Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 06 Di 23.05.2017

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Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 06

Di 23.05.2017 Übertrag von Ü05

Definition: Orthogonale Trajektorien

Orthogonale Trajektorien sind eine Kurvenschar, die eine gegebene Kurvenschar rechtwinklig schneidet.

Beispiel: Die orthogonalen Trajektorien der konzentrischen Kreise um den Ursprung sind die Geraden, die durch den Ursprung gehen.

Eine Kurvenschar ist häufig implizit als Höhenlinienschar einer Funktion f(x,y) gegeben. Um die Differentialgleichung für die ortho- gonalen Trajektorien einer Höhenlinienschar aufzustellen, müssen Sie in jedem Punkt die Richtung senkrecht zu den Höhenlinien vor- geben. Wie erhält man die Richtung senkrecht zu den Höhenlinien?

(Analysis III Kenntnisse mobilisieren.)

33) Bestimmen Sie die orthogonalen Trajektorien der Parabelschar y=cx², c>0. Siehe Skizze.

34) y'-2y = g(x)

a) Bestimmen Sie g(x) so, dass y(x)=3x+e

^x

eine Lösung der Differentialgleichung ist.

b) Geben Sie für g(x) aus a) eine Lösung der Differentialgleichung an, die y(0)=3 erfüllt.

35) Lösen Sie die DGL (siehe A22 Ü4) als lineare DGL.

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung y

_I

der folgenden linearen Differentialgleichungen 1.

Ordnung mit konstanten Koeffizienten, indem Sie für die homogene Lösung y

_H

den Ansatz y

_H

=e

^λx

und für die spezielle inhomogene Lösung y

_P

einen Ansatz nach Tabelle machen:

36) y'-2y=x y(0)=-1/4. 37) y'+2y = 4e

^5x

38) y'+2y = 4sin(2x)

Nach Tabelle ist für die DGL y'+a y = e

^-ax

für die partikuläre Lösung der Ansatz y

_P

(x)=Axe

^-ax

vorgesehen. Bestätigen Sie dies auf zwei Arten:

39) Setzen Sie ein und zeigen Sie, der Ansatz führt zum Erfolg.

40) a) Bestimmen Sie y

_P

mit Variation der Konstanten (Formel für lineare DGL).

b) Begründen Sie, woran man vorher erkennen kann, dass der Ansatz y

_P

(x)=Ae

^-ax

nicht zum Erfolg führen kann.

41) Diese Aufgabe dient zum Üben der Ansätze. Die Differentialgleichungen sollen nicht ge- löst werden.

g sei die Störfunktion einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten. Geben Sie für a) bis h) jeweils den Standardansatz an:

a) g(x) = -6x + 1 b) g(x) = 2 cos2x - 2 sin2x c) g(x) = 1 d) g(x) = e

^3x

e) g(x) = e

^2x

f) g(x) = xe

^2x

g) g(x) = -5/2 e

^x

sin2x h) g(x) = e

^2x

cos2x

i) Betrachten Sie jetzt y' - 2y = g(x). Geben Sie die homogene Lösung an. Entscheiden Sie nun, für welche der Stammfunktionen aus a) bis h) der Standardansatz nicht reicht und welcher Ausnahmeansatz dann genommen werden muss.

Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 06 Di 23.05.2017

Schwenk DGL SoSe 2017 Übung 06

Di 23.05.2017 Übertrag von Ü05

Definition: Orthogonale Trajektorien

Orthogonale Trajektorien sind eine Kurvenschar, die eine gegebene Kurvenschar rechtwinklig schneidet.

Beispiel: Die orthogonalen Trajektorien der konzentrischen Kreise um den Ursprung sind die Geraden, die durch den Ursprung gehen.

(Analysis III Kenntnisse mobilisieren.)

33) Bestimmen Sie die orthogonalen Trajektorien der Parabelschar y=cx², c>0. Siehe Skizze.

34) y'-2y = g(x)

a) Bestimmen Sie g(x) so, dass y(x)=3x+e

eine Lösung der Differentialgleichung ist.

b) Geben Sie für g(x) aus a) eine Lösung der Differentialgleichung an, die y(0)=3 erfüllt.

35) Lösen Sie die DGL (siehe A22 Ü4) als lineare DGL.

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung y

der folgenden linearen Differentialgleichungen 1.

Ordnung mit konstanten Koeffizienten, indem Sie für die homogene Lösung y

den Ansatz y

=e

und für die spezielle inhomogene Lösung y

einen Ansatz nach Tabelle machen:

36) y'-2y=x y(0)=-1/4. 37) y'+2y = 4e

38) y'+2y = 4sin(2x)

Nach Tabelle ist für die DGL y'+a y = e

für die partikuläre Lösung der Ansatz y

(x)=Axe

vorgesehen. Bestätigen Sie dies auf zwei Arten:

39) Setzen Sie ein und zeigen Sie, der Ansatz führt zum Erfolg.

40) a) Bestimmen Sie y

mit Variation der Konstanten (Formel für lineare DGL).

b) Begründen Sie, woran man vorher erkennen kann, dass der Ansatz y

(x)=Ae

nicht zum Erfolg führen kann.

41) Diese Aufgabe dient zum Üben der Ansätze. Die Differentialgleichungen sollen nicht ge- löst werden.

g sei die Störfunktion einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten. Geben Sie für a) bis h) jeweils den Standardansatz an:

a) g(x) = -6x + 1 b) g(x) = 2 cos2x - 2 sin2x c) g(x) = 1 d) g(x) = e

e) g(x) = e

f) g(x) = xe

g) g(x) = -5/2 e

sin2x h) g(x) = e

cos2x

i) Betrachten Sie jetzt y' - 2y = g(x). Geben Sie die homogene Lösung an. Entscheiden Sie nun, für welche der Stammfunktionen aus a) bis h) der Standardansatz nicht reicht und welcher Ausnahmeansatz dann genommen werden muss.

Mini-Klausur: Di 30.05.17 08:00-08:300 im A310

Abschl-Klaus: Di 25.07.17 08:00-09:30 im A310

2. PrZeitraum: Sa 30.09.17 10:00-12:00 im ???