3 D → R auf der durch die Nebenbedingungen g

Lagrange-Multiplikatoren

Ist x

eine lokale Extremstelle einer Funktion f : R

3 D → R auf der durch die Nebenbedingungen g

(x

, . . . , x

) = 0 definierten Menge D, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λ

∈ R , so dass

grad f (x

) = X

k

λ

grad g

(x

) .

Dabei wird vorausgesetzt, dass f und die Funktionen g

in einer Umgebung von x

stetig differenzierbar sind und dass die Gradienten grad g

(x

) linear unabh¨ angig sind.

Bei nur einer Nebenbedingung g (x

, . . . , x

) = 0 hat die Lagrange-Bedingung die einfache Form

grad f (x

) k grad g (x

) ,

falls grad g (x

) 6= (0, . . . , 0)

, d.h. die Niveaufl¨ achen von f und g ber¨ uhren

sich an einer Extremstelle x

. Dies ist in der Abbildung f¨ ur bivariate

Funktionen veranschaulicht.

Die Lagrange-Bedingung ist nicht hinreichend, um zu entscheiden, ob ein lokales Extremum vorliegt und ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Dies l¨ asst sich nur mit Hilfe weiterer Informationen feststellen.

Die globalen Extrema erh¨ alt man durch den Vergleich der Funktionswerte an den Punkten, welche die Lagrange-Bedingung erf¨ ullen, sowie

gegebenenfalls den Randpunkten des Definitionsbereichs D oder Punkten

x, an denen die Gradienten grad g

(x ) linear abh¨ angig sind.

Beweis

n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen g

(i) m ≥ n:

Der n-Vektor grad f (x

) ist immer als Linearkombination der nach Voraussetzung linear unabh¨ angigen Gradienten grad g

(x

) darstellbar.

X

Grund: F¨ ur m ≥ n, besteht die zul¨ assige Menge im Allgemeinen bereits aus diskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.

(ii) m < n:

fasse die Nebenbedingungen g

zu einer Funktion g = (g

, . . . , g

)

zusammen

partitioniere die Variablen als x = (u, v) ∈ R

× R

, wobei nach eventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix (∂g (u, v)/∂u)

= g

(u

, v

) vorausgesetzt wird

Satz ¨ uber implizite Funktionen = ⇒ lokale Aufl¨ osbarkeit der Nebenbedingungen

g (u, v) = (0, . . . , 0)

⇐⇒ u = ϕ(v), (u, v) ≈ (u

, v

)

Gradient der Funktion v 7→ h(v) = f (ϕ(v), v) Null an einem Extremum, d.h.

grad h(v

)

= f

(u

, v

)ϕ

(v

) + f

(u

, v

) = (0, . . . , 0)

aufgrund der Kettenregel und mit ϕ

der Jacobi-Matrix von ϕ

Differenzieren der Nebenbedingungen g (ϕ(v ), v ) = (0, . . . , 0)

= ⇒ g

(ϕ(v), v)ϕ

(v) + g

(ϕ(v), v) = (0, . . . , 0)

, d.h.

ϕ

(v) = −g

(u, v)

g

(u, v)

Setzen von (λ

, . . . , λ

) = f

(u

, v

)g

(u

, v

)

und Einsetzen des Ausdrucks f¨ ur ϕ

in den Gradienten von h

f

= λg

, f

= −f

(−g

g

) = λg

(u- und v-Komponenten der Lagrange-Bedingung f

= λg

im Punkt

(u

, v

))

Beispiel

Minimierung von

f (x, y ) = y unter der Nebenbedingung

g (x, y) = y

− x

= 0 Minimum bei (x

, y

) = (0, 0)

Die Lagrange-Bedingung (f

(0, 0), f

(0, 0)) = λ(g

(0, 0), g

(0, 0)) ist nicht erf¨ ullt:

(0, 1) 6= (0, 0) = λ(−2x

, 3y

) Grund: grad g (x

, y

) = (0, 0)

Die Lagrange-Bedingung ist in singul¨ aren Punkten (kein maximaler Rang

der Jacobi-Matrix g

der Nebenbedingungen) nicht anwendbar.

