Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 09 Di 20.06.2017 47) Welche der (alten) Differentialgleichungen vom Typ "Trennung der Variablen"

Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 09 Di 20.06.2017

47) Welche der (alten) Differentialgleichungen vom Typ "Trennung der Variablen" y'=f(x)g(y) haben aufgrund des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes von Picard-Lindelöf eindeutig be- stimmte Lösungen zu Anfangswertproblemen y(x

)=y

wenn dabei g(y

)=0 ist. Welche DGLen erfüllen nicht die Voraussetzungen des Satzes. Begründen Sie Ihre Antworten:

a) b) c) d) e)

48) Modellierung: Ein Hund und sein Herr- chen stehen sich auf zwei verschiedenen Flussufern gegenüber. Das Herrchen winkt dem Hund mit einer Wurst, worauf der Hund freudig zu seinem Herrchen zu schwimmen versucht. Stelllen Sie die DGL für Bahnkurve des Hundes als Funk- tion y=y(x) auf, wenn das Geschehen durch die folgenden Voraussetzungen be- stimmt ist:

- Geograph. Voraussetzung: Der Fluss hat die konstante

Breite b und überall eine konstante Strömungsgeschwindigkeit .

- Biokinetische Voraussetzung: Der Hund schwimmt stets mit betragsmäßig konstanter Eigengeschwindigkeit stets auf sein Herrchen zu. Die vektorielle Geschwindigkeit

zeigt stets in Richtung zum Herrchen.

- Physikal. Voraussetzung: Die wahre Geschwindigkeit des Hundes ist die vektorielle Überlagerung seiner Eigengeschwindigkeit und der Strömungsgeschwindigkeit und stets tangential an die gesuchte Bahnkurve.

52) Methode Variation der Konstanten: y"+a

(x)y'+a

(x)y= g(x)

Sei (y

,y

) ein Fundamentalsystem der homogen DGL. Zeigen Sie: der Ansatz:

y

=c

(x)y

(x)+c

(x)y

(x) und die Zusatzbedinung führt zu .

Mini-Klausur: Di 30.05.17 08:00-08:300 im A310 Abschl-Klaus: Di 25.07.17 08:00-09:30 im A310 2. PrZeitraum: Sa 30.09.17 10:00-12:00 im ???

x²y" + 2xy' - 2y = x

53) a) Bringen Sie die DGL auf die Normalform. Geben Sie ein Fundamentalsystem der ho- mogenen Gleichung an. Benutzen Sie dazu den Ansatz y:

, y(x)=x , .

b) Weisen Sie nach, dass die beiden Lösungen tatsächlich ein Fundamentalsystem bilden.

54) Forsetzung: Finden Sie eine Partikulärlösung mit Variation der Konstanten und geben Sie die allgemeine Lösung an.

55) Lösen Sie die DGL y"+4y'+5y = 0 mit Hilfe des Ansatzes y(x)=e

. Es ergeben sich für und damit für y(x) komplexwertige Lösungen z

(x), z

(x). Zerlegen Sie die komplexwertigen Lösungen z

(x), z

(x) in Real- und Imaginärteil. Hinweis: e

=e

e

.

56) Fortsetzung:

a) Zeigen Sie für z gilt Re(z)= (z+z*) und Im(z)= (z-z*)

b) Begründen Sie mit a), warum Re(z

(x)) und Im(z

(x)) Lösungen der DGL sind.

57) y''' + 2y'' - y' - 2y = 0 Geben Sie eine Lösung zum AW y(0)=3, y'(0)=-4, y''(0)=10 an.

58) Betrachten Sie die drei Anfangswertaufgaben:

(a) y(0)=1, y'(0)=0, y''(0)=0 (b) y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=0 (c) y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=1

y

, y

, y

seien die zugehörigen Lösungen. Diese Lösungen sollen hier nicht(!) konkret be-

stimmt werden. Begründen Sie, warum {y

, y

, y

} ein Fundamentalsystem ist.