Aufgabe 1: 20 Punkte

(1)

Datum 02.06.2007

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genann- ten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Hilfsmittel: — Studienbriefe

Anzahl Aufgaben: - 5 - — HFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: - 100 -

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

max. Punktzahl 20 20 20 20 20

Notenspiegel

Note ^1,0 ^1,3 ^1,7 ^2,0 ^2,3 ^2,7 ^3,0 ^3,3 ^3,7 ^4,0 ^5,0

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5-0

(2)

HFH • Hamburger Fern-Hochschule

BB-WST-P11-070602-AUFGABEN Seite 2

Aufgabe 1: 20 Punkte

Die folgende Tabelle nennt für den September 2006 die Verteilung der Umsätze x in 10000 Euro für die Baufirmen einer Region.

Umsatz xi in 10000 € Anzahl fi der Firmen

1 28

2 10

8 8

36 3

280 1

a) Erweitern Sie die Tabelle durch geeignete Spalten so, dass Sie die zugehörige Lo- renzkurve zeichnen können. (Vorschlag: 1cm

0,1 auf beiden Achsen) Tragen Sie in Ihre Grafik die Gleichverteilungsgerade ein, und schraffieren Sie den Bereich, der für die Stärke der relativen Umsatzkonzentration zuständig ist.

12,5 P

b) Erweitern Sie Ihre Tabelle zu a) so, dass Sie den Gini-Koeffizienten (4 Dezimalstellen)

bestimmen können. Interpretieren Sie Ihren Wert. 5,5 P

c) Welchen prozentualen Anteil am Gesamtumsatz des Monats September 2006 besit-

zen die 76% umsatzschwächsten Firmen? 2 P

Aufgabe 2: 20 Punkte

Eine Firma stellt Autoreifen her, deren Lebensdauer x normalverteilt ist mit dem Mittelwert 36000 km und der Standardabweichung 2500 km.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer x eines derartigen zufällig der laufenden Produktion entnommenen Reifens

a) höchstens 39700 km beträgt? (3 Dezimalstellen) 3 P

b) wenigstens 34200 km beträgt? (3 Dezimalstellen) 3 P

c) wenigstens 33150 km und höchstens 40400 km beträgt? (3 Dezimalstellen) 4,5 P

d) genau 36200 km beträgt? 2 P

e) Ein Autoreifen der obigen Produktion ist Ausschuss, falls seine Lebensdauer weniger als 30575 km beträgt. Mit wie viel Prozent Ausschuss ist bei der Herstellung im Mittel zu rechnen? (3 Dezimalstellen)

4,5 P

f) Der Reifenhersteller verschickt die Reifen in Chargen zu je 80 Reifen. Mit wie viel

Ausschussreifen ist dann im Mittel je Charge zu rechnen? 3 P

(3)

Ein präparierter Würfel, bei dem die Sechs mit der konstanten Wahrscheinlichkeit 0,2 erscheint, wird achtmal hintereinander geworfen. Es beschreibe x die Anzahl der dabei erzielten Sechsen.

a) Welche Werte und wie viele Werte kann x real annehmen? 1 P

b) Wie ist x verteilt. Nennen Sie alle zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten notwen- digen Parameter.

1 P c) Bestimmen Sie den Mittelwert und die Varianz der Zufallsvariablen x. 2 P d) Ist es wahrscheinlicher mit 8 Würfen keine Sechs zu werfen oder 3 Sechsen zu er-

halten? (6 Dezimalstellen)

5 P

e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 Sechsen zu erzielen? (6 Dezimal-

stellen) 5 P

f) Welchen Wert besitzt die Verteilungsfunktion von x an der Stelle x=3? (6 Dezimal-

stellen) 2 P

g) Nennen Sie den auf 6 Dezimalstellen gerundeten Wert der Verteilungsfunktion von x

an der Stelle 3,1. (6 Dezimalstellen) 2 P

h) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens vier Sechsen zu werfen? (6 Dezimal-

stellen) 2 P

Aufgabe 4: 20 Punkte

In der folgenden Tabelle sind die Werbungskosten x in einer Geldeinheit (GE) und der Gewinn y (in 10000 GE) im Jahr 2006 für 6 ausgewählte Betriebe einer Stadt aufgeführt.

Werbungskosten x in GE Gewinn y in 10000 GE

16 36

20 42

23 46

30 54

33 58

40 70

a) Berechnen Sie mit Hilfe einer geeigneten Arbeitstabelle den auf 4 Dezimalstellen gerundeten Wert des Korrelationskoeffizienten r. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis in Bezug auf einen vermuteten tendenziell linearen Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen x und y.

7 P

b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x.

