Maximaler Fluss

(1)

VL-19: Maximaler Fluss

(Datenstrukturen und Algorithmen, SS 2017) Gerhard Woeginger

SS 2017, RWTH

DSAL/SS 2017 VL-19: Maximaler Fluss 1/52

Organisatorisches

• Vorlesung: Gerhard Woeginger (Zimmer 4024 im E1) Sprechstunde: Mittwoch 11:15–12:00

• Übungen: Tim Hartmann, David Korzeniewski, Björn Tauer Email:dsal-i1@algo.rwth-aachen.de

• Webseite:http://algo.rwth-aachen.de/Lehre/SS17/DSA.php

• Nächste Vorlesung:

Dienstag, Juli 11, Aula 1, zur gewohnten Zeit

Maximaler Fluss

• Flussnetzwerke

• Ford-Fulkerson Algorithmus

• Residuale Netzwerke

• Minimaler Schnitt

• Edmonds-Karp Algorithmus

Beispiel: Maximaler Fluss

(2)

Beispiel: Maximaler Fluss

Beispiel: Maximaler Fluss Beispiel: Maximaler Fluss

(3)

Beispiel: Maximaler Fluss

Beispiel: Maximaler Fluss Beispiel: Maximaler Fluss

(4)

Beispiel: Maximaler Fluss

Beispiel: Eisenbahnnetzwerk

Fig. 2.From Harris and Ross [11]: Schematic diagram of the railway network of the Western Soviet Union and Eastern European countries, with a maximum flow of value 163,000 tons from Russia to Eastern Europe, and a cut of capacity 163,000 tons indicated as “The bottleneck”

Grundlegende Definitionen

(5)

Graphenproblem: Maximaler Fluss

Problem: Maximaler Fluss

Eingabe: 1. Eine Strassenkarte, auf der dieKapazitätender Strassen eingezeichnet sind

2. eine Quelle, und 3. eine Senke.

Ausgabe: Die maximale Rate, mit der Material (= Zuschauer) von der Quelle bis zur Senke (= Stadion) transportiert werden kann, ohne die Kapazitätsbeschränkungen der Strassen zu verletzen.

Definition: Flussnetzwerk

EinFlussnetzwerk G= (V,E,c)ist ein digraph(V,E)zusammen mit

I c:V ×V →R≥0 dieKapazitätsfunktionsodass:

I (u,v)∈E dannc(u,v)≥0

I (u,v)6∈E dannc(u,v) =0

I s,t ∈V, dieQuelles undSenket des Flussnetzwerkes

I Jeder Knoten v∈V liegt auf einem Pfad von Quelles zur Senket

s t

I In Quelle wird produziert

I In Senke wird verbraucht

I Kanten sind Wasserrohre

I Kapazität = max Durchsatzrate

Definition: Fluss

EinFlussist Funktionf:V ×V →Rmit folgenden Eigenschaften:

Beschränkung: Für u,v ∈V gilt: f(u,v)≤c(u,v).

Asymmetrie: Für u,v ∈V gilt: f(u,v) =−f(v,u).

Flusserhaltung: Für u∈V \ {s,t}gilt: X

v∈V

f(u,v) =0.

Der Wertf(u,v)ist der Fluss vom Knotenuzum Knotenv.

I Der Fluss zwischen zwei Knoten darf die Kapazitätsbeschränkung nicht überschreiten

I Der Fluss vonunachv ist der negative Fluss vonv nachu

I Gesamter positiver Flussineinen Knoten hinein = gesamter positiver Flussausdem Knoten heraus (vgl Kirchhoffsche Regel für Strom)

Definition: Wert eines Flusses

Definition (Wert eines Flusses)

DerWert|f|des Flusses f ist der Gesamtfluss aus der Quelles heraus:

|f| = X

v∈V

f(s,v).

Wegen der Flusserhaltungsgleichungen gilt auch:

Der Wert|f|des Flusses f ist der Gesamtfluss in die Senket hinein:

|f| = X

v∈V

f(v,t).

(6)

Darstellung von Flüssen

s

A

B

C

D

t 5/16

4/13

3/10

4 9

7/14 6/7 2/12

8/20

1/4

s

A

B

C

D

t 11/16

8/13

10

1/4 4/9

11/14 7/7 12/12

15/20

4/4

I Wir beschriften Kanten mitf(u,v)/c(u,v), fallsf(u,v)>0.

I Negative Flüssef(u,v)<0 werden nicht explizit angegeben.

I Der eingezeichnete Flussf hat den Wert|f|=5+4=9.

I Der alternative rote Flussf⁰ hat den Wert |f⁰|=11+8=19.

