Komplexitätstheorie Jens M. Schmidt

1. Übungsblatt

Komplexitätstheorie

Jens M. Schmidt

Aufgabe 1: Abzählbarkeit I

Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen für eine Menge A 6= ∅ äquivalent sind.

Sie dürfen dabei benutzen, dass jede Teilmenge einer abzählbaren Menge abzählbar ist.

(i) A ist abzählbar, d.h. endlich oder bijektiv zu N . (ii) Es existiert eine Surjektion N → A.

(iii) Es existiert eine Injektion A → N .

Aufgabe 2: Abzählbarkeit II

(i) Sei eine Menge A 6= ∅ abzählbar. Zeigen Sie, dass A

abzählbar unendlich ist.

(ii) Sei Σ ein Alphabet. Zeigen Sie, dass die Menge {f | f : Σ

→ {0, 1}} von Entscheidungsproblemen überabzählbar ist (benutzen Sie dabei, dass P ( N ) überabzählbar ist).

Aufgabe 3: Entscheidbarkeit

Sei die Sprache L := {0

1

| m ≥ 1} gegeben.

(i) Zeigen Sie, dass L entscheidbar ist. Geben Sie die Turingmaschine als Zu- standsübergangsdiagramm an (Übergänge der Form δ(q, a) = (q, a, N ) können der Übersichtlichkeit halber weggelassen werden).

(ii) Welche Laufzeit hat Ihre Turingmaschine (in Abhängigkeit zu der Anzahl n der Eingabebits und bis auf konstante Faktoren und Summanden)?

Aufgabe 4: Schneller entscheiden

Sei f : {0, 1}

→ {0, 1}

die für jedes x ∈ N definierte Funktion bin(x) 7→ bin(x+1).

(i) Zeigen Sie, dass f berechenbar ist und die dabei verwendete Turingmaschine mit höchstens einer zu log x proportionalen Laufzeit auskommt.

(ii) Beschreiben Sie (diesmal informal) eine Turingmaschine, die die Sprache L der letzten Aufgabe mit höchstens einer zu n log n proportionalen Laufzeit entscheidet (n ist dabei wieder die Anzahl der Eingabebits)!

(iii) Beschreiben Sie (informal) ein RAM-Programm, dass L noch schneller ent- scheidet. Geben Sie die Laufzeit im uniformen und im logarithmischen Kos- tenmaß an.

Tipp: Nehmen Sie zuerst an, dass n als Registerinhalt bekannt ist.