Aufgabe 1: 20 Punkte

(1)

Datum 26.11.2005

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genann- ten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Hilfsmittel: — Studienbriefe

Anzahl Aufgaben: - 5 - — HFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: - 100 -

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

max. Punktzahl 20 20 20 20 20

Notenspiegel

Note ^1,0 ^1,3 ^1,7 ^2,0 ^2,3 ^2,7 ^3,0 ^3,3 ^3,7 ^4,0 ^5,0

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5-0

(2)

HFH • Hamburger Fern-Hochschule

BW-WST-P11-051126-AUFGABEN Seite 2

Aufgabe 1: 20 Punkte

In einem Bundesland wird bei den Betrieben der Metallerzeugung und der Metallbearbei- tung der Jahresumsatz x in einer Geldeinheit (GE) für das Jahr 2004 erfasst. Die nachstehende Tabelle gibt die Verteilung des Jahresumsatzes x für die Betriebe an.

Umsatz xi in GE Anzahl fi der Betriebe

1 52

5 28

6 12

59 4

375 4

a) Vervollständigen Sie die Tabelle durch geeignete Spalten, und zeichnen Sie damit die zugehörige Lorenzkurve. Tragen Sie in Ihre Grafik die Gleichverteilungsgerade ein, und schraffieren Sie den Bereich, der für die Stärke der relativen Umsatzkonzentrati- on verantwortlich ist.

11 P

b) Erweitern Sie Ihre Arbeitstabelle zu a), so dass Sie den Ginikoeffizienten (5 Dezimal-

stellen) berechnen können. Interpretieren Sie Ihren Wert. 6 P

c) Welchen prozentualen Anteil am Gesamtjahresumsatz haben die 8% umsatzstärksten

Betriebe? 3 P

Aufgabe 2: 20 Punkte

Eine Firma stellt Präzisionszahnräder aus nichtrostendem Stahl her, deren Durchmesser x normalverteilt mit µx=40 mm und σx=0,75 mm ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser eines zufällig ausgewählten Zahnrades

a) wenigstens 38,86 mm beträgt? (3 Dezimalstellen) 3 P

b) höchstens 41,53 mm beträgt? (3 Dezimalstellen) 3 P

c) mindestens 39,10 mm und höchstens 40,96 mm beträgt? (3 Dezimalstellen) 4,5 P

d) genau 40,2 mm beträgt? 2 P

e) Ein Zahnrad ist nicht brauchbar, falls der Durchmesser vom Sollwert 40 mm um mehr als 1,8 mm abweicht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gewählte Zahnrad nicht brauchbar ist? (3 Dezimalstellen)

4,5 P

f) Je 500 Zahnräder der angesprochenen Sorte werden in einem Paket einem Großab- nehmer angeboten. Wie viele nicht brauchbare Zahnräder sind im Mittel in dem Paket zu erwarten?

3 P

(3)

In der folgenden Tabelle sind in der Reihe 1 die Umsatzindizes einer Zulieferfirma der Autoindustrie für die Jahre 1996 bis 2000 bezogen auf das Basisjahr 1996 und in der Rei- he 2 die Umsatzindizes für die Jahre 2000 bis 2004 bezogen auf das Basisjahr 2000 ge- geben.

Jahr 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Reihe1 100 104 110 115 125

Reihe2 100 101,6 102,4 99,2 96,8

a1) Verketten Sie die beiden Reihen durch Fortschreibung zu einer Reihe für die Jahre

1996 bis 2004 mit dem Basisjahr 1996. 4 P

a2) Verketten Sie die beiden Reihen durch Rückrechnung zu einer Reihe für die Jahre

1996 bis 2004 mit dem Basisjahr 2000. (notfalls 1 Dezimalstelle) 4 P Die nachstehende Tabelle nennt die Jahresgewinne in einer Geldeinheit (GE) für die Jah-

re 1998 bis 2004.

Jahr 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Gewinn in GE 40 44 52 50 56 54 48

b1) Berechnen Sie aus den Jahresgewinnen eine Messzahlreihe mit dem Basisjahr 1998. 6,5 P b2) Bestimmen Sie aus den Jahresgewinnen die gleitenden Mittelwerte 3. Ordnung (Er-

gebnisse als Bruchzahlen) und 4. Ordnung (bis zu 2 Dezimalstellen). 5,5 P

(4)

BW-WST-P11-051126-AUFGABEN Seite 4

Aufgabe 4: 20 Punkte

In einer Firma der Logistikbranche möchte man erfahren, ob zwischen dem Alter x (in Jahren) eines Lastkraftwagens (Lkw) und den jährlichen Reparaturkosten y in Geldein- heiten ein Zusammenhang besteht. Sie erhalten von der Firma die folgenden Daten für sechs Lastkraftwagen.