Definition: Maximaler Fluss

EinmaximalerFluss ist ein Fluss mit grösstmöglichem Wert.

Problem (Maximaler Fluss)

Finde einenmaximalen Flussin einem gegebenen Flussnetzwerk G .

Beispiel (Anwendungen)

I Wie gross ist der maximale Datendurchsatz zwischen zwei Computern in einem Netzwerk?

I Wie kann der Verkehr in einem Strassennetz so geleitet werden, dass möglichst viele Autos in einer gegeben Zeitspanne ein Ziel erreichen?

I Wie viele Leitungen müssen zerstört sein, damit zwei Computer nicht mehr miteinander kommunizieren können?

I Wie stark sind zwei Gruppen von Facebook-Nutzern miteinander vernetzt?

Beispiel: Ein maximaler Fluss

s

A

B

C

D

t 14/16

10/13

2/10 4

1/9

11/14 7/7 12/12

20/20

4/4

I Der maximale Fluss in diesem Beispiel hat den Wert|f|=24.

I Es kann verschiedene maximale Flüsse geben.

Variante: Mehrere Quellen und Senken

s₃ t₃

s2 t2

s1 t1

10 5

6 3

10 5

6 3

10 5

s t

∞

Variante mit mehreren Quellen und Senken:

Diese Variante kann durch Einführen von einer neuen Superquelle und einer neuen Supersenke in ein gewöhnliches Flussnetzwerk (mit einer Quelle und einer Senke) überführt werden.

(7)

Definition: Flüsse zwischen Knotenmengen

Notationen

f(x,Y) = X

y∈Y

f(x,y) fürY ⊆V f(X,y) = X

x∈X

f(x,y) fürX ⊆V f(X,Y) = X

x∈X

X

y∈Y

f(x,y) fürX,Y ⊆V

Eigenschaften von Flüssen zwischen Mengen

Für jeden Flussf des FlussnetzwerkesG= (V,E,c)gilt:

1. f(X,X) =0 fürX ⊆V

2. f(X,Y) =−f(Y,X) fürX,Y ⊆V

3. f(X ∪Y,Z) =f(X,Z) +f(Y,Z) fürX,Y,Z ⊆V :X∩Y =∅ 4. f(Z,X∪Y) =f(Z,X) +f(Z,Y) fürX,Y,Z ⊆V :X∩Y =∅

Beweis: f ( X , X ) = 0

f(X,X) = X

x₁∈X

X

x₂∈X

f(x1,x₂)

= 1

2

X

x1∈X

X

x2∈X

f(x1,x₂) +X

x1∈X

X

x2∈X

f(x1,x₂)

= 1

2

X

x1∈X

X

x2∈X

f(x1,x₂) +X

x1∈X

X

x2∈X

f(x2,x₁)

= 1

2 X

x₁∈X

X

x₂∈X

f(x1,x2) +f(x2,x1)

= 1

2 X

x₁∈X

X

x₂∈X

f(x1,x₂)−f(x1,x₂)

= 0.

Für den Beweis benötigen wir lediglich die Eigenschaft der Asymmetrie.

Eingehender Fluss in Senke

Wie gross ist der an der Senke eingehende Fluss?

|f| = f(s,V) = f(V,t) Beweis:

f(s,V) =f(V,V)−f(V − {s},V) | Eigenschaft 3

=−f(V − {s},V) | Eigenschaft 1

=f(V,V − {s}) | Eigenschaft 2

=f(V,t) +f(V,V − {s,t}) | Eigenschaft 4

=f(V,t). | Flusserhaltung

Ford-Fulkerson

(8)

Ford-Fulkerson Methode (1956): Grundidee

s t

12/16

13

10 4

9

14

7 12/12

12/20

4

1. Suche einen PfadP von s nacht.

2. Setze den Fluss der Kanten inP auf die kleinste Kapazität inP.

3. Suche einen PfadP⁰ von s nacht aus Kanten mit freier Kapazität.

4. Erhöhe Fluss auf Kanten inP⁰ um die kleinste Restkapazität in P.

5. Wiederhole 3. und 4. bis es keinen PfadP mehr gibt.

Residuale Netzwerke (1)

Intuition

Residuales Netzwerk = Netzwerk minus momentaner Fluss

Definition (Residuales Netzwerk G

_f

)

Es seiG = (V,E,c)ein Flussnetzwerk und es seif ein Fluss.

DasResiduale NetzwerkG_f = (V,E_f,c_f)fürG undf ist gegeben durch:

I cf(u,v) =c(u,v)−f(u,v)und

I Ef ={(u,v)∈V ×V |cf(u,v)>0}

• cf(u,v)ist dieRestkapazitätvon Kante(u,v)inG zu Flussf.

