Einfluss von Geometrie und magnetischem Feld auf die Effizienz supraleitender Nanodraht-Einzelphotonendetektoren

auf die Effizienz supraleitender

Nanodraht-Einzelphotonendetektoren

von der Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften der Technischen Universität Berlin

zur Erlangung des akademischen Grades

Doktor der Naturwissenschaften - Dr. rer. nat. -

genehmigte Dissertation

Promotionsausschuss:

Vorsitzender: Prof. Dr. Mario Dähne

Gutachter: Prof. Dr. Heinz-Wilhelm Hübers Gutachter: Prof. Dr. Hans-Georg Meyer Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 24.06.2015

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung ... 1

2. Supraleitende Nanodraht-Einzelphotonendetektoren ... 5

2.1 Geschichtliche Entwicklung der Tieftemperatur-Supraleitung ... 5

2.1.1 London-Theorie ... 6

2.1.2 Ginzburg-Landau-Theorie ... 7

2.1.3 BCS-Theorie ... 8

2.1.4 Typ-II-Supraleiter ... 8

2.2 Relevante supraleitende Parameter ... 9

2.2.1 Energielücke ... 10

2.2.2 Kohärenzlänge ... 10

2.2.3 Magnetische Eindringtiefe ... 12

2.2.4 Kritischer Paarbrechungsstrom in Nanodrähten ... 13

2.3 Funktionsweise und relevante Detektorparameter ... 14

2.3.1 Das Hotspot-Modell ... 15 2.3.2 Detektionseffizienz ... 18 2.3.3 Dunkelereignisse ... 19 2.4 Herstellungsprozess... 20 2.4.1 Dünnfilmabscheidung ... 21 2.4.2 Dünnfilmstrukturierung ... 22

