Aufgabe 1: 20 Punkte

(1)

Datum 20.05.2006

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genann- ten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Hilfsmittel: — Studienbriefe

Anzahl Aufgaben: - 5 - — HFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: - 100 -

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

max. Punktzahl 20 20 20 20 20

Notenspiegel

Note ^1,0 ^1,3 ^1,7 ^2,0 ^2,3 ^2,7 ^3,0 ^3,3 ^3,7 ^4,0 ^5,0

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5-0

(2)

Studiengang Betriebswirtschaft HFH • Hamburger Fern-Hochschule

BW-WST-P11-060520-AUFGABEN Seite 2

Aufgabe 1: 20 Punkte

In der nachstehenden Tabelle ist für eine Anzahl von Betrieben des Maschinenbaus der Umsatz im Monat Oktober 2005 in der Einheit 10000 € festgehalten.

Umsatz xi in 10000 € Anzahl fi der Betriebe

1 80

2 10

30 5

150 3

650 2

a) Erweitern Sie die vorstehende Tabelle durch geeignete Spalten so, dass Sie damit die Lorenzkurve zeichnen können. Tragen Sie in Ihre Grafik die Gleichverteilungsgerade ein, und schraffieren Sie den Bereich, der für die Stärke der relativen Umsatzkonzent- ration zuständig ist. (Vorschlag: 1 cm = 0,10 )

11 P

b) Erweitern Sie die Tabelle so, dass Sie den Gini-Koeffizienten (3 Dezimalstellen) bestimmen können. Zwischenrechnungen sind dabei mit bis zu 5 Dezimalstellen zu berücksichtigen. Interpretieren Sie den Wert des Gini-Koeffizienten.

6 P

c) Welchen prozentualen Anteil am Gesamtumsatz besitzen die 5% umsatzstärksten

Betriebe? 3 P

Aufgabe 2: 20 Punkte

Bei einer Nachrichtenübermittlung wird ein Zeichen mit der Wahrscheinlichkeit 0,85 richtig übertragen. Eine Nachricht soll aus 12 Zeichen bestehen. Es beschreibe x die Anzahl der korrekt übertragenen Zeichen der obigen Nachricht.

a) Wie viele verschiedene Werte kann x real annehmen? 1 P

b) Wie ist x verteilt. Nennen Sie alle zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten notwen-

digen Parameter. 1,5 P

c) Berechnen Sie den Erwartungswert (1 Dezimalstelle) und die Varianz (2 Dezimalstel-

len) von x. 2 P

d) Bestimmen und notieren Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle Zeichen der Nachricht richtig übertragen werden auf 8 Dezimalstellen, und runden Sie dann das Ergebnis auf 6 Dezimalstellen.

2,5 P

e) Ist es wahrscheinlicher, dass 11 Zeichen der Nachricht oder 10 Zeichen korrekt über- geben werden? Berechnen und notieren Sie Ihren Wert zunächst mit 8 Nachkomma- stellen, und runden Sie danach alles auf 6 Dezimalstellen.

6 P

f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von der Nachricht mindestens 9 Zeichen richtig übertragen werden? Zwischenrechnungen sind mit 8 Dezimalstellen zu erfas- sen. Das Ergebnis ist auf 6 Nachkommastellen zu runden.

3,5 P

g) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 12 Zeichen der Nachricht weniger als 8 Zeichen richtig übertragen werden? Zwischenrechnungen sind mit 8 Dezimal- stellen anzugeben. das Ergebnis ist auf 6 Nachkommastellen zu runden.

3,5 P

(3)

Die kaufmännische Abteilung einer Firma beobachtet über einen längeren Zeitraum die Auswirkungen des Stückpreises x in Euro eines Gutes auf die wöchentlich abzusetzende Stückzahl y. Das Ergebnis ist in folgender Tabelle festgehalten.

Stückpreis x in € wöchentlich abgesetzte Stückzahl y

70 66

76 58

82 52

85 42

90 40

95 36

a) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten r nach Bravais-Pearson (2 Dezimalstel- len). Kann anhand des Wertes von r auf einen tendenziell linearen Zusammenhang zwischen dem Stückpreis x und der wöchentlich abzusetzenden Stückzahl y ge- schlossen werden?

9 P

b) Liegt im Beispiel ein tendenziell gleichsinniger oder ein tendenziell gegenläufiger Zu- sammenhang vor?

1 P c) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x. (2 De-

zimalstellen)

6 P d) Nennen und interpretieren Sie den Regressionskoeffizienten. 2 P e) Welche wöchentlichen Stückzahlen sind im Mittel für einen Stückpreis von 79 € und

von 87 € zu erwarten?