• Ef sind die Kanten die noch Fluss aufnehmen können.

Residuales Netzwerk (2)

Definition (Residuales Netzwerk G

_f

)

Es seiG= (V,E,c)ein Flussnetzwerk undf ein Fluss. Dann ist G_f = (V,E_f,c_f)dasResiduale NetzwerkfürG und f mit:

I cf(u,v) =c(u,v)−f(u,v)(Restkapazität)

I Ef ={(u,v)∈V ×V |cf(u,v)>0}.

s

A

B

C

D

t

s

A

B

C

D

t

16/16

13

4/10 4

4/9

14 7 12/12

16/20

4

FlussnetzwerkG Residuales Netzwerk G_f

Residuales Netzwerk (2)

Definition (Residuales Netzwerk G

_f

)

Es seiG = (V,E,c)ein Flussnetzwerk undf ein Fluss. Dann ist G_f = (V,E_f,c_f)dasResiduale NetzwerkfürG undf mit:

I cf(u,v) =c(u,v)−f(u,v)(Restkapazität)

I Ef ={(u,v)∈V ×V |cf(u,v)>0}.

s

A

B

C

D

t s

A

B

C

D

t 16/16

13

4/10 4

4/9

14 7 12/12

16/20

4 13

16 6 8

5

14 4

4 12

7

4 16

Flussnetzwerk G Residuales NetzwerkG_f

(9)

Residuales Netzwerk (3)

Definition (Residuales Netzwerk G

_f

)

Es seiG= (V,E,c)ein Flussnetzwerk undf ein Fluss. Dann ist Gf = (V,Ef,cf)dasResiduale NetzwerkfürG und f mit:

I c_f(u,v) =c(u,v)−f(u,v)(Restkapazität)

I Ef ={(u,v)∈V ×V |cf(u,v)>0}.

Kanten im Residualen Netzwerk

I Fallsf(u,v)<c(u,v), dann folgtcf(u,v)>0 und(u,v)∈Ef I Fallsf(u,v)>0, dannf(v,u)<0, und damitc_f(v,u)>0 und

(v,u)∈E_f

I Falls weder(u,v)6∈E noch(v,u)6∈E, danncf(u,v) =cf(v,u) =0 Also|Ef| ≤ 2·|E|.

Augmentierende Pfade

s

A

B

C

D

t s

A

B

C

D

t 16/16

13

4/10 4

4/9

14 7 12/12

16/20

4 13

16

6 8

5

14 4

4 12

7 4 16

FlussnetzwerkG Residuales Netzwerk Gf I s-t-Pfad im Residualen NetzwerkGf heisstaugmentierender Pfad

I cf(P) =min{cf(u,v)|(u,v)∈P}heisstRestkapazität vonP.

I Der Pfad im obigen Beispiel hat die Restkapazität 4.

Augmentierende Pfade

s

A

B

C

D

t s

A

B

C

D

t 16/16

13

4/10 4

4/9

14 7 12/12

16/20

4 4/13

16 6 8

4/5

14 4

4/4 12

7

4 16

Flussnetzwerk G Residuales NetzwerkG_f SeiG Flussnetzwerk;f Fluss;P augmentierender Pfad inG_f.

f_P(u,v) =







c_f(P) falls(u,v)aufP

−cf(P) falls(v,u)aufP

0 sonst

Dann istf_P Fluss im Residualen NetzwerkG_f mit Wert|f_P|=c_f(P)>0.

Ford-Fulkerson Theorem

Definition: Summe von zwei Flüssen

Es seien f₁,f₂:V ×V →Rzwei Flüsse. DieFlusssummef₁+f₂ ist definiert durch:(f1+f2)(u,v) =f1(u,v) +f2(u,v).

Theorem (Ford-Fulkerson)

Es sei G= (V,E,c)ein Flussnetzwerk. Es seif ein Fluss inG, und es sei f⁰ ein Fluss inGf.

Dann gilt:f +f⁰ ist Fluss inG mit Wert |f +f⁰|.

Beweis.

Wir zeigen, dassf +f⁰ beschränkt, asymmetrisch und flusserhaltend ist

(10)

Beweis des Ford-Fulkerson Theorems

Asymmetrie:

(f +f⁰)(u,v) = f(u,v) +f⁰(u,v)

= −f(v,u)−f⁰(v,u)

= −(f(v,u) +f⁰(v,u))

= −(f +f⁰)(v,u) Flusserhaltung:

(f +f⁰)(u,V) = f(u,V) +f⁰(u,V) =0 | ∀u∈V − {s,t} Beschränkung:

(f +f⁰)(u,v) = f(u,v) +f⁰(u,v)

≤ f(u,v) +cf(u,v)

= f(u,v) + (c(u,v)−f(u,v))

= c(u,v).

