Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 08 Di 13.06.2017 Übertrag von Übung 07 y' = 2xy , y(0)=2 45) Zeigen Sie, dass für die obige DGL auf dem Recht-

(1)

Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 08 Di 13.06.2017

Übertrag von Übung 07 y' = 2xy , y(0)=2

45) Zeigen Sie, dass für die obige DGL auf dem Recht- Mini-Klausur: Di 30.05.17 08:00-08:300 im A310 Abschl-Klaus: Di 25.07.17 08:00-09:30 im A310 2. PrZeitraum: Sa 30.09.17 10:00-12:00 im ???

eck R=[0,10]×[0,4] die Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf erfüllt sind. Geben Sie auch den Wert von an.

46) Betrachten Sie die DGL nun auf dem Rechteck mit b=2 und a=4: Führen Sie eine Fehler- abschätzung für y

₃

(x) durch. Wieviel weicht diese Näherung y

₃

(x) im Punkt x=x

₀

+ (neues !) nach dieser Abschätzung höchstens von der exakten Lösung ab? Berechnen Sie zur Kontrolle Ihrer Fehlerabschätzung die tatsächlichen Werte von y

₃

(x

₀

+ ) und der exakten Lösung y(x

₀

+ ).

47) Welche der (alten) Differentialgleichungen vom Typ "Trennung der Variablen" y'=f(x)g(y) haben aufgrund des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes von Picard-Lindelöf eindeutig be- stimmte Lösungen zu Anfangswertproblemen y(x

₀

)=y

₀

wenn dabei g(y

₀

)=0 ist. Welche DGLen erfüllen nicht die Voraussetzungen des Satzes. Begründen Sie Ihre Antworten:

a) b) c) d) e)

48) Modellierung: Ein Hund und sein Herrchen stehen sich auf zwei verschie- denen Flussufern gegenüber. Das Herr- chen winkt dem Hund mit einer Wurst, worauf der Hund freudig zu seinem Herrchen zu schwimmen versucht.

Stelllen Sie die DGL für Bahnkurve des Hundes als Funktion y=y(x) auf, wenn das Geschehen durch die folgenden Voraussetzungen bestimmt ist:

- Geograph. Voraussetzung: Der Fluss hat die konstan- te Breite b und überall eine konstante Strömungsge- schwindigkeit .

- Biokinetische Voraussetzung: Der Hund schwimmt stets mit betragsmäßig konstanter Eigengeschwindigkeit stets auf sein Herrchen zu. Die vektorielle Geschwindigkeit

zeigt stets in Richtung zum Herrchen.

- Physikal. Voraussetzung: Die wahre Geschwindigkeit des Hundes ist die vektorielle Überlagerung seiner Eigengeschwindigkeit und der Strömungsgeschwindigkeit und stets tangential an die gesuchte Bahnkurve.

49) Bestimmen Sie mit dem Ansatz y(x)=e

^x

, , zwei Lösungen der DGL y"+2y'-3y = 0 und berechnen Sie die Wronski-Determinante der beiden Lösungen.

50) f: , f(x)=exp(ix) = e

^ix

= cos(x)+isin(x) (Die letzte Gleichung heißt Euler-Gleichung) a) Gehen Sie von der Darstellung cos(x)+isin(x) aus und leiten Sie f ab.

b) Gehen Sie von der Darstellung e

^ix

Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 08 Di 13.06.2017 Übertrag von Übung 07 y' = 2xy , y(0)=2 45) Zeigen Sie, dass für die obige DGL auf dem Recht-

Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 08 Di 13.06.2017

Übertrag von Übung 07 y' = 2xy , y(0)=2

45) Zeigen Sie, dass für die obige DGL auf dem Recht- Mini-Klausur: Di 30.05.17 08:00-08:300 im A310 Abschl-Klaus: Di 25.07.17 08:00-09:30 im A310 2. PrZeitraum: Sa 30.09.17 10:00-12:00 im ???

eck R=[0,10]×[0,4] die Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf erfüllt sind. Geben Sie auch den Wert von an.

46) Betrachten Sie die DGL nun auf dem Rechteck mit b=2 und a=4: Führen Sie eine Fehler- abschätzung für y

(x) durch. Wieviel weicht diese Näherung y

(x) im Punkt x=x

+ (neues !) nach dieser Abschätzung höchstens von der exakten Lösung ab? Berechnen Sie zur Kontrolle Ihrer Fehlerabschätzung die tatsächlichen Werte von y

(x

+ ) und der exakten Lösung y(x

+ ).

47) Welche der (alten) Differentialgleichungen vom Typ "Trennung der Variablen" y'=f(x)g(y) haben aufgrund des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes von Picard-Lindelöf eindeutig be- stimmte Lösungen zu Anfangswertproblemen y(x

)=y

wenn dabei g(y

)=0 ist. Welche DGLen erfüllen nicht die Voraussetzungen des Satzes. Begründen Sie Ihre Antworten:

a) b) c) d) e)

48) Modellierung: Ein Hund und sein Herrchen stehen sich auf zwei verschie- denen Flussufern gegenüber. Das Herr- chen winkt dem Hund mit einer Wurst, worauf der Hund freudig zu seinem Herrchen zu schwimmen versucht.

Stelllen Sie die DGL für Bahnkurve des Hundes als Funktion y=y(x) auf, wenn das Geschehen durch die folgenden Voraussetzungen bestimmt ist:

- Geograph. Voraussetzung: Der Fluss hat die konstan- te Breite b und überall eine konstante Strömungsge- schwindigkeit .

- Biokinetische Voraussetzung: Der Hund schwimmt stets mit betragsmäßig konstanter Eigengeschwindigkeit stets auf sein Herrchen zu. Die vektorielle Geschwindigkeit

zeigt stets in Richtung zum Herrchen.

- Physikal. Voraussetzung: Die wahre Geschwindigkeit des Hundes ist die vektorielle Überlagerung seiner Eigengeschwindigkeit und der Strömungsgeschwindigkeit und stets tangential an die gesuchte Bahnkurve.

49) Bestimmen Sie mit dem Ansatz y(x)=e

, , zwei Lösungen der DGL y"+2y'-3y = 0 und berechnen Sie die Wronski-Determinante der beiden Lösungen.

50) f: , f(x)=exp(ix) = e

= cos(x)+isin(x) (Die letzte Gleichung heißt Euler-Gleichung) a) Gehen Sie von der Darstellung cos(x)+isin(x) aus und leiten Sie f ab.

b) Gehen Sie von der Darstellung e

aus und leiten mit der Kettenregel ab. Vergleichen Sie die Ergebnisse.

51) Drücken Sie sin(x) und cos(x), , durch exp(ix) und exp(-ix) aus (Tipp: Beginnen Sie mit

der Eulerformel für exp(ix) und exp(-ix) ). Erläutern Sie hiermit eine weitere formale Ähn-

lichkeit zwischen den trigonometrischen und den Hyperbelfunktionen.