Jens M. Schmidt

2. Übungsblatt

Komplexitätstheorie

Jens M. Schmidt

Aufgabe 1: O-Notation

Seien f, f

, g, g

Funktionen N → R

mit f = O(f

) und g = O(g

).

(i) Zeigen Sie, dass für die (punktweisen) Verknüpfungen Addition und Multipli- kation gilt: f + g = O(f

+ g

) und f · g = O(f

· g

).

(ii) Finden Sie Funktionen f, g : N → R

, die in der O-Notation nicht vergleichbar sind.

(iii) Quotientenkriterium: Zeigen Sie die folgenden beiden Implikationen:

(a)

lim

g(n)

= 0

⇒ f = o(g)

(b)

∃c ∈ R

: ∀n ∈ N :

≤ c

⇒ f = O(g).

Gilt jeweils auch die Rückrichtung?

Aufgabe 2: Oh Oh...

Beweisen Sie:

(i) 7n

− 4n

+ dn

+ πe = Θ(n

)

(ii) n log(n

) + 4n = o(n

) für jedes ε ∈ R

Aufgabe 3: Spracheigenschaften Seien L, L

und L

Sprachen.

(i) Zeigen Sie, dass wenn L

und L

rekursiv sind, auch L

∪ L

und L

∩ L

rekursiv sind.

(ii) Zeigen Sie, dass wenn L und L rekursiv aufzählbar sind, L rekursiv ist.

(iii) Zeigen Sie, dass für jede Sprache L genau eine der folgende Aussagen gilt.

– Sowohl L als auch L sind rekursiv.

– Sowohl L als auch L sind nicht rekursiv, aber genau eine der Sprachen ist rekursiv aufzählbar.

– Sowohl L als auch L sind nicht rekursiv aufzählbar.

Aufgabe 4: Unentscheidbarkeit

Geben sei die Sprache U := {<M>w | M akzeptiert w}.

(i) Beweisen Sie mit Hilfe einer geeigneten Reduktion, dass U nicht rekursiv ist.

(ii) Zeigen Sie, dass U rekursiv aufzählbar ist. Was gilt für U ?

(iii) Sei O := {<M>w#<M’>w

| M akzeptiert w und M

akzeptiert w

nicht}.

Untersuchen Sie, ob O und O jeweils rekursiv aufzählbar sind.