J. Müller WS 2017/2018 06.12.2017 7. Übung zur Elementaren Zahlentheorie und Algebra
A29: Es seien G, H Gruppen undϕ:G→H ein Morphismus. Zeigen Sie:
a) Ist M ⊂G, so istϕ(hMi) = hϕ(M)i.
b) Ist G zyklisch, so istϕ(G)zyklisch.
A30: Überlegen Sie sich, dass durchexp :C→C∗ ein Epimorphismus von (C,+,0)nach (C∗,·,1)gegeben ist. Wie sieht Kern(exp)aus?
A31: Zeigen Sie:
a) (R,+,0) und ((0,∞),·,1)sind isomorph, b) (R,+,0) und (R∗,·,1) sind nicht isomorph.
A32: Es seien G eine Gruppe, U ⊂G eine Untergruppe und Ug :=gU g−1 :={gag−1 :a∈U}.
Zeigen Sie:
a) Ug ist eine Untergruppe von G.
b) Für alleg ∈G ist(Ug−1)g =U.
c) Es gilt Ug ⊂U für alle g ∈G genau dann, wenn Ug =U für alle g ∈G gilt.
A33: Es sei Geine Gruppe. Dann heißt
Z(G) := {a∈G:ag =ga(g ∈G)}
das Zentrum von G. Zeigen Sie: Z(G) ist eine Untergruppe von G und es gilt Z(G)g =Z(G) für alle g ∈G.