Alter x des Lkws (in Jahren) 2 3 5 5 6 9

jährl. Reparaturkosten y (in GE) 1 4 5 6 8 12

a) Bestimmen Sie den auf 3 Dezimalstellen gerundeten Wert des linearen Korrelations- koeffizienten r. Äußern Sie sich über die Zweckmäßigkeit des Modells der linearen Regression.

7,5 P

b) Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x. (1 Dezi-

malstelle) 6 P

c) Nennen und interpretieren Sie den Regressionskoeffizienten. 2,5 P d) Welche jährlichen Reparaturkosten sind im Mittel für einen 4 Jahre alten bzw. einen

7 Jahre alten Lkw zu erwarten? (notfalls eine Dezimalstelle) 4 P

Aufgabe 5: 20 Punkte

Wenn der bekannte Basketballspieler Dirk einen Freiwurf erhält, erzielt er mit der Wahr- scheinlichkeit von 0,8 einen Treffer. In einem Fernsehauftritt soll Dirk insgesamt 12 Frei- würfe ausführen. Es sei unterstellt, dass die einzelnen Freiwurfversuche unabhängig von- einander sind, d.h. die einzelnen Würfe sich nicht beeinflussen.

Es beschreibe x die Anzahl der Treffer bei den 12 unabhängigen Freiwurfversuchen.

a) Wie viele verschiedene Werte kann x real annehmen? 1 P

b) Wie ist die Zufallsvariable x verteilt? Nennen Sie alle zur Berechnung von Wahr-

scheinlichkeiten notwendigen Größen (Parameter). 2 P

c) Bestimmen Sie den Erwartungswert bzw. Mittelwert (1 Dezimalstelle) und die Varianz

(2 Dezimalstellen) von x. 2 P

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt Dirk genau 11 Treffer? (6 Dezimalstellen) 2 P e) Ist es wahrscheinlicher, dass Dirk genau 7 Treffer oder genau 12 Treffer bei den 12

Versuchen erzielt? (6 Dezimalstellen) 5 P

f) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt Dirk mindestens 10 Treffer? Verwenden Sie für Zwischenrechnungen 6 Dezimalstellen, und runden Sie das Endergebnis auf 5 Dezi- malstellen.

4 P

g) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt Dirk höchstens 8 Treffer? Berücksichtigen Sie für Zwischenrechnungen 6 Dezimalstellen, und runden Sie das Ergebnis auf 5 Dezi- malstellen.

4 P

Viel Erfolg!

(5)

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich vorgeschrieben:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stossen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung eines Teilschritts führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weiter gerechnet, erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor: Erstkorrektur in rot, evtl. Zweitkorrektur in grün.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebene Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in die Ergebnisliste ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Notenschema zu Grunde zu legen:

Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5–0

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

14.12.2005

an Ihr Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine

Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrums- leiter anzuzeigen.

Bewertungsschlüssel

(6)

BW-WST-P11-051126-Korrekturrichtlinie Seite 2

Lösung Aufgabe 1: 20 Punkte

a)

x

i

f

_i

x f

_i⋅ _i

p

_i

P

_i

F

_i

S

_i

1 52 52 0,52 0,026 0,52 0,026

5 28 140 0,28 0,070 0,80 0,096

6 12 72 0,12 0,036 0,92 0,132

59 4 236 0,04 0,118 0,96 0,250

375 4 1500 0,04 0,750 1,00 1,000

100 2000

1 P 1,5 P 1,5 P 1,5 P 1,5 P

Gleichverteilungsgerade

4 P

(7)

p

i

S

_i

S

_i+

S

_{i 1}₋

p (S

_i⋅ _i +

S )

_{i 1}₋

0,52 0,026 0,026 0,01352

0,28 0,096 0,122 0,03416

0,12 0,132 0,228 0,02736

0,04 0,250 0,382 0,01528

0,04 1,000 1,250 0,05000

0,14032

G = 1 – 0,14032 = 0,85968 1,5 P

Da G schon relativ nahe 1 liegt, kann von einer relativ hohen Konzentration des Umsatzes

gesprochen werden. 1,5 P

c) Die 8% umsatzstärksten Betriebe weisen einen prozentualen Umsatzanteil von

(0,118 0,750) 100% 86,8% + ⋅ =

auf.