Die Ford-Fulkerson Methode

Algorithmus

Initialisiere Flussf auf jeder Kante mit 0 While(es einen augmentierenden PfadP gibt)

doaugmentieref entlangP //f :=f +f_P returnf

s

A

B

C

D

t s

A

B

C

D

t 4/16

6+7/13

10 4/12

4 6/9

7/14

6+7/20

3/7

4/4

12

6

4 10

8

7 4

9 7

4 13

3

7 4

7

4

Flussnetzwerk G Residuales Netzwerk G_f

Implementierung Ford-Fulkerson Methode

1 int [ n , n ] m a x F l o w ( L i s t a d j L s t [ n ] , int n , int s , int t ) { 2 int f l o w [ n , n ] = 0 , p a t h [];

3 int cfp ; // R e s t k a p a z i t a e t des P f a d e s 4

5 w h i l e ( t r u e ) {

6 // F i n d e a u g m e n t i e r e n d e n P f a d und R e s t k a p a z i t a e t 7 ( path , cfp ) = a u g m e n t P f a d ( adjLst , flow , s , t ) ; 8 if ( cfp == 0) { // k e i n P f a d g e f u n d e n

9 r e t u r n f l o w ;

10 }

11

12 // a d d i e r e R e s t k a p a z i t a e t e n t l a n g P f a d zum F l u s s 13 for ( int i = 1; i < p a t h . l e n g t h ; i ++) {

14 int u = p a t h [ i -1] , v = p a t h [ i ];

15 f l o w [ u , v ] = f l o w [ u , v ] + cfp ; 16 f l o w [ v , u ] = - f l o w [ u , v ];

17 }

18 }

19 }

Laufzeit von Ford-Fulkerson (1)

Ein Flussproblem heistintegral, wenn alle Kapazitäten ganzzahlig sind.

Satz (Zeitkomplexität)

Es seif^∗ der durch die Ford-Fulkerson Methode bestimmte maximale Fluss in einem integralen Flussproblem.

Dann: Höchstens|f^∗|Iterationen, und Laufzeit istO(|E| · |f^∗|).

Beweis.

Jede Iteration erhöht Wert des Flusses umc_f(P)≥1. Wert ist anfangs 0 und am Endef^∗. Jede Iteration betrifft höchstens|E|Kanten.

I Für integralesFlussproblem bestimmt die Ford-Fulkerson Methode Flussf, in dem jedesf(u,v)ganzzahligist.

I Bei rationalenKapazitäten terminiert die Ford–Fulkerson–Methode.

Brüche können durch Multiplikation aufgehoben werden.

(11)

Laufzeit von Ford-Fulkerson (2)

s t

1/100

0/1

1/100

Die Worst-Case-Laufzeit hängt vom Wert des maximalen Flusses ab.

Im schlimmsten Fall erhöht sich Wert des Flusses jeweils nur um eine Einheit.

Korrektheit von Ford-Fulkerson

Die Ford-Fulkerson Methode erweitert den Fluss inG sukzessive um augmentierende Pfade im Residualen NetzwerkGf

bis es keine solche Pfade mehr gibt.

Wir werden zeigen, dass

ein Fluss inG genau dannmaximalist, wenn

sein Residuales Netzwerkkeine augmentierende Pfadeenthält.

Dazu benutzen wir das Konzept einesSchnittes.

Schnitte in Flussnetzwerken (1)

Definition

EinSchnitt (S,T)in einem FlussnetzwerkG = (V,E,c)ist eine PartitionS∪T =V,S∩T =∅mits∈S undt ∈T.

I Wennf ein Fluss in G ist, dann istf(S,T)derFluss über(S,T).

I DieKapazität von(S,T)istc(S,T).

I Ein minimaler Schnittist ein Schnitt mit minimaler Kapazität.

Datenstrukturen und Algorithmen (Folie 366, Seite 62 im Skript)

Schnitte in Netzwerken

s

v1

v2

v3

v4

s t

v1

v2

v3

v4

t 11/16

8/13

10 1/4 12/12

4/9

11/14

7/7 15/20

4/4

Der Fluß ¨uber (S,T) ist19.

