Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 05 Di 16.05.2017 Übertrag von Ü04

Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 05

Di 16.05.2017

Übertrag von Ü04 Mini-Klausur: Di 30.05.17 08:00-08:300 im A310 Abschl-Klaus: Di 25.07.17 08:00-09:30 im A310 2. PrZeitraum: Sa 30.09.17 10:00-12:00 im ???

27) y'+f(x)y=g(x) , f,g C([a,b)]

Bestimmen Sie einen integrierenden Faktor und lö- sen Sie die DGL.

29) Ein Körper besitze zur Zeit t=0 die Temperatur T

und werde in der Folgezeit durch vor- beiströmende Luft der konstanten Temperatur T

gekühlt (T

<T

).

Die momentane Rate der Temperaturabnahme pro Zeit ist dabei proportional zur Differenz der Temperaturen des Körpers und der Luft.

a) Stellen Sie DGL für den zeitlichen Verlauf der Körpertemperatur T auf und bestimmen Sie die Lösung zum Anfangswert T(0)=T

. Gegen welchen Endwert strebt die Körper- temperatur?

30) Fortsetzung

a) Stellen Sie die DGL so um, dass sie die Form einer linearen DGL hat.

b) Lösen Sie die zugehörige homogene DGL.

c) Lösen Sie die inhomogene DGL unter Benutzung des Ergebnisses von A27)

31) Vor: f C([a,b]).

L: C

([a,b)] C([a,b)], L(y)=y'+f y , d. h. L(y):[a,b] , L(y)(x)=y'(x)+f(x)y(x) Zeigen Sie: L

:={y| y C

([a,b)] L(y)=0} ist ein Unterraum von C

([a,b)].

Hinweise: Sie können benutzen, dass L ein lineare Operator ist. Übertragen Sie einen ent- sprechenden Beweis aus der Lin-Alg-VL.

32) y

(x)=1+x und y

(x)=

sind zwei Lösungen derselben inhomogenen linearen Differenrentialgleichung 1. Ordnung.

a) Geben Sie eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung an.

b) Geben Sie die Gesamtheit der homogenen Lösungen an.

Definition: Orthogonale Trajektorien

Orthogonale Trajektorien sind eine Kurvenschar, die eine gegebene Kurvenschar rechtwinklig schneidet.

Beispiel: Die orthogonalen Trajektorien der konzentrischen Kreise um den Ursprung sind die Geraden, die durch den Ursprung gehen.

Eine Kurvenschar ist häufig implizit als Höhenlinienschar einer Funktion f(x,y) gegeben. Um die Differentialgleichung für die ortho- gonalen Trajektorien einer Höhenlinienschar aufzustellen, müssen Sie in jedem Punkt die Richtung senkrecht zu den Höhenlinien vor- geben. Wie erhält man die Richtung senkrecht zu den Höhenlinien?

(Analysis III Kenntnisse mobilisieren.)

33) Bestimmen Sie die orthogonalen Trajektorien der Parabelschar y=cx², c>0. Siehe Skizze.