1. (a) Formulieren Sie den Dreireihensatz von Kolmogoroff.
(b) Gegeben sei eine Folge (Xn)n∈N von unabh¨angigen Zufallsvariablen auf einem Wahr- scheinlichkeitsraum (Ω,A, P). F¨ur jedesn∈NbesitzeXn die Verteilung
LP(Xn) =n−1
n δ0+ 1
n+ 1δ1/n+ 1
n2+nδexp(n). Entscheiden Sie, ob die ReiheP
n∈NXnP-fast sicher inRkonvergiert. Beweisen Sie Ihre Antwort. Dabei d¨urfen Sie ohne Begr¨undung die Konvergenz bzw. Nichtkonvergenz von Ihnen bekannten Reihen mit deterministischen Summanden verwenden.
2. (a) Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P), eine ZufallsvariableX ∈ L2(Ω,A, P) und eine Unter-σ-AlgebraF ⊆ A. Geben Sie eine Formel an, die die Varianz vonX mit Hilfe der bedingten Erwartung und der bedingten Varianz vonX gegebenF darstellt.
(b) Nun sei Y > 0 eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit dem Parameter 1, d.h. Y besitzt die Dichtef(y) =e−y, y >0. Weiter seiN eine Zufallsvariable mit Werten in N0. Bedingt aufY seiN poissonverteilt mit dem ParameterY, d.h.
P[N ∈A|Y] = X
n∈N0
e−YYn
n! 1A(n) P-fast sicher, A⊆N0.
Berechnen Sie folgende Gr¨oßen:E[N|Y],E[N], Var(N|Y), Var(N).
3. (a) Gegeben seien zwei reellwertige Zufallsvariablen X, Y auf einem Wahrscheinlichkeits- raum (Ω,A, P). Definieren Sie den Begriff “regul¨are bedingte Verteilung vonXgegeben Y”.Hinweis:Die Ausdr¨ucke “gegebenY” und “gegebenσ(Y)” bedeuten das Gleiche.
(b) Nun seien X und Y gemeinsam normalverteilt mit den Erwartungswerten EP[X] = EP[Y] = 0. Die Inverse der Kovarianzmatrix des Zufallsvektors (X, Y) werde mit
Σ−1=
α β β γ
bezeichnet. Geben Sie mit diesen Bezeichnungen eine regul¨are bedingte Verteilung von X gegebenY explizit an.
(c) Berechnen Sie in der Situation von eben eine Version der bedingten ErwartungEP[X|Y] vonX gegebenY.
(d) Zeigen Sie in der Situation von eben, dassX−EP[X|Y] undY unabh¨angig voneinander sind.
4. Gegeben seien eine standard Brownsche Bewegung (Bt)t≥0 auf einem Wahrscheinlichkeits- raum (Ω,A, P) und die zugeh¨orige nat¨urliche FiltrationF= (Ft)t≥0, sowieXt=et/2cosBt, t≥0. Weiter seiT = inf{t≥0 : |Bt| ≥π/2} die Austrittszeit der Brownschen Bewegung aus dem Intervall ]−π2,π2[.
(a) Beweisen Sie, dass (Xt)t≥0 ein Martingal bez¨uglichF ist.Hinweis:Aus der Analysis 3 ist bekannt:
√1 2πt
Z
R
eikxe−x
2
2t dx=e−tk
2
2 , k∈R, t >0.
(b) Formulieren Sie eine Version des optional sampling Theorems.
(c) Berechnen SieE[XT∧s] f¨ur s≥0.
(d) Beweisen Sie: P[T > s] ≥ e−s/2 f¨ur s ≥ 0. Hinweis: Es wird empfohlen, hierzu das Ergebnis der vorhergehenden Teilaufgabe zu verwenden.