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Schnitte in Flussnetzwerken (2)

Datenstrukturen und Algorithmen (Folie 368, Seite 62 im Skript)

Schnitte in Netzwerken

s

v1

v2

v3

v4

s t

v1

v2

v3

v4

t 11/16

8/13

10 1/4 12/12

4/9

11/14

7/7 15/20

4/4

Der Fluß ¨uber (S,T) ist 19.

Die Kapazit¨at von (S,T) ist 23.

S : {s,v1,v2} {s} {s,v1,v2,v4} T : {t,v3,v4} {t,v1,v2,v3,v4} {t,v3}

Fluss : 12+11-4 19 11+8 19 12-4+7+4 19

Kapazität : 12+14 26 13+16 29 12+7+4 23

Für jeden Fluss über jeden Schnitt gilt:|F|=f(S,T) ≤c(S,T).

Max-flow Min-cut Theorem (1)

Max-flow Min-cut Theorem

Für einen Flussf im FlussnetzwerkG= (V,E,c)sind die folgenden drei Aussagen äquivalent:

1. f ist ein maximaler Fluss.

2. Im Residualen NetzwerkGf gibt es keinen augmentierenden Pfad.

3. |f|=c(S,T)für einen Schnitt(S,T); d. h.(S,T)ist minimal.

Folgerungen:

1. Die Kapazität eines minimalen Schnittes ist gleich dem Wert eines maximalen Flusses.

2. Falls die Ford–Fulkerson–Methode terminiert, so berechnet sie einen maximalenFluss.

Max-flow Min-cut Theorem (2)

Max-flow Min-cut Theorem

Für einen Flussf im FlussnetzwerkG = (V,E,c)sind die folgenden drei Aussagen äquivalent:

1. ⇒ 2. (Widerspruchsbeweis).

Seif maximaler Fluss inG und seiP augmentierender Pfad inG_f.

⇒ f +fP ist ein Fluss inG mit|f +fP|>|f|.

⇒ Widerspruch!Dennf ist ein maximaler Fluss.

Max-flow Min-cut Theorem (3)

Max-flow Min-cut Theorem

Für einen Flussf im FlussnetzwerkG= (V,E,c)sind die folgenden drei Aussagen äquivalent:

2. Im Residualen NetzwerkG_f gibt es keinen augmentierenden Pfad.

2. ⇒ 3.

Angenommen, es gibt keinen augmentierdens-t-Pfad inGf. Es seiS :={v ∈V | ∃s-v-Pfad inG_f }und es seiT :=V−S.

1. ∀u∈S,v ∈T gilt:cf(u,v) =0 ⇒ f(u,v) =c(u,v).

2. (S,T)ist ein Schnitt, und somit giltf(S,T) =|f|.

⇒ c(S,T) =f(S,T) =|f|.

(13)

Max-flow Min-cut Theorem (4)

Max-flow Min-cut Theorem

Für einen Flussf im FlussnetzwerkG = (V,E,c)sind die folgenden drei Aussagen äquivalent:

3. ⇒ 1.

Es seif⁰ ein beliebiger Fluss inG. Dann gilt:

|f⁰| = f⁰(S,T) = X

u∈S

X

v∈T

f⁰(u,v) ≤ X

u∈S

X

v∈T

c(u,v) = c(S,T) Da|f|=c(S,T) und∀f⁰ : |f⁰| ≤c(S,T), folgt:f ist maximal.

Beispiel: Eisenbahnnetzwerk

Fig. 2.From Harris and Ross [11]: Schematic diagram of the railway network of the Western Soviet Union and Eastern European countries, with a maximum flow of value 163,000 tons from Russia to Eastern Europe, and a cut of capacity 163,000 tons indicated as “The bottleneck”

Weitere Max-Flow Algorithmen

Edmonds-Karp Algorithmus

Eine Implementierung der Ford-Fulkerson Methode,

die zur Bestimmung augmentierender Pfade eineBreitensuchenutzt.

Laufzeit: O(|V| · |E|²).

Jeder augmentierende Pfad ist kürzesters-t-Pfad inG_f.

Im Edmonds-Karp-Algorithmus steigt für jeden Knotenv∈V − {s,t} die Länge (= Anzahl der Kanten) des kürzesten Pfades vons nachv im Residualen NetzwerkG_f monotonmit jeder Flusserweiterung.

Theorem

Die Gesamtzahl der Flusserweiterungen im Edmonds-Karp-Algorithmus für das FlussnetzwerkG= (V,E,c)ist inO(|V| · |E|).

(14)

Weitere Max-Flow Algorithmen

Organisatorisches

• Nächste Vorlesung:

Dienstag, Juli 11, Aula 1, zur gewohnten Zeit

• Webseite:http://algo.rwth-aachen.de/Lehre/SS17/DSA.php