4. Übungsblatt
Komplexitätstheorie
Jens M. Schmidt
Aufgabe 1: Zeithierarchiesatz
Es ist bisher ungelöst, ob die logarithmische Lücke des Zeithierarchiesatzes für (1-Band-) TMs bestmöglich ist. Betrachten Sie den Beweisteil für die Laufzeit O(t(n) logt(n)) der TM D. Wenn wir zeigen können, dass D sogar in Zeit O(t(n)) läuft, haben wir obengenannte Lücke eliminiert.
(i) Im Beweis wird ein Zähler auf der zweiten Spur von D für jeden Simulati- onsschritt der TM U um 1 gesenkt. Für jeden Schritt haben wir dabei Zeit O(logt(n)) veranschlagt. Zeigen Sie, dass die Gesamtzeit aller Zählersenkun- gen sogar O(t(n)) ist.
(ii) Warum folgt daraus nicht die Laufzeit O(t(n)) für D?
Aufgabe 2: Turingreduktionen
(i) Zeigen Sie, dass ≤T reflexiv und transitiv ist.
(ii) Zeigen Sie CLIQUEdec =T CLIQUEeval =T CLIQUEopt.
Aufgabe 3: NP = No Problem?
Zeigen Sie, dass die folgenden Entscheidungsprobleme in NP liegen. Für welche davon wissen Sie, dass sie auch in P sind?
(i) PARTITION: Gegeben eine MultimengeM vonnnatürlichen Zahlen, existiert eine Partition von M in zwei Teilmengen A und B, die jeweils die gleiche Summe ergeben?
(ii) 2FÄRB (2-Färbbarkeit): Gegeben ein Graph G, ist G 2-färbbar?
(iii) GI (Graphisomorphie): Sind zwei gegebene Graphen G1 = (V1, E1) und G2 = (V2, E2) isomorph, d.h. existiert eine Bijektion f : V1 → V2, so dass für alle v, w∈V1 gilt vw∈E1 ⇔f(v)f(w)∈E2?
(iv) ILP (Integer Linear Programming): Gegeben eine lineare Zielfunktion cTx, lineare NebenbedingungenAx ≤B (alle über Q) und eine Zahlk∈Q, gibt es einen 0-1-Vektor x, der die Nebenbedingungen undcTx≥k erfüllt?
