Aufgabe 1: 20 Punkte

Studiengang Betriebswirtschaft

Fach Wirtschaftsstatistik

Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. PW-WST-P11-030628

Datum 28.06.2003

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

· Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

· Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.

· Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

· Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

· Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genann- ten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Hilfsmittel: — Studienbriefe

Anzahl Aufgaben: - 5 - — FFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: - 100 -

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

max. Punktzahl 20 20 20 20 20

Notenspiegel

Note ^{1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0}

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5-0

Aufgabe 1: 20 Punkte

Eine Großbäckerei stellt unter anderem Vollkornbrötchen her, deren Masse normalverteilt mit dem Mittelwert 55 g und der Standardabweichung 2,5 g ist.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein zufällig ausgewähltes Vollkorn- brötchen eine Masse von höchstens 53,7 g aufweisen? (3 Dezimalstellen)

3,5 P.

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein zufällig ausgewähltes Vollkorn- brötchen eine Masse von mindestens 50,2 g besitzen? (3 Dezimalstellen)

3,5 P.

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Masse eines zufällig ausgewähl- ten Vollkornbrötchens zwischen 52,1 g und 60,3 g liegen? (3 Dezi- malstellen)

4 P.

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Masse eines zufällig ausgewähl- ten Vollkornbrötchens genau 54 g betragen?

2 P.

e) Abweichungen von mehr als 5,4 g vom Sollwert 55 g nach oben und nach unten gelten als „nicht erwünscht“. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewähltes Vollkornbrötchen „nicht erwünscht“? (3 Dezimal- stellen)

4 P.

f) Für eine Betriebsfeier werden bei der Großbäckerei 300 Vollkornbrötchen

bestellt. Mit wie viel „nicht erwünschten“ Brötchen ist im Mittel zu rechnen? 3 P.

Aufgabe 2: 20 Punkte

Ein Betrieb beobachtet bei verschiedenen Stückpreisen x (in einer Geldeinheit GE) eines Artikels die in der nachstehenden Tabelle aufgeführten nachgefrag- ten Mengen y in einem festgelegten Zeitraum.

Stückpreis x (GE) 120 100 124 90 80 110

abgesetzte Menge y 60 70 55 80 90 65

a) Berechnen Sie den auf 2 Dezimalstellen gerundeten Wert des Bestimmt- heitsmaßes (Determinationskoeffizienten) B und interpretieren Sie Ihr Er-

gebnis. 8,5 P.

b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf

x. (2 Dezimalstellen) 6 P.

c) Nennen und interpretieren Sie den Regressionskoeffizienten. 3 P.

d) Welche nachgefragte Menge ist im Mittel bei einem Stückpreis von 108 Geldeinheiten zu erwarten?

2,5 P.

Aufgabe 3: 20 Punkte

Zur Untersuchung der Monatsbruttolöhne befragt ein Gewerkschaftsverband eine Anzahl von Arbeiterinnen und Arbeitern im Bekleidungsgewerbe und hält das Ergebnis in folgender Tabelle fest.

Monatsbruttolohn x_i in € Anzahl f_i der Mitarbeiter

1100 120

1200 100

2200 80

3200 60

4500 40

a) Vervollständigen Sie die vorstehende Tabelle durch geeignete Spalten so, dass Sie eine Maßzahl zur Messung der Stärke der relativen Konzentration der Monatslöhne

berechnen können. Arbeiten Sie mit 4 Dezimalstellen, sofern sie erforderlich sind. 10 P.

b) Berechnen Sie den Gini-Koeffizienten als Maßzahl für die Stärke der relativen Kon- zentration (4 Dezimalstellen). Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.

4 P.

c) Zeichnen Sie anhand der Tabelle zu a) die zugehörige Lorenzkurve und die Gleich- verteilungsgerade (Diagonale). Schraffieren Sie die die relative Konzentration kenn-

zeichnende Fläche in Ihrer Zeichnung. 6 P.

Aufgabe 4: 20 Punkte

a) In der folgenden Tabelle ist die Entwicklung der Mitarbeiterzahl eines mittelständischen Betriebes des Elektrohandwerks in den Jahren 1994 bis 2002 festgehalten.

Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Mitarbeiterzahl 37 54 59 61 57 56 55 51 35

a₁) Berechnen Sie den Trendverlauf der Mitarbeiterzahl durch Bilden der gleiten- den Durchschnitte 3. Ordnung. Halten Sie die Werte in einer erweiterten Ta-

belle fest. 5 P.

a₂) Bestimmen Sie zusätzlich zu den Mitarbeiterzahlen die gleitenden Durch- schnitte 4. Ordnung und tragen Sie sie in Ihre erweiterte Tabelle ein.

Achtung: Für die Lösung verwenden Sie bitte das beiliegende Einzelblatt, auf dem Sie auch Ihren Na- men und Ihre Matrikelnummer vermerken!

5 P.

b) In der folgenden Tabelle sind die Erzeugerpreisindizes für Schnittblumen in einem eu- ropäischen Land in der Reihe 1 für die Jahre 1994 bis 1998 bezogen auf das Basisjahr 1992 und in der Reihe 2 für die Jahre 1998 bis 2002 bezogen auf das Basisjahr 1998 festgehalten.

Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Reihe 1 105 107,8 109,2 110,6 112

Reihe 2 100 101,25 105 106,25 102,5

b₁) Verketten Sie die beiden Reihen durch Fortschreibung zu einer Reihe mit

dem Basisjahr 1992 (Nur die freien Felder der Reihe 1 sind auszufüllen.). 5 P.

b₂) Verketten Sie die beiden Reihen durch Rückrechnung zu einer Reihe mit dem Basisjahr 1998 (Nur die freien Felder der Reihe 2 sind auszufüllen.).

Achtung: Für die Lösung verwenden Sie bitte das beiliegende Einzelblatt, auf dem Sie auch Ihren Na- men und Ihre Matrikelnummer vermerken!

5 P.

Aufgabe 5: 20 Punkte

Bei einem bestimmten Dozenten bestehen die Studenten die Klausur mit der konstanten Wahrscheinlichkeit von 0,75. An einer Klausur des Dozenten nehmen 8 Studenten teil. Es beschreibe x die Anzahl der Studenten unter den 8, die die Klausur bestehen.

a) Wie ist die Zufallsvariable x verteilt? Nennen Sie alle zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten notwendigen Parameter.

2 P.

b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz (1 Dezimalstelle) von x.

3 P.

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden alle Studenten die Klausur erfolg-

reich beenden? (4 Dezimalstellen) 3 P.

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden genau 7 Teilnehmer die Klausur bestehen? (4 Dezimalstellen)

3 P.

e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 6 Studenten die Klau- sur bestehen? (4 Dezimalstellen)

3 P.

f) Ist es wahrscheinlicher, dass 5 Teilnehmer oder dass 6 Teilnehmer die Klausur bestehen? (4 Dezimalstellen; nur eine Rechnung wird gewertet.)

3 P.

g) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden höchstens 4 Teilnehmer die Klau-

sur erfolgreich beenden? (4 Dezimalstellen) 3 P.

Name, Vorname Matrikelnummer

Lösung zu Aufgabe 4: 20 Punkte

a)

Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Mitarbeiterzahl 37 54 59 61 57 56 55 51 35

b)

Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Reihe 1 105 107,8 109,2 110,6 112

Reihe 2 100 101,25 105 106,25 102,5

Achtung: Bitte geben Sie dieses Blatt mit Ihrer Klausur ab!

Lösung Aufgabe 1: 20 Punkte

( )

( ) ( )

a) p x 53,7 p z p z 0,52 0,5 p 0 z 0,52 2,5

0,5 0,199 0,301

æ - ö

£ = çè £ ÷ø= £ - = - £ £ »

» - »

( )

( ) ( )

b) p x 50,2 p z p z 1,92 0,5 p 0 z 1,92 2,5

0,5 0,473 0,973

æ - ö

³ = çè ³ ÷ø= ³ - = + £ £ »

» + »

( ) ( )

( ) ( )

52,1 55 60,3 55

c) p 52,1 x 60,3 p z p 1,16 z 2,12

2,5 2,5

p 0 z 1,16 p 0 z 2,12 0,377 0,483 0,86

- -

æ ö

£ £ = çè £ £ ÷ø= - £ £ =

= £ £ + £ £ » + »

( )

d) p x 54

0

( )

( ) { ( ) ( ) }

5,4 5,4 e) p("nicht erwünscht ") 1 p 55 5,4 x 55 5,4 1 p z

2,5 2,5 1 p 2,16 z 2,16 1 p 0 z 2,16 p 0 z 2,16 1 2 0,485 0,03

æ- ö

= - - £ £ + = - çè £ £ ÷ø=

= - - £ £ = - £ £ + £ £ »