3 P

Lösung Aufgabe 2: 20 Punkte

a)

38,86 40

p(x 38,86) p z p(z 1,52) 0,5 p(0 z 1,52) 0,75

0,5 0,436 0,936

 − 

≥ =  ≥  = ≥ − = + ≤ ≤ ≈

 

≈ + ≈

3 P

b)

41,53 40

p(x 41,53) p z p(z 2,04) 0,5 p(0 z 2,04) 0,75

0,5 0,479 0,979

 − 

≤ =  ≤  = ≤ = + ≤ ≤ ≈

 

≈ + ≈

3 P

c)

39,10 40 40,96 40

p(39,10 x 40,96) p z p( 1,2 z 1,28)

0,75 0,75

p(0 z 1,2) p(0 z 1,28) 0,385 0,400 0,785

− −

 

≤ ≤ =  ≤ ≤  = − ≤ ≤ =

 

= ≤ ≤ + ≤ ≤ ≈ + ≈

4,5 P

d)

p(x=40,2)=0

2 P e)

40 1,8 40 40 1,8 40 p(x 40 1,8) p(x 40 1,8) p z p z

0,75 0,75

p(z 2,4) p(z 2,4) 2 p(z 2,4)

− − + −

   

< − + > + =  < +  > =

= < − + > = ⋅ > = ^{4,5 P}

1,5 P 1,5 P

(8)

Lösung Aufgabe 3: 20 Punkte

a) a1) und a2)

Jahr 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Reihe1 100 104 110 115 125 127 128 124 121

Reihe2 80 83,2 88 92 100 101,6 102,4 99,2 96,8

b) b1) und b2)

Jahr 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Gewinn in GE 40 44 52 50 56 54 48

Meßzahlen 100 110 130 125 140 135 120

gl. Mittelwerte 3. Ordnung

– 45⅓ 48⅔ 52⅔ 53⅓ 52⅔ –

gl. Mittelwerte 4. Ordnung

– – 48,5 51,75 52,5 – –

4 P 4 P

6,5 P

3 P 2,5 P

(9)

Lösung Aufgabe 4: 20 Punkte

a)

xi yi xi−5 yi−6 (xi−5)² (yi−6)² (xi−5)(y_i−6)

2 1 −3 −5 9 25 15

3 4 −2 −2 4 4 4

5 5 0 −1 0 1 0

5 6 0 0 0 0 0

6 8 1 2 1 4 2

9 12 4 6 16 36 24

30 36 30 70 45

30 36

x 5 y 6

6 6

r 45 0,98198 0,982 30 70

= = = =

= ≈ ≈

⋅

Da r relativ sehr nahe an +1 liegt, kann von einem relativ sehr guten tendenziell linearen Zusammenhang ausgegangen werden. Das lineare Modell ist folglich relativ sehr gut ge- eignet.

1 P

b)

yx yx

b 45 1,5 30

a 6 1,5 5 1,5

= =

= − ⋅ = −

Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x lautet:

ˆy

= −

1,5 1,5x

+ ^{2 P}

c) Der Regressionskoeffizient lautet 1,5. Mit der Zunahme des Alters des Lkws um ein Jahr ist im Mittel eine Zunahme der jährlichen Reparaturkosten um 1,5 Geldeinheiten zu erwarten.

2,5 P

d)

ˆy(4) 1,5 1,5 4 4,5 ˆy(7) 1,5 1,5 7 9

= − + ⋅ =

2 P 2 P

1 P 1 P

1½ P

2 P 2 P

3 P

(10)

Lösung Aufgabe 5: 20 Punkte

a) x kann real die 13 verschiedenen Werte 0, 1, 2, ..., 12 annehmen. 1 P

b) x ist binomialverteilt mit n=12 und p=0,8. 2 P

c)

2 x

E(x) n p 12 0,8 9,6

n p (1 p) 12 0,8 0,2 1,92

= ⋅ = ⋅ =

σ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ =

2 P

d)

11 1

p(x 11) 12 0,8 0,2 0,206158 11

 

 

 

= = ⋅ ≈

^{2 P}

e)

7 5

12 0

p(x 7) 12 0,8 0,2 0,053150 7

p(x 12) 12 0,8 0,2 0,068719 12

 

= =  ⋅ ≈

 

 

= =  ⋅ ≈

 

5 P

12 Treffer sind wahrscheinlicher.

f)

10 2

p(x 10) 12 0,8 0,2 0,283468 10

p(x 10) p(x 10) p(x 11) p(x 12)

0,283468 0,206158 0,068719 0,558345 0,55835

 

= =   ⋅ ≈

 

≥ = = + = + = ≈

≈ + + ≈ ≈

4 P

g)

9 3

p(x 9) 12 0,8 0,2 0,236223 9

p(x 8) 1 p(x 9) 1 {0,236223 0,283468 0,206158 0,068719}

1 0,794568 0,205432 0,20543

 

= =   ⋅ ≈

 

≤ = − ≥ ≈ − + + + ≈

≈ − ≈ ≈

4 P