Kombinatorische Optimierung Jens M. Schmidt

3. Übungsblatt

Kombinatorische Optimierung

Jens M. Schmidt

Aufgabe 1: Submodularität

Eine Funktion f : P (E) → R für eine endliche Menge E heißt submodular, wenn für alle A, B ⊆ E die Bedingung f (A ∩ B ) + f(A ∪ B) ≤ f (A) + f (B ) gilt. Falls die Bedingung mit Gleichheit erfüllt ist, heißt f modular.

i) Beweisen Sie, dass Funktionen f mit f(∅) = 0 genau dann modular sind, wenn für alle A ⊆ E gilt: f(A) = ^P

f(a).

Bemerkung: Funktionen f mit beliebigem f (∅) sind genau dann (sub)modular, falls f − f (∅) (sub)modular ist. Für diese folgert man also allgemeiner, dass f genau dann modular ist, wenn für alle A ⊆ E gilt: f (A) = f (∅) + ^P

(f(a) − f (∅)).

ii) Sei f eine submodulare Funktion. Beweisen Sie, dass für alle A ⊆ B ⊆ E und jedes e ∈ E − B gilt: f(B ∪ e) − f (B) ≤ f(A ∪ e) − f (A) (verringernder Erlös bei Augmentierung). Bemerkung: Die Umkehrrichtung gilt auch.

iii) Zeigen Sie für (ungerichtete ungewichtete) Graphen G = (V, E), dass die durch δ : A 7→ |{vw ∈ E | v ∈ A, w / ∈ A}| für jedes ∅ 6= A ⊂ V definierte Schnittfunk- tion submodular ist.

Aufgabe 2: Schnitt von Matroiden

i) Finden Sie zwei Matroide M

und M

mit möglichst kleiner Grundmenge, für die M

∩M

kein Matroid ist (die Beispiele aus der Matroid-Schnitt-Charakterisierung der Vorlesung gilt nicht als möglichst einfach).

Tipp: Verwenden Sie keines der bekannten Matroide, sondern definieren Sie sich ein geeignetes.

ii) Gegeben sei ein gerichteter Graph D = (V, E) mit Gewichtsfunktion c : E → R und r ∈ V . Der unter D liegende ungerichtete Graphen sei G; damit stehen die Kanten von D und G in Bijektion (wir unterscheiden nicht zwischen diesen).

Eine r-Arboreszenz ist ein Spannbaum von G, für den in D jeder Knoten von r aus erreichbar ist (d.h. in D ist der Spannbaum von r weggerichtet).

Modellieren Sie das Problem, eine r-Arboreszenz minimalen Gewichts zu finden, als Schnitt von Matroiden.

Aufgabe 3: Schnitt dreier Matroide

Sei D = (V, E) ein gerichteter Graph und s, t ∈ V . Das (NP-vollständige und daher vermutlich nicht polynomiell lösbare) Hamiltonpfad-Problem fragt, ob in D ein Pfad von s nach t der Länge n := |V | existiert (diese werden Hamiltonpfade genannt).

Konstruieren Sie drei Matroide M

, M

, M

, für die die maximalen unabhängigen

Mengen in I

∩ I

∩ I

das Hamiltonpfadproblem entscheiden. Verwenden Sie für M

das graphische Matroid des unter D liegenden ungericheten Graphen G.