» - × »

f) Im Mittel sind bei 300 Brötchen

300 0,03 9

Lösung Aufgabe 2: 20 Punkte

2 a)

xi yi xi-x ^yi-y _(xi-x)² (yi-y)² (xi-x)( yi-y)

120 60 16 -10 256 100 -160

100 70 -4 0 16 0 0

124 55 20 -15 400 225 -300

90 80 -14 10 196 100 -140

80 90 -24 20 576 400 -480

110 65 6 -5 36 25 -30

624 420 1480 850 -1110

3,5 P.

3,5 P.

4 P.

2 P.

4 P.

3 P.

3 P.

( )

624 420

x 104 ; y 70

6 6

B 1110 0,98

1480 850

= = = =

= - »

×

Da B relativ nahe an Eins liegt, ist das lineare Modell relativ gut geeignet.

2 P.

1,5 P.

2 P.

yx

b) b 1110 0,75 1480

= - = - _{2 P.}

ayx =70 ( 0,75) 104 148- - × =

Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x lautet:

ˆy 148 0,75x

2 P.

2 P.

c) b_yx=-0,75 Mit der Zunahme des Stückpreises um eine Geldeinheit ist im Mittel eine Abnahme der abgesetzten Stückzahl um 0,75 Stücke verbunden.

3 P.

d) y(108) 148 0,75 108 67 ˆ

Lösung Aufgabe 3: 20 Punkte

3 a)

xi fi xifi pi Pi Fi Si Si+Si-1 (Si+Si-1)pi

1100 120 132000 0,30 0,165 0,30 0,165 0,165 0,0495

1200 100 120000 0,25 0,150 0,55 0,315 0,480 0,1200

2200 80 176000 0,20 0,220 0,75 0,535 0,850 0,1700

3200 60 192000 0,15 0,240 0,90 0,775 1,310 0,1965

4500 40 180000 0,10 0,225 1,00 1,000 1,775 0,1775

400 800000 0,7135

b) G = 1-0,7135 = 0,2865

Da der Ginikoeffizient relativ nahe Null liegt, kann man nur von einer relativ schwachen Konzentration sprechen.

1 P. 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5

2 P.

2 P.

c)

Lösung Aufgabe 4: 20 Punkte

Aufgabe 4: a) a₁) und a₂)

Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Mitarbeiter 37 54 59 61 57 56 55 51 35

gl. Durch. 3.O. _- 50 58 59 58 56 54 47 -

gl. Durch. 4.O. _{- -} 55,25 58 57,75 56 52 - -

Für jede Reihe sind 5 Punkte vorgesehen.

b) b₁) und b₂)

Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Reihe 1 105 107,8 109,2 110,6 112 113,4 117,6 119 114,8

Reihe 2 93,75 96,25 97,5 98,75 100 101,25 105 106,25 102,5

Für jede Reihe sind 5 Punkte vorgesehen.

6 P.

Lösung Aufgabe 5: 20 Punkte

a) x ist binomialverteilt mit n=8 und p=0,75. 2 P.

b) E(x)=

8 0,75 6

2

x

8 0,75 0,25 1,5

s = × × =

8 0

c) p(x 8) 8 0,75 0,25 0,10011 0,1001 8

= =æ öç ÷× × » »

è ø

7 1

d) p(x 7) 8 0,75 0,25 0,26697 0,2670 7

= =æ öç ÷× × » »

è ø

6 2

e) p(x 6) p(x 6) p(x 7) p(x 8)

8 0,75 0,25 p(x 7) p(x 8) 6

0,31146 0,26697 0,10011 0,67854 0,6785

³ = = + = + = =

æ ö× × + = + = »

ç ÷è ø

» + + » »

3 P.

5 3

f) p(x 5) 8 0,75 0,25 0,20764 0,2076 5

= =æ öç ÷× × » »

è ø

Da p(x=5) < p(x=6) gilt, ist es wahrscheinlicher, dass 6 Studenten die Klausur bestehen.

g) p(x 4) 1 p(x 5) 1 {0,20764 0,67854} 0,1138£ = - ³ » - + » ^{3 P.}

3 P.

3 P.

3 P.

3 P.