Universit¨at Karlsruhe WS 2005/06 Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie
Prof. Dr. Peter W¨olfle , Dr. Jan Brinckmann 13.01.06
http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre theorie-a@tkm.uni-karlsruhe.de / Physikhochh. Zi. 10.13
Ubungsblatt Nr. 10 zur Vorlesung Theorie A ¨
1 Berechne f¨ur die folgenden Potentiale V(r) =V(x, y, z) die Kraft F(r) :
(i) V(r) = y2z2+z3x3 +x4y4 (ii) V(r) =xsin(yz) (iii) V(r) =f(x) +f(y) +f(z) mit f(x) = beliebige, aber bekannte Funktion.
2 Zeige, daß die folgenden Kraftfelder F(r) =F(x, y, z) konservativ sind:
(i) F(r) = (x−y)2(ex−ey) (ii) F(r) =
yzsin(xy) xzsin(xy)
−cos(xy)
3 Ein Auto bewegt sich in der x-y-Ebene auf einem Kreis mit Radius R um den Ursprung.
Welche Arbeit muß es bei einem Umlauf im Kraftfeld
F(r) = (2x−y+z , x+y−z2, 3x−2y+ 4z) verrichten, wenn es
(i) im mathematisch positiven, (ii) negativen Sinne f¨ahrt ? Ist Fkonservativ ? 4 Gegeben sind die folgenden Kraftfelder in der x-y-Ebene:
a) F(x, y) = y
x
b) F(x, y) = −y
x
Berechne die geleistete Arbeit f¨ur zwei unterschiedliche Wege:
(i) Die Gerade (0,0)→(x1, y1) ;
(ii) Zwei aufeinander folgende Geraden (0,0)→(x1,0)→(x1, y1) . Der Endpunkt (x1, y1) ist fest gew¨ahlt, aber beliebig.
FallsF aus einem Potential V(x, y) abgeleitet werden kann, gebe man V an, und ¨uberpr¨ufe F=−∇V und rotF=∇ ×F= 0 .
5 Ein Teilchen der Masse m bewegt sich im 3-dimensionalen Raum unter dem Einfluß eines Potentials V(r) . Man bestimme jeweils die Kraft F, gebe die Bewegungsgleichung an, und bestimme ˙E = ddEt und ˙L= ddLt (ohne die Bewegungsgleichung zu l¨osen) f¨ur
a) V(r) = D
2x2 b) V(r) = D 2r2 mit L =m(r×r) und˙ r =|r|=p
x2+y2+z2.
In welchen F¨allen ist ˙E = 0 und/oder ˙L= 0 und warum ?
6 Zwei Teilchen mit Massenm1 bzw.m2 bewegen sich auf derx-Achse, die Ortsvariablen seien x1 bzw. x2. Die potentielle Energie des Systems ist durch das Wechselwirkungspotential V(x1−x2) gegeben. Man gebe die Bewegungsgleichungen f¨ur Teilchen 1 bzw. 2 an, und zeige damit, daß Gesamtimpuls P und GesamtenergieE erhalten sind.
— Besprechung in den ¨Ubungsgruppen am Freitag, den 20.01.06 —
