1/11 a − δ, a + δ ) ⊂ D minimal.GlobalesundlokalesMaximumsindanalogdefiniert. BeieinemlokalenMinimumistderFunktionswert f ( a )nurineinerhinreichendkleinenUmgebung( f ( a ) ≤ f ( x ) ∀ x ∈ D . EineFunktion f hatin a einglobalesMinimumaufeinerMenge D ,wenn

Extrema

Eine Funktion f hat in a ein globales Minimum auf einer Menge D, wenn f (a) ≤ f (x) ∀x ∈ D .

Bei einem lokalen Minimum ist der Funktionswert f (a) nur in einer hinreichend kleinen Umgebung (a − δ, a + δ) ⊂ D minimal.

Globales und lokales Maximum sind analog definiert.

F¨ ur eine st¨ uckweise stetig differenzierbare Funktion auf einem

abgeschlossenen Intervall k¨ onnen Extremwerte nur an kritischen Punkten auftreten:

Nullstellen der Ableitung,

Unstetigkeitsstellen der Ableitung, Randpunkten.

Globale Extrema lassen sich durch Vergleichen der Funktionswerte an diesen kritischen Punkten ermitteln.

Ob es sich bei einem kritischen Punkt a um ein lokales Extremum handelt,

l¨ asst sich mit Hilfe der zweiten Ableitung entscheiden. Ist f ⁰⁰ stetig und

f ⁰⁰ (a) > 0 (f ⁰⁰ (a) < 0), so handelt es sich um ein lokales Minimum

(Maximum). Alternativ, oder falls f ⁰⁰ (a) = 0, kann man f (a) zur

Typbestimmung mit zwei benachbarten Funktionswerten f (a ± h)

vergleichen, wobei h kleiner als der Abstand zum n¨ achsten kritischen

Punkt gew¨ ahlt wird.

Beweis

(i) Kritische Punkte:

lokales Minimum an einem inneren Punkt a = ⇒

f ⁰ (a) = lim

h→0

≥0

z }| {

f (a + h) − f (a)

h ≥ 0

und

f ⁰ (a) = lim

h→0

≥0

z }| {

f (a + h) − f (a)

h ≤ 0

= ⇒ f ⁰ (a) = 0, d.h. an einem lokalen Extremum im Inneren des Definitionsbereichs ist entweder die Ableitung Null oder f ist dort nicht differenzierbar

verbleibende M¨ oglichkeiten f¨ ur lokale Minima:

innere Punkte an denen f nicht differenzierbar ist

Randpunkte

(ii) Extremwerttest:

f ⁰⁰ (a) > 0, Taylor-Entwicklung = ⇒ f (a ± h) = f (a) ± f ⁰ (a)

| {z }

=0

h + f ⁰⁰ (t) 2 h ²

| {z }

R

mit t ∈ [a − h, a + h]

Stetigkeit von f ⁰⁰

= ⇒ R > 0 f¨ ur kleines h

= ⇒ lokales Minimum bei a

Beispiel

Verschiedene Typen lokaler und globaler Extrema (i) f (x) = x ⁴ − 2x ² − x/4, D = R :

ein lokales und ein globales Minimum

ein lokales Maximum

kein globales Maximum, da f (x) → ∞ f¨ ur x → ±∞

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(ii) f (x) = 1/x, D = R \ {0}:

strikt monoton auf (−∞, 0) und (0, ∞) keine Extrema

inf _x>0 f (x) = 0 und sup _x<0 f (x) = 0 werden nicht angenommen

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

(iii) f (x) = |x + 1| − 2|x| + |x − 3|, D = R:

st¨ uckweise lineare Funktion Extrema am Rand von Monotoniebereichen

F¨ ur Bereiche mit konstantem Wert sind alle Punkte lokale Extremstellen.

-10 -5 0 5 10

-4

-2

0

2

4

6

(iv) f (x) = x/3 + sin(4π/x), D = (0, 8]:

unter Umst¨ anden keine Extrema bei offenem oder halboffenem Definitionsbereich

nicht hebbare Definitionsl¨ ucke am Randpunkt x = 0 Oszillationen des Sinus = ⇒

unendlich viele lokale Extrema

alle Punkte in [−1, 1] sind H¨ aufungspunkte (grauer Bereich)

0

1

2

3

Beispiel

Schnellstm¨ ogliche Verbindungsstraße vom Dorf D zur Stadt S bei

Durchschnittsgeschwindigkeiten v _A = 120 km/h auf der Autobahn und

v _N = 60 km/h auf der Nebenstrecke

Fahrtzeit

t(x) = p

a ² + x ² /v N + (b − x)/v A , 0 ≤ x ≤ b Nullsetzen der Ableitung,

t ⁰ (x) = x v _N √

a ² + x ² − 1 v _A

= 0 !

v _A x = v _N p

a ² + x ² ⇐⇒ (v _A /v _N

| {z }

=2

) ² x ² = a ² + x ²

⇐⇒ x m = q

a ² /(4 − 1) = a/

√ 3 Vergleich der Zeit mit den Zeiten an den Intervallendpunkten:

t(a/ √ 3) =

√ 3a + b

, t(0) = 2a + b

, t (b) = 2 √

a ² + b ²

x m optimal, f¨ ur x m = a/ √

3 ≤ b, da t(b) ≥ t(x _m ) ⇐⇒ 2 p

a ² + b ² ≥ √ 3a + b

⇐⇒ 4a ² + 4b ² ≥ 3a ² + 2 √

3ab + b ²

⇐⇒ a ² − 2

√

3ab + 3b ² = (a − √

3b) ² ≥ 0 minimale Zeit f¨ ur

x = min(x m , b)

(Extremum am Rand f¨ ur x m ≥ b)