(3 Dezimalstellen)

6 P c) Welcher Gewinn y (in 10000 GE) ist im Mittel bei Werbungskosten in Höhe von 29 GE

zu erwarten? (2 Dezimalstellen)

2 P d) Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von x auf y.

(3 Dezimalstellen)

5 P

(4)

BB-WST-P11-070602-AUFGABEN Seite 4

Aufgabe 5: 20 Punkte

Die nachstehende Tabelle gibt die Preis- und Mengenentwicklungen eines Warenkorbes mit den ausgewählten Gütern A, B, C, D, E und F für die Jahre 2005 und 2006 an.

Waren- 2005 2006

korb Menge Preis (€) Menge Preis (€)

A 12 10 10 11

B 10 18 14 16

C 7 24 6 25

D 16 30 15 31

E 9 16 8 17

F 12 9 14 8

a1) Bestimmen bzw. nennen Sie die Preisindizes nach Laspeyres für die Jahre 2005 und

2006 mit dem Basisjahr 2005. 3,5 P

a2) Interpretieren Sie den in a1) berechneten Preisindex 2005 / 2006

PL . 1,5 P

a₃) Berechnen Sie den Preisindex nach Paasche für das Berichtsjahr 2006 mit dem Ba-

sisjahr 2005. 2 P

a4) Interpretieren Sie den in a3) gewonnenen Index. 1,5 P

b) In der folgenden Tabelle ist in der Reihe 1 die Entwicklung des Gewinnes in Mill. Euro eines Internetanbieters für die Jahre 1999 bis 2002 bezogen auf das Basisjahr 1998 und in der Reihe 2 die Entwicklung des Gewinnes in Mill. Euro für die Jahre 2002 bis 2006 bezogen auf das Basisjahr 2002 festgehalten.

Jahr 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Reihe 1 102 105 114 120

Reihe 2 100 105 102 96 95

b1) Verketten Sie die beiden Reihen durch Fortschreibung zu einer Reihe mit dem Basis- jahr 1998. (bis zu 1 Dezimalstelle)

b2) Verketten Sie die beiden Reihen durch Rückrechnung zu einer Reihe mit dem Basis- jahr 2002. (bis zu 1 Dezimalstelle)

c) Die nachstehende Tabelle nennt für die Monate Mai bis Dezember 2006 die Umsätze in der Einheit 100 Euro einer Elektrofirma in Hamburg.

2 P 1,5 P

Monat Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez.

Umsatz in 100 € 126 123 135 144 150 147 139,5 120

c1) Berechnen Sie anhand der Umsätze die Messzahlreihe unter Verwendung des Ba- sismonats September 2006.

c2) Basieren Sie die in c1) gefundene Messzahlreihe für den Basismonat Dezember 2006 um. (bis zu 2 Dezimalstellen)

4 P 4 P

Viel Erfolg!

(5)

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich vorgeschrieben:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stossen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung eines Teilschritts führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weiter gerechnet, erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor: Erstkorrektur in rot, evtl. Zweitkorrektur in grün.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebene Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in die Ergebnisliste ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Notenschema zu Grunde zu legen:

Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5–0

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

20. Juni 2007

an Ihr Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine

Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrums- leiter anzuzeigen.

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

max. Punktzahl 20 20 20 20 20

(6)

BB-WST-P11-070602-KORREKTURRICHTLINIE Seite 2

Lösung Aufgabe 1: 20 Punkte

xi fi xifi pi Pi Fi Si

1 28 28 0,56 0,056 0,56 0,056

2 10 20 0,20 0,040 0,76 0,096

8 8 64 0,16 0,128 0,92 0,224

36 3 108 0,06 0,216 0,98 0,440

280 1 280 0,02 0,560 1,00 1,000

50 500

Si

1,5 P

1,5 1,5 P 1,5 P 1,5 P

5 P

Fi

(7)

pi Si Si + Si-1 pi(Si+Si-1)

0,56 0,056 0,056 0,03136

0,20 0,096 0,152 0,03040

0,16 0,224 0,320 0,05120

0,06 0,440 0,664 0,03984

0,02 1,000 1,440 0,02880

0,18160

G=1–0,1816=0,8184 1,5 P

Da G schon relativ nahe 1 liegt, kann von einer relativ hohen Konzentration des

Umsatzes gesprochen werden. 1 P

c) Die 76 % umsatzschwächsten Firmen weisen einen prozentualen Anteil am Ge-

samtumsatz von 9,6 % auf. 2 P

Lösung Aufgabe 2: 20 Punkte

39700 36000

a) p(x 39700) p z p(z 1,48)

2500

0,5 p(0 z 1,48) 0,5 0,431 0,931

 − 

≤ =   ≤   = ≤ =

= + ≤ ≤ ≈ + ≈

3 P

34200 36000

b) p(x 34200) p z p(z 0,72)

2500

0,5 p(0 z 0,72) 0,5 0,264 0,764

 − 

≥ =   ≥   = ≥ − =

= + ≤ ≤ ≈ + ≈

3 P

33150 36000 40400 36000

c) p(33150 x 40400) p z

2500 2500

p( 1,14 z 1,76) p(0 z 1,14) p(0 z 1,76) 0,373 0,461 0,834

− −

 