Beispiel

Minimierung von f (x, y) = (x − 2)(y − 2) unter der Nebenbedingung g (x, y) = x

+ y

− 2 = 0

Lagrange-Bedingung (f

, f

)

| {z }

gradf

= (y − 2, x − 2)

=

λ(2x, 2y) = λ (g

, g

)

| {z }

gradg

Die Niveaulinien von f im Punkt (x

, y

) sind tangential zu der durch die Nebenbedingung g = 0 definierten Kurve.

-2 0 2

-2

-1

0

1

2

Elimination von λ durch Bilden der Differenz yf

− xf

in der Lagrange-Bedingung

y(y − 2) − x(x − 2) = 0 ⇐⇒ (y − x)(y + x − 2) = 0 zwei F¨ alle: (i) x = y und (ii) y + x − 2 = 0

Ber¨ ucksichtigung der Nebenbedingung x

+ y

− 2 = 0 (x, y) = (1, 1) oder (−1, −1) im Fall (i)

und

x

+ (2 − x)

− 2 = 2(x − 1)

= 0, d.h. ebenfalls (x, y) = (1, 1) im Fall (ii) Existenz von Minimum und Maximum f¨ ur eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge (Kreis mit Radius √

2 ) und Vergleich der Funkionswerte

f (1, 1) = 1, f (−1, −1) = 9

= ⇒ f bei (1, 1) minimal

Beispiel

Bestimmung der Extrema der Funktion

f (x, y, z ) = x + 2y − z unter den Nebenbedingungen

g

(x, y, z ) = x

+ y

− 8 = 0, g

(x, y , z ) = x + z − 4 = 0 (Ellipse: Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene)

Jacobi-Matrix der Nebenbedingungen g

(x, y ) =

grad g

grad g

=

2x 2y 0

1 0 1

voller Rang (⇐⇒ lineare Unabh¨ angigkeit der Gradienten) f¨ ur

(x, y) 6= (0, 0); auf zul¨ assiger Menge erf¨ ullt

Lagrange-Bedingung f¨ ur Extremstellen (x, y, z ) (1, 2, −1)

| {z }

gradf

= (λ

, λ

)

2x 2y 0

1 0 1

bzw.

1 = 2λ

x + λ

, 2 = 2λ

y , −1 = λ

Einsetzen von λ

= 1/y und λ

= −1 in die erste Gleichung x = y Nebenbedingungen m¨ ogliche Extrema (2, 2, 2) und (−2, −2, 6) Existenz von Minimum und Maximum auf der Ellipse und Vergleich der Funktionswerte,

f (−2, −2, 6) = −12 < 4 = f (2, 2, 2) ,

= ⇒ f ist minimal bei (−2, −2, 6) und maximal bei (2, 2, 2).

Beispiel

Gleichgewichtslage einer an zwei Punkten aufgeh¨ angten Kette mit 2n Kettengliedern der L¨ ange 1

r x1

x2

potentielle Energie unter Ber¨ ucksichtigung der Symmetrie f (x) = −2 x

2

− 2 x

+ x

2

− · · · − 2

x

+ · · · + x

+ x

2

= −a

x

− · · · − a

x

mit a

= 2(n − k) + 1

L¨ ange der Kette Nebenbedingung g (x) = r/2 −

n

X q

1 − x

= 0

Optimierungsproblem

f → min, g = 0 Lagrange-Bedingungen grad f = λ grad g

−a

= λ x

q 1 − x

, k = 1, . . . , n Quadrieren und Aufl¨ osen nach x

= ⇒

a

(1 − x

) = λ

x

, x

= a

a

+ λ

Einsetzen in die Nebenbedingung r /2 = P

k

q 1 − x

r

2 =

n

X

k=1

s λ

a

+ λ

√ . . . monotone Funktion von λ

einfach zu berechnende numerische L¨ osung λ

Bestimmung von x

aus den Lagrange-Bedingungen