Kombinatorische Optimierung Jens M. Schmidt

(1)

6. Übungsblatt

Kombinatorische Optimierung

Jens M. Schmidt

Aufgabe 1: Preflow-Push

Angenommen, wir sind nur an dem Wert |f

^∗

| eines maximalen st-Flusses f

^∗

interes- siert und nicht an dem Fluss selbst.

i) Sei f der Fluss zu dem ersten Zeitpunkt, für den die Distanzmarkierung jedes aktiven Knotens mindestens n − 1 ist. Zeigen Sie |f | = |f

^∗

| (damit steht der Wert des maximalen Flusses beim Push-Relabel-Algorithmus schon zu diesem Zeitpunkt fest). Wie kann man dann |f | ablesen?

ii) Wenden Sie (i) auf das folgende Netzwerk an.

5

2

s

2

3

t v

w

Aufgabe 2: Eine Runde Matrizen

Gegeben sei eine n × m-Matrix M über R ; die Summe der i-ten Zeile bzw. Spalte sei n

i

bzw. m

i

. Eine Rundung von M ersetzt jeden Wert x aus M und jede Zeilen- und Spaltensumme x durch dxe oder bxc, unabhängig von dessen Nachkommastellen.

Eine Rundung M

⁰

von M heißt konsistent, wenn die gerundeten Zeilen- und Spal- tensummen die Summe der gerundeten Zeilen- und Spaltenwerte sind (siehe Beispiel für eine konsistente Rundung).

8.7 2.3 1.6 4.8 14.8 6.0 3.1 5.7 9.5 1.9 5.1 2.5 Σ 10.2 9.8 13.0

−→

9 2 2 5

14 6 3 5

10 2 5 3

Σ 10 10 13

Finden Sie einen Algorithmus, der eine konsistente Rundung für M berechnet (ins- besondere existiert dann eine). Sie dürfen dabei folgendes voraussetzen:

• Sei (G, s, t, c) ein Netzwerk und sei zusätzlich eine Mindestkapazität d(e) ∈

[0, c(e)] für jede Kante e von G gegeben. Ein st-Fluss f für dieses Netzwerk

heißt zulässig, falls 0 ≤ d(e) ≤ c(e) für jede Kante e von G gilt. Falls ein

zulässiger st-Fluss für dieses Netzwerk existiert, kann ein maximaler zulässiger

st-Fluss effizient gefunden werden, der (ähnlich zu Ford-Fulkerson) ganzzahlig

ist, falls alle Kapazitäten ganzzahlig sind.

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Kombinatorische Optimierung Jens M. Schmidt

6. Übungsblatt

Kombinatorische Optimierung

Jens M. Schmidt

Aufgabe 1: Preflow-Push

Angenommen, wir sind nur an dem Wert |f

| eines maximalen st-Flusses f

interes- siert und nicht an dem Fluss selbst.

i) Sei f der Fluss zu dem ersten Zeitpunkt, für den die Distanzmarkierung jedes aktiven Knotens mindestens n − 1 ist. Zeigen Sie |f | = |f

| (damit steht der Wert des maximalen Flusses beim Push-Relabel-Algorithmus schon zu diesem Zeitpunkt fest). Wie kann man dann |f | ablesen?

ii) Wenden Sie (i) auf das folgende Netzwerk an.

s

t v

w

Aufgabe 2: Eine Runde Matrizen

Gegeben sei eine n × m-Matrix M über R ; die Summe der i-ten Zeile bzw. Spalte sei n

bzw. m

. Eine Rundung von M ersetzt jeden Wert x aus M und jede Zeilen- und Spaltensumme x durch dxe oder bxc, unabhängig von dessen Nachkommastellen.

Eine Rundung M

von M heißt konsistent, wenn die gerundeten Zeilen- und Spal- tensummen die Summe der gerundeten Zeilen- und Spaltenwerte sind (siehe Beispiel für eine konsistente Rundung).

8.7 2.3 1.6 4.8 14.8 6.0 3.1 5.7 9.5 1.9 5.1 2.5 Σ 10.2 9.8 13.0

−→

9 2 2 5

14 6 3 5

10 2 5 3

Σ 10 10 13

Finden Sie einen Algorithmus, der eine konsistente Rundung für M berechnet (ins- besondere existiert dann eine). Sie dürfen dabei folgendes voraussetzen:

• Sei (G, s, t, c) ein Netzwerk und sei zusätzlich eine Mindestkapazität d(e) ∈

[0, c(e)] für jede Kante e von G gegeben. Ein st-Fluss f für dieses Netzwerk

heißt zulässig, falls 0 ≤ d(e) ≤ c(e) für jede Kante e von G gilt. Falls ein

zulässiger st-Fluss für dieses Netzwerk existiert, kann ein maximaler zulässiger

st-Fluss effizient gefunden werden, der (ähnlich zu Ford-Fulkerson) ganzzahlig

ist, falls alle Kapazitäten ganzzahlig sind.

Aufgabe 3: Heroes and Zeroes

Sei G ein 3-regulärer Graph. Zeigen Sie, dass G genau dann 3-kantenfärbbar ist (d.h.

keine zwei adjazenten Kanten haben dieselbe Farbe) wenn G einen nowhere-zero

Z

× Z

-Fluss (mit komponentenweiser Addition) hat. Was gilt, wenn G zusätzlich

planar ist?