Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 07 Di 06.06.2017

Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 07

Di 06.06.2017 Übertrag von Ü05,06

Definition: Orthogonale Trajektorien

Orthogonale Trajektorien sind eine Kurvenschar, die eine gegebene Kurvenschar rechtwinklig schneidet.

Beispiel: Die orthogonalen Trajektorien der konzentrischen Kreise um den Ursprung sind die Geraden, die durch den Ursprung gehen.

Eine Kurvenschar ist häufig implizit als Höhenlinienschar einer Funktion f(x,y) gegeben. Um die Differentialgleichung für die ortho- gonalen Trajektorien einer Höhenlinienschar aufzustellen, müssen Sie in jedem Punkt die Richtung senkrecht zu den Höhenlinien vor- geben. Wie erhält man die Richtung senkrecht zu den Höhenlinien?

(Analysis III Kenntnisse mobilisieren.)

33) Bestimmen Sie die orthogonalen Trajektorien der Parabelschar y=cx², c>0. Siehe Skizze.

40) a) y'+a y = e

: Bestimmen Sie y

mit Variation der Konstanten (Formel für lineare DGL).

b) Begründen Sie, woran man vorher erkennen kann, dass der Ansatz y

(x)=Ae

nicht zum Erfolg führen kann.

y' = 2xy , y(0)=2

42) Geben Sie die ersten vier Picard-Iterierten Funktionen für die Differentialgleichung zum gegebenen Anfangswertproblem an.

43) Vermuten Sie das Bildungsgesetz und weisen Sie es mit vollständiger Induktion nach.

44) a) Lösen Sie obige DGL mit einer geeigneten Methode.

b) Geben Sie die Taylorreihe der Lösung an. (Tipp: Starten Sie mit der Reihe der norma- len Exponentialfunktion). Vergleichen Sie mit den Picard-Iterierten Funktionen.

45) Zeigen Sie, dass für die obige DGL auf dem Rechteck R=[0,10]×[0,4] die Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf erfüllt sind. Geben Sie auch den Wert von an.

46) Betrachten Sie die DGL nun auf dem Rechteck mit b=2 und a=4: Führen Sie eine Fehler- abschätzung für y

(x) durch. Wieviel weicht diese Näherung y

(x) im Punkt x=x

+ (neues !) nach dieser Abschätzung höchstens von der exakten Lösung ab? Berechnen Sie zur Kontrolle Ihrer Fehlerabschätzung die tatsächlichen Werte von y

(x

+ ) und der exakten Lösung y(x

+ ).

47) Welche der (alten) Differentialgleichungen vom Typ "Trennung der Variablen" y'=f(x)g(y) haben aufgrund des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes von Picard-Lindelöf eindeutig be- stimmte Lösungen zu Anfangswertproblemen y(x

)=y

wenn dabei g(y

)=0 ist. Welche DGLen erfüllen nicht die Voraussetzungen des Satzes. Begründen Sie Ihre Antworten:

a) b) c) d) e)

Mini-Klausur: Di 30.05.17 08:00-08:300 im A310

Abschl-Klaus: Di 25.07.17 08:00-09:30 im A310

2. PrZeitraum: Sa 30.09.17 10:00-12:00 im ???