2.5 Theorie des Photonendetektionsmechanismus ... 23

2.5.1 Erweitertes Hotspot-Modell ... 24

2.5.2 Quasistatisches Vortexmodell ... 29

2.5.3 Zeitabhängiges Ginzburg-Landau-Vortexmodell... 34

3. Einfluss der Streifenbreite auf die Effizienz von SNSPDs ... 37

3.1 Motivation ... 37

3.2 Experimenteller Aufbau ... 39

3.2.1 Versuchsaufbau ... 39

3.2.2 Details zum Tieftemperaturaufbau ... 41

3.2.3 Typischer Verlauf eines Photonenpulses ... 42

3.2.4 Vergleich von Photonen- und Dunkelpuls ... 43

3.2.5 Photonen- und Dunkelzählraten ... 44

3.3 Untersuchte SNSPDs ... 46

3.4 Experimentelle Bestimmung der Photonen- und Dunkelzählraten ... 48

3.5.1 Photonenfluss am Ort des Mäanders, PF(λ) ... 50

3.5.2 Absorptionseffizienz der Mäanderstruktur, ABS(λ) ... 51

3.5.3 Intrinsische Detektionseffizienz, IDE(λ) ... 52

3.5.4 Grenzwellenlänge der intrinsischen Detektionseffizienz ... 55

3.6 Theoretische Grenzwellenlänge in Abhängigkeit von der Streifenbreite 60 3.6.1 Erweitertes Hotspot-Modell ... 61

3.6.2 Quasistatisches Vortexmodell ... 61

3.6.3 Zeitabhängiges Ginzburg-Landau-Vortexmodell... 64

3.7 Vergleich des Experiments mit den theoretischen Modellen ... 65

3.7.1 Parameterauswahl ... 65

3.7.2 Grenzwellenlänge und Streifenbreite ... 67

3.8 Zusammenfassung ... 73

4. Einfluss vom Magnetfeld auf Photonen- und Dunkelzählraten von SNSPDs ... 75

4.1 Motivation ... 75

4.2 Experimenteller Aufbau ... 77

4.2.1 Versuchsaufbau ... 77

4.2.2 Details zum Magnetfeldkryostaten ... 78

4.2.3 Probenstab ... 81

4.2.4 Kalibration des Temperatursensors ... 83

4.2.5 Kalibration des Magnetfeldsensors ... 83

4.2.6 Kühlprozedur ... 85

4.3 Erste Messungen der Photonen- und Dunkelzählraten ... 86

4.4 Untersuchte SNSPDs ... 88

4.5 Kritischer Strom im Magnetfeld ... 89

4.6 Photonenzählraten ... 92

4.6.1 Fester Biasstrom und variable Wellenlänge ... 92

4.6.2 Feste Wellenlänge und variabler Biasstrom ... 101

4.7 Dunkelzählraten bei variablem Biasstrom ... 103

4.8 Vergleich von Photonen- und Dunkelzählraten ... 106

4.9 Zusammenfassung ... 107

5. Zusammenfassung und Ausblick ... 109

Symbolverzeichnis ... 113

Abkürzungsverzeichnis ... 117

Liste eigener Veröffentlichungen ... 119

Referenzliste ... 121

1. Einleitung

Die Möglichkeit, geringe Strahlungsleistungen bis hin zu einzelnen Photonen nachweisen zu können, ist für eine Vielzahl von wissenschaftlichen und technischen Anwendungen von großer Bedeutung. In der medizinischen Bildgebung, der Astronomie, der Biolumineszenz und der Spektroskopie beispielsweise ist die emittierte Strahlungsleistung bzw. die am Nachweisort ankommende Strahlungsleistung häufig sehr gering [1], [2]. Es gibt auch eine große Anzahl von Anwendungen, bei denen einzelne Photonen sogar eine Schlüsselrolle spielen. Dies ist zum Beispiel in der Quanteninformatik, wozu unter anderem die Quantenkryptographie gehört, oder der Charakterisierung von Einzelphotonenquellen der Fall. Für viele dieser Anwendungen ist es erforderlich, einzelne Photonen mit einer hohen Wahrscheinlichkeit, über einen großen Wellenlängenbereich und mit hoher zeitlicher Genauigkeit nachzuweisen. Deshalb ist es von großer Bedeutung, Detektoren zum Nachweis einzelner Photonen zu entwickeln und zu verbessern. Diese Arbeit soll durch physikalische Grundlagen-forschung einen Beitrag dazu leisten.

Als Einzelphotonendetektoren werden im optischen Wellenlängenbereich vor allem Photoelektronenvervielfacher und Festkörper-Lawinenphotodioden verwendet, die aufgrund ihrer langen Tradition sehr weit entwickelt sind. Diese Detektoren werden bei Raumtemperatur oder elektrothermisch gekühlt betrieben und weisen zum Teil sehr hohe Detektionseffizienzen (DE) und ein geringes Rauschen auf. Als Beispiel seien Silizium-Lawinenphotodioden genannt, die eine DE von 65 % bei einer Wellenlänge von 650 nm erreichen [3]. Im nahen Infrarot werden von diesen Detektortechnologien hauptsächlich Lawinenphotodioden aus InGaAs/InP verwendet. Diese erzielen heutzutage Spitzeneffizienzen von bis zu 30% bei einer Wellenlänge von 1,55 µm [4], weisen aber trotz Kühlung große Rauschwerte auf, was den minimal messbaren Photonenfluss begrenzt [3].1

1 _{Eine Übersicht über die Spezifikationen von Photoelektronenvervielfachern und} Festkörper-Lawinenphotodioden findet man unter anderem in Ref. [1] und [2].

Einen anderen Ansatz zur Detektion einzelner Photonen stellen supraleitende Einzelphotonendetektoren dar. Im Wesentlichen gibt es heutzutage drei verschiedene Arten: Einerseits supraleitende Tunnelkontakte, die hohe DEs im optischen Wellen-längenbereich aufweisen. Des Weiteren Übergangskantensensoren, die über einen großen spektralen Bereich sehr empfindlich sind und beispielsweise eine DE von 95 % bei einer Wellenlänge von 1,55 µm erreichen. Zwar ist die Dunkelzählrate (DZR), d.h. die Anzahl der nicht durch Photonen ausgelösten Ereignisse pro Sekunde bei diesen beiden Arten von supraleitenden Detektoren gering, jedoch müssen sie bei Temperaturen im Millikelvin-Bereich betrieben werden und weisen eine geringe maximale Zählrate auf [3], [5].

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der dritten Art von supraleitenden Detektoren und zwar den supraleitenden Nanodraht-Einzelphotonendetektoren (engl. superconducting nanowire single-photon detectors (SNSPDs)). Diese wurden erstmals 2001 in ihrer Funktionsweise demonstriert [6], [7] und werden seitdem von vielen Gruppen weltweit weiterentwickelt. SNSPDs sind in vielerlei Hinsicht für wissenschaftliche und technische Anwendungen interessant. Sie erreichen hohe DEs im optischen Wellen-längenbereich und im nahen Infrarot (Spitzenwerte > 90 % um 1,55 µm [8], [9]) und sind auch für Röntgenphotonen [10] und im mittleren Infrarot (0,4 % bei 5 µm) [11] sensitiv. Außerdem weisen sie eine sehr geringe DZR und sehr hohe maximale Zählraten bis in den GHz Bereich [11] auf. Andererseits müssen sie mindestens auf eine Temperatur unterhalb von etwa 10 K gekühlt werden, um verwendbar zu sein. Dies ist mit flüssigem Helium (Siedepunkt bei 4,2 K) zu erreichen. Durch die fortgeschrittene Entwicklung von geschlossenen Kreislaufsystemen ist der Einsatz von SNSPDs für praktische Anwendungen deutlich vereinfacht worden. Aus den genannten Gründen eignen sich SNSPDs für den Einsatz in vielen unterschiedlichen Bereichen wie beispielsweise in optischen Anwendungen, in der Kommunikationstechnologie und in der Quanteninformatik [12]–[14].