2 P

Aufgabe 4: 20 Punkte

In einem Sägewerk werden auf einer Maschine Bretter in größerer Stückzahl zugeschnit- ten. Die Stärke x der Bretter sei normalverteilt mit dem Mittelwert 120 mm und der Stan- dardabweichung 0,75 mm.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein der laufenden Produktion entnommenes Brett eine Stärke

a) von höchstens 121,80 mm aufweist? (3 Dezimalstellen) 3,5 P

b) von mindestens 120,60 mm besitzt? (3 Dezimalstellen) 3,5 P

c) von wenigstens 118,50 mm und höchstens 121,62 mm aufweist? (3 Dezimalstellen) 4,5 P

d) von genau 120,00 mm besitzt? 1,5 P

e) Ein Brett gilt als Ausschuss, falls seine Stärke weniger als 118,32 mm oder mehr als

121,65 mm beträgt. Mit wie viel Prozent Ausschuss ist im Mittel bei der Produktion zu 5 P

(4)

Studiengang Betriebswirtschaft HFH • Hamburger Fern-Hochschule

BW-WST-P11-060520-AUFGABEN Seite 4

Aufgabe 5: 20 Punkte

In einer Baufirma wird der Monatsbruttolohn der Mitarbeiter in der nachstehenden Tabelle klassifiziert festgehalten.

Bruttomonatslohn in Euro von xiu bis unter xio

Anzahl f_i der Mitarbeiter

800 – 1200 15

1200 – 1400 20

1400 – 1600 20

1600 – 1800 16

1800 – 2200 5

2200 – 2600 2

2600 – 3200 2

a) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, die Varianz und die auf 4 Dezimalstellen

gerundete Standardabweichung. 10 P

b) Erweitern Sie die vorstehende Tabelle so, dass Sie durch Feinberechnung das erste Quartil Q1, den Median Q2, das dritte Quartil Q3 (1 Dezimalstelle) und das sechste

Dezil berechnen können. 7,5 P

c) Bestimmen Sie den Wert des Pearsonschen Schiefemaßes (4 Dezimalstellen). Liegt eine symmetrische, eine links- oder eine rechtsschiefe Verteilung des Bruttomonats-

lohns der Mitarbeiter vor? 2,5 P

Viel Erfolg!

(5)

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich vorgeschrieben:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stossen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung eines Teilschritts führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weiter gerechnet, erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor: Erstkorrektur in rot, evtl. Zweitkorrektur in grün.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebene Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in die Ergebnisliste ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Notenschema zu Grunde zu legen:

Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5–0

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

7. Juni 2006

an Ihr Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine

Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrums- leiter anzuzeigen.

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

(6)

Studiengang Betriebswirtschaft HFH • Hamburger Fern-Hochschule

BW-WST-P11-060520-KORREKTURRICHTLINIE Seite 2

Lösung Aufgabe 1: 20 Punkte

a)

xi fi xifi pi Pi Fi Si

1 80 80 0,80 0,040 0,80 0,040

2 10 20 0,10 0,010 0,90 0,050

30 5 150 0,05 0,075 0,95 0,125

150 3 450 0,03 0,225 0,98 0,350

650 2 1300 0,02 0,650 1,00 1,000

100 2000

b)

pi Si Si+Si-1 pi(Si+Si-1)

0,80 0,040 0,040 0,03200

0,10 0,050 0,090 0,00900

0,05 0,125 0,175 0,00875

0,03 0,350 0,475 0,01425

0,02 1,000 1,350 0,02700

0,09100 1 P

1,5 P 1,5 P

1,5 P

4 P

1,5 P

1,5 P 1,5 P

(7)

Da G recht nahe an 1 liegt, kann von einer relativ hohen Konzentration des Umsatzes

gesprochen werden. 2 P

c) 5% von 100 Betrieben sind 5 Betriebe. Die 5 umsatzstärksten Betriebe haben einen prozentualen Anteil am Gesamtumsatz von

( 450 1300 / 2000 100% 87,5% )

 +  ⋅ =

 

^.

3 P

Lösung Aufgabe 2: 20 Punkte

a) x kann real nur die 13 verschiedenen Werte 0, 1, 2, …, 12 annehmen. 1 P

b) x ist binomialverteilt mit n=12 und p=0,85. 1,5 P

c)

x 2

x

E(x) 12 0,85 10,2 12 0,85 0,15 1,53

= µ = ⋅ =

σ = ⋅ ⋅ =

1 P 1 P d)

12 0

p(x 12) 12 0,85 0,15 0,14224176 0,142242 12

 

= =   ⋅ ⋅ ≈ ≈

 

2,5 P

e)

11 1

10 2

p(x 11) 12 0,85 0,15 0,30121784 0,301218 11

p(x 10) 12 0,85 0,15 0,29235849 0,292358 10

 

= =   ⋅ ⋅ ≈ ≈

 

 

= =   ⋅ ⋅ ≈ ≈

 

Es ist wahrscheinlicher, dass 11 Zeichen richtig übertragen werden.

