Komplexitätstheorie Jens M. Schmidt

5. Übungsblatt

Komplexitätstheorie

Jens M. Schmidt

Aufgabe 1: Nichtdeterminismus

Sei die Sprache L := {w ∈ {H, U }

| w enthält das Wort „HUU“ konsekutiv} ge- geben.

(i) Geben Sie eine möglichst kleine NTM an, die L entscheidet.

(ii) Stellen Sie den Berechnungsbaum für die Eingabe UHUU auf.

(iii) Welche Laufzeit hat die NTM?

Aufgabe 2: NP-Charakterisierung

In der Vorlesung wurde NP ⊇ ^S

NTIME(n

) gezeigt. Zeigen Sie die Richtung NP ⊆ ^S

NTIME(n

).

Aufgabe 3: Polynomialzeitreduktionen I

Sei HP das Problem, das für einen gegebenen Graphen ausgibt, ob dieser einen Hamiltonpfad enthält. Zeigen Sie (für die jeweiligen Entscheidungsvarianten)

(i) HP ≤

HC. Gilt auch HP ≤

HC?

(ii) 3-SAT ≤

CLIQUE. Tipp: Jeder Knoten der Clique soll ein Literal darstellen.

Aufgabe 4: Zollstöcke

Sie haben einen Zollstock, dessen n Glieder die Längen a

, . . . , a

aufweisen (a

∈ N ). Für diese Längen und eine Zahl l ∈ N sei ZOLLSTOCK das Problem, ob der Zollstock zu einer Länge höchsten l zusammengefaltet werden kann.

Zeigen Sie PARTITION ≤

ZOLLSTOCK.

Tipp: Verwenden Sie gesonderte Längen für die ersten und letzten beiden Glieder.

Aufgabe 5: Dominating Set

Eine Knotenteilmenge D ⊆ V eines Graphens heißt dominierend, wenn jeder Kno- ten v ∈ V −D zu einem Knoten aus D benachbart ist. Das Problem Dominating Set (DS) fragt für ein k ∈ N und einen gegebenen Graphen, ob dieser eine dominierende Menge mit höchstens k Knoten enthält.

Zeigen Sie VC ≤

DS.