A12: a) Zeigen Sie: Für alle m∈N ist d(m

J. Müller WS 2017/2018 08.11.2017 3. Übung zur Elementaren Zahlentheorie und Algebra

A11: Zeigen Sie: Für n, m∈Ngilt

a) α_p(nm) =α_p(n) +α_p(m) (p∈P), b) n|m ⇔α_q(n)≤α_q(m) (p∈P),

c) α_p ggT(n, m)

= min

(α_p(n), α_p(m) (p∈P).

A12: a) Zeigen Sie: Für alle m∈N ist

d(m) := #{k ∈N:k|m}=Y

p∈P

(α_p(m) + 1).

b) Mitp₁ := 2 sei p_k+1 := min{p∈P:p > p_k} für k∈N (man nennt dannp_k die k-te Primzahl). Bestimmen Sie d(m_n)für

m_n:=

n−1

Y

j=0

p_j+1^n−j (n∈N).

Woher kennt man m₂ und m₃?

A13: Eine Zahl n ∈Nheißt quadratfrei, falls aus d∈N, d²|n schond= 1 folgt. Beweisen Sie:

a) n ist genau dann quadratfrei, wenn a_p(n)∈ {0,1} für alle p∈P gilt.

b) Jedesn ∈Nlässt sich faktorisieren als n =mk² mit k ∈Nund quadratfreiem m∈N.

A14: Beweisen Sie: Für alle n, a∈Ngilt jn

a

k= #{k ∈ {1, . . . , n}:a|k}, wobei b·c die Gaußklammer bezeichnet.

A15: a) Es sein ∈N. Zeigen Sie: Sindp, q ∈P mit p≤q, so ist α_p(n!)≥α_q(n!).

b) Es sei p₃₀₆ die 306-te Primzahl. Auf wie viele Nullen endet die Zahl p₃₀₆! im Dezimalsystem?