≤ ≤ =  ≤ ≤ =

= − ≤ ≤ = ≤ ≤ + ≤ ≤ ≈ + ≈

4,5 P

d) p(x 36200) 0 = =

2 P

30575 36000

e) p(x 30575) p z p(z 2,17)

2500

0,5 p(0 z 2,17) 0,5 0,485 0,015

 − 

< =   ≤   = ≤ − =

= − ≤ ≤ ≈ − ≈

^{4,5 P}

Es ist ein prozentualer Ausschussanteil von 1,5 % zu erwarten.

f) Es sind im Mittel je Charge

0,015 80 1,2 ⋅ =

Ausschussreifen zu erwarten. 3 P

1½ P 1½ P

(8)

Lösung Aufgabe 3: 20 Punkte

a) x kann real nur die 9 Werte 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 annehmen. 1 P

b) x ist binomialverteilt mit n=8 und p=0,2. 1 P

x 2 x

c) E(x) n p 8 0,2 1,6 n p (1 p) 8 0,2 0,8 1,28

µ = = ⋅ = ⋅ =

σ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ =

1 P 1 P

0 8

3 5

d) p(x 0) 8 0,2 0,8 0,167772 0

p(x 3) 8 0,2 0,8 0,146801 3

= =  ⋅ ⋅ ≈

 

= =  ⋅ ⋅ ≈

 

2 P

Es ist wahrscheinlicher, keine Sechs zu werfen. 1 P

1 7

2 6

e) p(x 1) 8 0,2 0,8 0,335544 1

p(x 2) 8 0,2 0,8 0,293601 2

p(x 2) 0,167772 0,335544 0,293601 0,796917

= =  ⋅ ⋅ ≈

 

= =  ⋅ ⋅ ≈

 

≤ ≈ + + ≈

(Achtung: Der genauere Wert ist 0,796918.)

2 P

1 P

f ) F(3) F(2) p(x 3) 0,796917 0,146801 0,943718 = + = ≈ + ≈

2 P

g) F(3,1) F(3) 0,943718 = ≈

2 P

h) p(x 4) 1 p(x 3) 1 0,943718 0,056282 ≥ = − ≤ ≈ − ≈

^{2 P}

(9)

Lösung Aufgabe 4: 20 Punkte

xi yi xi–27 yi–51 (xi–27)² (yi–51)² (xi–27)(yi–51)

16 36 –11 –15 121 225 165

20 42 –7 –9 49 81 63

23 46 –4 –5 16 25 20

30 54 3 3 9 9 9

33 58 6 7 36 49 42

40 70 13 19 169 361 247

162 306 400 750 546

162 306

x 27 y 51

6 6

r 546 0,9969 400 750

= = = =

= ≈

⋅

Da r relativ sehr nahe +1 liegt, kann von einem relativ sehr guten tendenziell linearen Zusammenhang zwischen den Werbungskosten und dem Gewinn ausgegangen werden.

b)

yx

yx yx

b 546 1,365 400

a y b x 51 1,365 27 14,145

= =

= − ⋅ = − ⋅ =

Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x lautet::

ˆy 14,145 1,365 x

= + ⋅ c)

ˆy(29) 14,145 1,365 29 53,73

= + ⋅ =

d)

xy

xy xy

b 546 0,728 750

a x b y 27 0,728 51 10,128

= =

= − ⋅ = − ⋅ = −

Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von x auf y lautet::

ˆx

= −

10,128 0,728 y

+ ⋅ 1 P

2 P

1 P

2 P

1 P

3 P

(10)

Lösung Aufgabe 5: 20 Punkte

2005 / 2005

1 L

2005 / 2006 L

a ) P 100

12 11 10 16 7 25 16 31 9 17 12 8 1212

P 100 100 101

12 10 10 18 7 24 16 30 9 16 12 9 1200

=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ = ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

1,5 P 2 P

a2) Die Preise sind 2006 unter Verwendung der Mengen des Basisjahres 2005 im

Durchschnitt gegenüber 2005 um 1 % gestiegen. 1,5 P

2005 / 2006

3 P

10 11 14 16 6 25 15 31 8 17 14 8 1197

a ) P 100 100 99,75

10 10 14 18 6 24 15 30 8 16 14 9 1200

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ = ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 2 P

a4) Die Preise sind 2006 unter Verwendung der Mengen des Berichtsjahres 2006 gegenüber 2005 im Durchschnitt um 0,25 % gefallen.

1,5 P

b)

Jahr 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

b1 102 105 114 120 126 122,4 115,2 114

b2 85 87,5 95 100 105 102 96 95

c)

Monat Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez.

Umsatz in 100 € 126 123 135 144 150 147 139,5 120

Reihe c1 84 82 90 96 100 98 93 80

Reihe c2 105 102,5 112,5 120 125 122,5 116,25 100

2 P 1,5P

4 P 4 P