Ubungsblatt Nr. 4 zur Vorlesung Theorie A ¨

Universit¨at Karlsruhe WS 2005/06 Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie

Prof. Dr. Peter W¨olfle , Dr. Jan Brinckmann 18.11.05

http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre theorie-a@tkm.uni-karlsruhe.de / Physikhochh. Zi. 10.13

Ubungsblatt Nr. 4 zur Vorlesung Theorie A ¨

1 Zwei Funktionen x1(t) , x2(t) sind linear abh¨angig, wenn gilt a x1(t) + b x2(t) = 0 f¨ur alle t mit geeignet gew¨ahlten Konstanten a, b. Eine hinreichende Bedingung f¨ur lineare Abh¨angigkeit ist

∆(t) =

x¹(t) x²(t)

˙

x¹(t) x˙²(t)

= 0 f¨ur alle t

Determinante:

A B C D

=AD−CB

.

a) Uberpr¨ufe die folgenden Beispiele auf lineare Abh¨angigkeit. Man mache sich das Er-¨ gebnis auch anschaulich klar !

(i) x1(t) =at , x2(t) = ¹2bt² (ii) x1(t) = sin(ω0t) , x2(t) = cos(ω0t)

(iii) x¹(t) =e^λt , x²(t) =e^γt λ, γ =const.

b) F¨ur welche n, m∈ Z sind x1(t) ,x2(t) linear abh¨angig ? (iv) x1(t) =tⁿ , x2(t) =t^m

(v) x1(t) = sin(nω⁰t) , x2(t) = sin(mω⁰t)

2 Bestimme die linear unabh¨angigen L¨osungen der folgenden DGLs ¨uber den Exponentialan- satz x(t) =e^λt und gebe die allgemeine L¨osung an.

a) (i) ˙x(t) + 2x(t) = 0 (ii) ¨x(t) + 3 ˙x(t) + 2x(t) = 0 b) (iii) ...

x(t)−7 ˙x(t) + 6x(t) = 0

(Eine lineare DGL n-ter Ordnung hat n linear unabh¨angige L¨osungen.) 3 Ein Relaxationssystem sei durch die folgende DGL beschrieben,

˙

x(t) +x(t) =f(t) , f(t) = eine externe zeitabh¨angige Kraft

a) Zun¨achst sei f(t) = 0 . Wie lautet die allgemeine (homogene) L¨osung x(t) ? Variation der Konstanten: Jetzt sei f(t) = sin(ω t) , ω=const.

Welcher DGL gen¨ugt damit dasW(t) in dem Ansatz x(t) =W(t)e^−t?

b) Bestimme W(t) und gebe damit die allgemeine L¨osung x(t) des Systems mit externer Kraftf(t) = sin(ω t) an, sowie die spezielle L¨osung f¨ur die Anfangsbedingungx(0) = 0 . (2 mal partiell integrieren !)

4 Eine komplexe Zahl z =x+iy ist bestimmt durch Realteilxund Imagin¨arteily, welche die komplexe Zahlenebene aufspannen. Weiterhin ist die konjugiert komplexe Zahl ¯z =x−iy, der Betrag |z|=√

¯

z z und i² =−1 .

a) Gegeben sind z1 = 3−5i und z2 =−1 + 2i. Berechne ¯z1, ¯z2, |z1|, |z2|, (z¹+z2) ,z1z2, z¹ z2

.

b) Zeige, daß f¨ur beliebige komplexe Zahlenz, z1, z2 gilt:

(z1+z2) = ¯z1 + ¯z2 , (z1z2) = ¯z1z¯2 , |z¯|=|z|

c) Bestimme die komplexen L¨osungen der Gleichung z²−4z+ 5 = 0 .

— Besprechung in den ¨Ubungsgruppen am Freitag, den 25.11.05 —