Kombinatorische Optimierung Jens M. Schmidt

2. Übungsblatt

Kombinatorische Optimierung

Jens M. Schmidt

Aufgabe 1: Familiengröße

Eine Familie F von verschiedenen Mengen heißt laminar, wenn für alle X, Y ∈ F gilt: X ∩ Y = ∅ oder X ⊂ Y oder Y ⊂ X. Zeigen Sie, dass jede laminare Familie auf einer n-elementigen Grundmenge E höchstens 2n Elemente enthält.

Aufgabe 2: Matroid-Eigenschaften

i) Beweisen Sie, dass die Vergrößerungseigenschaft (M3) zu folgender Eigenschaft äquivalent ist, wenn (M2) gegeben ist:

A, B ∈ I und |A| = |B| + 1 ⇒ ∃e ∈ A − B : B + e ∈ I.

ii) Zeigen Sie, dass das uniforme Matroid, Partitions-Matroid und laminare Ma- troid jeweils Matroide sind und sich diese Matroide in dieser Reihenfolge gene- ralisieren.

Aufgabe 3: Graphische Matroide sind Vektor-Matroide

i) Zeigen Sie, dass für eine geeignet modizifierte Inzidenzmatrix A eines Graphen G das graphische Matroid von G das Vektor-Matroid von A ist.

ii) Zeigen Sie stärker, dass in obiger Aussage ein reguläres Vektor-Matroid erhalten werden kann.

Aufgabe 4: Matchings

Ein Matching ist eine Kantenteilmenge, in der keine zwei Kanten denselben End- knoten haben. Sei G = (V, E) ein Graph.

i) Sei A ⊆ E unabhängig, wenn A ein Matching ist. Gibt es Graphen, für die die unabhängigen Mengen auf E kein Matroid bilden?

ii) Sei A ⊆ V unabhängig, wenn G ein Matching M

enthält, dass zu jedem Kno- ten aus A inzident ist. Zeigen Sie, dass die unabhängigen Mengen auf V ein Matroid bilden.

Tipp: Betrachten Sie für (M3) die symmetrische Differenz M

∆M

zweier Mat- chings. Welche Pfade darin starten an Knoten in A − B?

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Uniformes Matroid U

(für n := |E|): Für ein gegebenes k ∈ N sei I := {A ⊆ E | |A| ≤ k}.

Partitions-Matroid: Gegeben ist eine Partition E

, . . . , E

von E und k

, . . . , k

∈ N . Sei A ⊆ E genau dann unabhängig, wenn |A ∩ E

| ≤ k

für alle i ist.

Laminares Matroid: Sei F eine laminare Familie auf E, so dass jedes e ∈ E in mindestens einem Element

von F enthalten ist und sei zusätzlich für jedes X ∈ F eine Zahl k

∈ N gegeben. Sei A ⊆ E genau dann

unabhängig, wenn |A ∩ X | ≤ k

für alle X ∈ F .

iii) Seien E

, . . . , E

nicht notwendigerweise disjunkte Teilmengen von E. Eine

Transversale von F := {E

, . . . , E

} ist eine Teilmenge {e

, . . . , e

} ⊆ E, für

die e

∈ E

für alle i ist. Eine Teiltransversale ist eine Transversale von einer

Teilmenge von F . Zeigen Sie, dass die Menge aller Teiltransversalen ein Matroid

auf E bildet. Was sind die Basen des Matroids?