bestimmen.
(i) Bestimmen Sie die explizite L¨osungy(x).
(ii) Bestimmen Sie hieraus das Taylorpolynom vom Grad 15.
(iii) Verwenden Sie die Programme ImplicitTaylor und FastImplicitTaylor aus Ab- schnitt 10.5 zur Berechnung der abgebrochenen Taylorreihen vom Grad 127. Vergleichen Sie die Rechenzeiten.
Bestimmen Sie nun eine holonome Differentialgleichung f¨ur die Funktiony(x).
(iv) Bestimmen Sie aus der expliziten L¨osung die holonome Differentialgleichung vony(x).
(v) Verwenden Sie die Methode aus Abschnitt 10.4 zur erneuten Bestimmung der Differen- tialgleichung vony(x) (ohne SpecialFunctions).
(10 Punkte)
Aufgabe 2: (Fasenmyer-Algorithmus)
Verwenden Sie die Prozedur FasenmyerREaus der Vorlesung, um eine geschlossene Form f¨ur
Sn=
n
X
k=0
(−1)k n
k 3
zu bestimmen. Stellen Sie die in der geschlossenen Form auftretenden Pochhammersymbole als
Fakult¨aten dar. (6 Punkte)
Abgabetermin:bis sp¨atestens Donnerstag, 20.01.2011, 08.15 Uhr ansprenger@mathematik.uni-kassel.de.
