HUMBOLDT-UNIVERSIT ¨AT ZU BERLIN INSTITUT F ¨UR PHYSIK
Mathematische Grundlagen (WS10/11)
Vorlesung: Prof. Dr. L. Schimansky-Geier Ubungen: Dr. A. Straube, S. Martens ¨
Ubungsblatt 9: ¨ Vektoralgebra
Ausgabe: 04.01.2011 Abgabe: 11.01.2011
1. Aufgabe (3 Punkte) Winkel zwischen Vektoren Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Vektoren
A= (2 +√
3)ex+ey und B =ex+ (2 +√ 3)ey. 2. Aufgabe (3 Punkte)
Beweisen Sie, dass
a) r× dr
dt =ω(a×b), und b) d2r
dt2 +ω2r= 0
f¨urr=acosωt+bsinωtgilt, wobeiaundbbeliebige konstante nicht kollineare Vektoren sind und ω ein konstanter Skalar ist.
3. Aufgabe (6 Punkte) Vektoridentit¨aten Beweisen Sie die folgenden Indentit¨aten:
a) (A×B)2=A2B2 −(A·B)2,
b) (A×B)·(C×D) = (A·C)(B·D)−(A·D)(B·C), c) A×(B×C) =B(A·C)−C(A·B),
d) A×(B×C) +B×(C×A) +C×(A×B) = 0 (Jacobi−Identit¨at). 4. Aufgabe (8 Punkte) Faltungen des Levi-Civita-Symbols (Epsilon-Tensors)
Beweisen Sie die folgenden Indentit¨aten:
a) X
i
εijkεimn =δjmδkn−δjnδkm, b) X
ij
εijkεijn = 2δkn, c) X
ijk
εijkεijk = 6.
Hinweis: Wenden Sie die Beziehung
εijkεlmn=
δil δim δin δjl δjm δjn δkl δkm δkn
an, die die Zusammenhang zwischen Epsilon-Tensor und Kronecker-Delta liefert.