Trotz der weiten Verbreitung von SNSPDs sind fundamentale Fragen der physikalischen Abläufe des Photonendetektionsmechanismus, d.h. der Erzeugung eines messbaren Signals als Antwort auf ein absorbiertes Photon, nicht vollständig verstanden und

Gegenstand gegenwärtiger experimenteller [15], [16] sowie theoretischer Forschung [17]–[19].

Das Ziel dieser Arbeit ist es, dass Verständnis des Einzelphotonendetektionsmechanis-mus durch geeignete Messungen zu vertiefen und zu einer Verbesserung der vorhandenen theoretischen Modelle beizutragen. Mit der Kenntnis der genauen physikalischen Abläufe im Detektionsprozess können für Anwendungen relevante Parameter (wie beispielsweise die DE) gezielt verbessert werden.

Die vorliegende Arbeit beginnt zunächst mit einer Einführung über SNSPDs, die unter anderem ihr Funktionsprinzip, relevante Parameter zur Beschreibung ihrer Effizienz sowie die Vorstellung der verfügbaren theoretischen Modelle des Detektions-mechanismus enthält (Kapitel 2). In Kapitel 3 werden Messungen der spektralen Effizienz von SNSPDs mit unterschiedlicher Breite des Nanodrahts gezeigt und mit den theoretischen Modellen verglichen. Um den Vergleich der Modelle zu ermöglichen, werden diese zum Teil angepasst. Eine weitere Möglichkeit den Detektions-mechanismus zu untersuchen, kann mit Hilfe eines an die SNSPDs angelegten Magnetfeldes vorgenommen werden. Dafür wurde ein spezieller Tieftemperaturaufbau angefertigt, der zu Beginn von Kapitel 4 detailliert vorgestellt wird. Mit Hilfe dieses Aufbaus wurden erstmalig Messungen der Photonenzählraten (PZR) und der DZR in Abhängigkeit des magnetischen Feldes bis zu Flussdichten von ±250 mT an SNSPDs vorgenommen. Die daraus gewonnenen Daten werden mit einem theoretischen Modell verglichen.

2. Supraleitende Nanodraht-Einzelphotonendetektoren

In diesem Kapitel wird zunächst ein kurzer historischer Abriss der Tieftemperatur-Supraleitung gegeben. Darauf folgend werden supraleitende Parameter eingeführt, die für das Verständnis und die Diskussion von SNSPDs in dieser Arbeit notwendig sind. Im Anschluss daran wird die Funktionsweise der Detektoren, Parameter, die für die Charakterisierung ihrer Effizienz relevant sind, sowie der Herstellungsprozesses von SNSPDs beschrieben. Der letzte Abschnitt befasst sich mit verfügbaren theoretischen Modellen des Einzelphotonendetektionsmechanismus, die in der Auswertung in den Kapiteln 3 und 4 verwendet werden.

2.1 Geschichtliche Entwicklung der Tieftemperatur-Supraleitung

Dieses Kapitel gibt einen kurzen Überblick der Entwicklung der Tieftemperatur-Supraleitung, welcher sich im Wesentlichen an das Buch von Tinkham [20] hält.

Die Supraleitung wurde 1911 von Kammerlingh Onnes entdeckt. Drei Jahre nachdem es ihm gelang Helium zu verflüssigen, beobachtete er, dass der Widerstand diverser Metalle, wie beispielsweise Quecksilber oder Blei, unterhalb einer gewissen Temperatur, der sogenannten Sprungtemperatur TC, abrupt auf einen nicht messbar

geringen Wert abfiel. In der Folgezeit wurde festgestellt, dass Ströme, die an supraleitende Ringe angelegt wurden, auch nach einem Zeitraum von einem Jahr immer noch ohne messbare Abnahme der Stromstärke flossen. Aus diesem und weiteren Experimenten wurde gefolgert, dass eine verschwindend geringe Abnahme des zirkulierenden Stroms in Supraleitern in einem Zeitraum von 10100 Jahren zu erwarten ist, was einer „perfekten“ Leitfähigkeit gleichkommt. Kammerlingh Onnes beobachtete weiterhin, dass an einen Supraleiter angelegte Ströme und Magnetfelder ab einer gewissen Stärke den Zustand „perfekter“ Leitfähigkeit zerstören. 1933 entdeckten Meißner und Ochsenfeld, dass ein Magnetfeld nicht nur daran gehindert wird, in den Supraleiter einzudringen, sondern dass ein Feld, das bei Temperaturen oberhalb von TC

unter TC aus diesem heraus gedrängt wird. Diese Tatsache bedeutet, dass Supraleiter

ideale Diamagneten sind und keine perfekte Leitfähigkeit besitzen.