2,5 P

1 P f)

9 3

p(x 9) 12 0,85 0,15 0,17197558 0,171976 9

p(x 9) 0,17197558 0,29235849 0,30121784 0,14224176 0,90779367 0,907794

 

= =   ⋅ ⋅ ≈ ≈

 

≥ ≈ + + + ≈

≈ ≈

2,5 P 1 P

g)

8 4

p(x 8) 12 0,85 0,15 0,06828442 8

p(x 8) 1 p(x 8) 1 {0,06828442 0,90779367} 0,02392191 0,023922

 

= =   ⋅ ⋅ ≈

 

< = − ≥ ≈ − + ≈ ≈

2,5 P 1 P

(8)

Lösung Aufgabe 3: 20 Punkte

a)

xi yi xi–83 yi – 49 (xi–83)² (yi – 83)² (xi–83)( yi – 49)

70 66 –13 17 169 289 –221

76 58 –7 9 49 81 –63

82 52 –1 3 1 9 –3

85 42 2 –7 4 49 –14

90 40 7 –9 49 81 –63

95 36 12 –13 144 169 –156

498 294 416 678 –520

498 294 520

x 83 y 49 r 0,979 0,98

6 6 416 678

= = = = = − ≈ − ≈ −

⋅

Da r sehr nahe an –1 liegt, kann von einem relativ sehr guten tendenziell linearen Zu-

sammenhang ausgegangen werden. 1 P

b) Da r < 0 ist, liegt für die Merkmale x und y ein gegenläufiger Zusammenhang vor. 1 P c)

yx

yx yx

b 520 1,25 416

a y b x 49 1,25 83 152,75

= − = −

= − ⋅ = + ⋅ =

Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x lautet:

ˆy 152,75 1,25x = −

2 P 2 P

2 P d) Der Regressionskoeffizient ist –1,25. Mit der Zunahme des Stückpreises um 1 € ist im

Mittel eine Abnahme der abgesetzten Menge um 1,25 Stücke zu erwarten. 2 P e)

ˆy(79) 152,75 1,25 79 54 ˆy(87) 152,75 1,25 87 44

= − ⋅ =

^{2 P}

1 P 1 P 1 P

5 P

(9)

Lösung Aufgabe 4: 20 Punkte

121,80 120

a) p(x 121,80) p z p(z 2,4) 0,75

0,5 p(0 z 2,4) 0,5 0,492 0,992

 − 

≤ =  ≤  = ≤

 

= + ≤ ≤ ≈ + ≈

3,5 P

120,6 120

b) p(x 120,6) p z p(z 0,8) 0,75

0,5 p(0 z 0,8) 0,5 0,288 0,212

 − 

≥ =  ≥  = ≥ =

 

= − ≤ ≤ ≈ − ≈

3,5 P

118,5 120 121,62 120 c) p(118,50 x 121,62) p z

0,75 0,75

p( 2 z 2,16) p(0 z 2) p(0 z 2,16) 0,477 0,485 0,962

− −

 

≤ ≤ =   ≤ ≤   =

= − ≤ ≤ = ≤ ≤ + ≤ ≤ ≈

≈ + ≈

4,5 P

d) p(x 120) 0 = =

^{1,5 P}

e) p(Ausschuß) p(x 118,32) p(x 121,65)

118,32 120 121,65 120

p z p z

0,75 0,75

p(z 2,24) p(z 2,2)

0,5 p(0 z 2,24) 0,5 p(0 z 2,2) 1 0,488 0,486 0,026

= ≤ + ≥ =

− −

   

=  ≤  +  ≥  =

   

= ≤ − + ≥ =

= − ≤ ≤ + − ≤ ≤ ≈

≈ − − ≈

5 P

Es sind im Mittel 2,6% Ausschuss zu erwarten.

f ) 50 0,026 1,3 ⋅ =

Je Charge sind im Mittel 1,3 Ausschussbretter zu erwarten. 2 P

(10)

Lösung Aufgabe 5: 20 Punkte

a)

von xiu bis unter xio xi fi xifi (xi–1485)² (xi–1485)²fi

800 – 1200 1000 15 15000 235225 3528375

1200 – 1400 1300 20 26000 34225 684500

1400 – 1600 1500 20 30000 225 4500

1600 – 1800 1700 16 27200 46225 739600

1800 – 2200 2000 5 10000 265225 1326125

2200 – 2600 2400 2 4800 837225 1674450

2600 – 3200 2900 2 5800 2002225 4004450

80 118800 11962000

118800

2

11962000

x 1485 s 149525 s 386,6846

80 80

= = = = ≈

b)

von xiu bis unter xio fi

800 – 1200 15 15

1200 – 1400 20 35

1400 – 1600 20 55

1600 – 1800 16 71

1800 – 2200 5 76

2200 – 2600 2 78

2600 – 3200 2 80

1

2

3

6

20 15

0,25 80 20 Q 1200 (1400 1200) 1250 20

40 35

0,50 80 40 Q 1400 (1600 1400) 1450 20

60 55

0,75 80 60 Q 1600 (1800 1600) 1662,5 16

48 35

0,60 80 48 D 1400 (1600 1400) 1530 20

⋅ = → = + − ⋅ − =

c)

(P) 2

x

3 (x Q ) 3 (1485 1450)

sk 0,2715

s 149525

⋅ − ⋅ −

= = ≈

Da sk(P) > 0 gilt, liegt eine rechtsschiefe Verteilung vor.

1½ P 1 P 1½ P

2 P 2 P 1 P

1½ P

1½ P 1½ P 1½ P 1½ P

1½ P 1 P 1 P