Kombinatorische Optimierung Jens M. Schmidt

7. Übungsblatt

Kombinatorische Optimierung

Jens M. Schmidt

Aufgabe 1: Jaeger und Beute

Finden Sie für folgenden Graphen einen nowhere-zero 4-Fluss mit den Ideen des Satzes von Jaeger.

6

1

7

2 3

8 9

4 5

Aufgabe 2: Münzwechsel

In einer Währung gebe es Münzen in den k Wertigkeiten w

> w

> · · · >

w

= 1 Cent. Das Münzwechselproblem für eine gegebene Zahl n ∈ N besteht dar- in, nicht-negative Anzahlen n

, . . . , n

für die jeweiligen Werte zu finden, so dass

P

1≤i≤k

n

w

= n ist und die Gesamtanzahl der Münzen minimal ist.

i) Nehmen Sie die Wertigkeiten der Eurozone an (200, 100, 50, 20, 10, 5, 2, 1 Cent).

Finden Sie für diese einen Greedy-Algorithmus, der das Münzwechselproblem löst, und beweisen Sie dessen Korrektheit.

ii) Finden Sie Wertigkeiten, für die der obige Algorithmus fehlschlägt.

iii) Finden Sie einen effizienten Algorithmus, der das Problem für allgemeine Wer- tigkeiten löst.

Aufgabe 3: Größte Teilfolgen

Betrachten Sie eine Folge von n > 0 reellen Zahlen A(i), 1 ≤ i ≤ n.

i) Finden Sie einen möglichst effizienten Algorithmus, der die größte Summe einer nicht-leeren konsekutiven Teilfolge von A berechnet.

ii) Finden Sie einen möglichst effizienten Algorithmus, der das größte Produkt einer nicht-leeren konsekutiven Teilfolge von A berechnet.

Beispielsweise soll für die Folge 4, −1, 5, −7, 4, −5, 0, 4 der erste Algorithmus 8 (Sum-

me von A

) ausgeben und der zweite 700 (Produkt von A

). Nehmen Sie an, dass

Multiplikationen, Additionen und Vergleiche jeweils in einem Rechenschritt ausge-

führt werden können.

Aufgabe 4: Längste Triangulationen

Sei ein konvexes Polygon P mit n Ecken gegeben. Eine Triangulierung von P ist eine

Menge von n − 3 Diagonalen von P , die sich nicht kreuzen (d.h. die Triangulierung

zerlegt P planar in n − 2 Dreiecke). Die Länge einer Triangulierung ist die Summe

der verwendeten Diagonalenlängen. Finden Sie einen effizienten Algorithmus, der für

P eine Triangulierung maximaler Länge berechnet.