Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 11 Di 04.07.2017

Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 11

Di 04.07.2017 Übertrag alter Aufgaben

48) Modellierung: Ein Hund und sein Herrchen stehen sich auf zwei verschiedenen Flussufern gegenüber. Das Herrchen winkt dem Hund mit einer Wurst, worauf der Hund freudig zu seinem Herrchen zu schwimmen versucht. Stelllen Sie die DGL für Bahnkurve des Hundes als Funktion y=y(x) auf, wenn das Geschehen durch die folgenden Voraussetzungen be- stimmt ist:

- Geograph. Voraussetzung: Der Fluss hat die konstante Breite b und überall eine konsta- nte Strömungsgeschwindigkeit .

- Biokinetische Voraussetzung: Der Hund schwimmt stets mit betragsmäßig konstanter Eigengeschwindigkeit stets auf sein Herrchen zu. Die vektorielle Geschwindigkeit

zeigt stets in Richtung zum Herrchen.

- Physikal. Voraussetzung: Die wahre Geschwindigkeit des Hundes ist die vektorielle Überlagerung seiner Eigengeschwindigkeit und der Strömungsgeschwindigkeit und stets tangential an die gesuchte Bahnkurve.

60) [Fr. Ighedosa] y

ist bekannt vom letzten Ü-Blatt

a) Konstruieren Sie mit "Variation der Konstanten" eine partikuläre Lösung der inhomoge- nen Gleichung. Sie dürfen die fertigen Formeln aus der VL benutzen.

b) Geben Sie die allgemeine Lösung an.

NEU:

64) Die Partikulärlösung von lautet y

=Asin( t+ ) mit geeignet und . y

(t) kann als Entfernung eines Massenpunktes aus der Ruhelage bei einer mechanischen Schwingung interpretiert werden. Geben Sie die Geschwindigkeit an. Für welche Erregerkreisfrequenz wird die Amplitude der Geschwindigkeit maximal?

Tipp: Erweitern Sie mit 1/ . Dann reicht eine sehr einfache Betrachtung des Radikanden.

Die folgenden Aufgaben dienen dem Üben von Ansätzen:

65) g ist die Störfunktion einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten. Geben Sie jeweils den Standardansatz für die partikuläre Lösung der DGL an:

a) g(x) = -6x + 1 b) g(x) = 2 cos2x - 2 sin2x c) g(x) = 1

d) g(x) = e

e) g(x) = e

f) g(x) = xe

g) g(x) = -5/2 e

sin2x h) g(x) = e

cos2x

Geben Sie jeweils die homogene Lösung an. Für welche der obigen Störfunktionen muss welcher Ausnahmeansatz gewählt werden?

66) i. y" - 3y' = g(x) ii. y" - 5y' + 6y = g(x) Mini-Klausur: Di 30.05.17 08:00-08:300 im A310 Abschl-Klaus: Di 25.07.17 08:00-09:30 im A310 2. PrZeitraum: Sa 30.09.17 10:00-12:00 im A216

67) i. y" - 4y' + 8y = g(x) ii. y" - 4y' + 3y = g(x) 68) y" - 4y' + 4y = g(x)

69) a) Zeigen Sie, dass eine Lösung des DGL-Systems ist.

b) Geben Sie eine Lösung zum Anfangswertproblem an.

70) Fortsetzung:

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Koeffizientenmatrix A des DGL-

Systems. Die kommen irgendwie in der oben angegebenen Lösung vor. Beschreiben

Sie wie?