2.1.1 London-Theorie

Eine theoretische Beschreibung des idealen Diamagnetismus von Supraleitern wurde 1935 von den beiden Brüdern Fritz und Heinz London aufgestellt. In ihrer phänomenologischen Theorie führten sie die folgenden zwei bekannten „London-Gleichungen“ ein: s L _t j E  ∂ ∂ L =µ_{0 (2.1)}

(

)

wobei E _{und B} _{die elektrische Feldstärke und die magnetische Flussdichte,} j_sdie elektrische Stromdichte eines Supraleiters und

2 0ne m s e L = _µ L _(2.3)

einen phänomenologischen Parameter bezeichnet. me bezeichnet die Masse des

Elektrons, µ0 die magnetische Feldkonstante, ns die Dichte der supraleitenden

Elektronen und e die Elementarladung. Gleichung 2.1 ist dabei einfach das zweite Newtonsche Gesetz für supraleitende Elektronen [21]. Gleichung 2.2 kann mit Hilfe der Maxwell-Gleichung B js    0 µ = ×

∇ umgeschrieben werden zu:

. 1 2 2_{B B} L    λ = ∇ _(2.4)

Diese Gleichung beschreibt den exponentiellen Abfall eines Magnetfeldes auf der Länge der Eindringtiefe λL im Inneren einer supraleitenden Probe und damit den idealen

Diamagnetismus. Somit kann λL mit dem phänomenologischen Parameter ΛL

identi-fiziert werden, wobeiλ2L =LL.

2.1.2 Ginzburg-Landau-Theorie

1950 entwickelten Ginzburg und Landau (GL) eine phänomenologische Theorie der Supraleitung, die im Gegensatz zur London-Theorie Quanteneffekte berücksichtigt. Aufbauend auf Landaus Theorie der Phasenübergänge zweiter Ordnung führten GL eine komplexe Pseudowellenfunktion ψ als Ordnungsparameter ein, die den quanten-mechanischen Zustand der supraleitenden Elektronen beschreibt. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion beschreibt dabei die Dichte der supraleitenden Elektronen =ns

2

ψ .

Das grundlegende Postulat der GL-Theorie ist, dass die freie Energiedichte f eines Supraleiters in einer Reihe von ψ² entwickelt werden kann. Daraus ergibt sich ein Paar gekoppelter Differentialgleichungen für ψ und das VektorpotentialA. Aus diesen Gleichungen lassen sich als wichtige Ergebnisse die Größen der Kohärenzlänge ξGL

(charakteristische Länge auf der sich ψ räumlich ändert) und der Eindringtiefe λGL

(charakteristische Länge auf der ein Magnetfeld in den Supraleiter eindringen kann) ableiten. λGL entspricht dabei λL, wodurch die London-Theorie diesbezüglich bestätigt

werden konnte. Beide charakteristische Längen haben die gleiche Temperatur-abhängigkeit in der Nähe des Phasenübergangs bei TC:

1 2 2 _{( ) (0) 1} −       − = C GL GL T ξ _TT ξ (2.5) . 1 ) 0 ( ) ( 1 2 2 −       ₋ = C GL GL T λ _TT λ (2.6)

2.1.3 BCS-Theorie

1957 stellten Bardeen, Cooper und Schrieffer (BCS) [22] die mikroskopische BCS-Theorie vor, die auf der Idee Coopers von 1956 [23] beruht, dass zwei Elektronen mit Energien knapp über der Fermi-Kante einen quasigebundenen Zustand eingehen können, solange sie eine (auch noch so kleine) Anziehung verspüren. Ein gebundenes Elektronenpaar wird Cooper-Paar genannt, wobei die Anziehung zwischen den Elektronen über virtuelle Phononen, d.h. über Wechselwirkungen mit dem Gitter (Gitterschwingungen) erfolgt. Die Größenordnung des räumlichen Abstands zwischen den Elektronen des Cooper-Paars beträgt ξ0, was als BCS-Kohärenzlänge bezeichnet

wird. Die BCS-Theorie zeigt weiterhin, dass die Cooper-Paare aufgrund ihres entgegengesetzten Impulses und Spins in den gleichen Quantenzustand kondensieren und sich daher eine Energielücke Δ(T) um die Fermi-Kante ausbildet. Die minimale Energie, die nötig ist, um ein Cooper-Paar aufzubrechen, wurde durch die Theorie mit 2Δ(T) prognostiziert. Δ(T) wächst von dem Wert Null bei TC bis auf den maximalen

Wert von , 76 , 1 ) 0 ( = _e kBTC = kBTC ∆ π_{γ (2.7)}

bei T = 0 K an, wobei γ die Eulersche Konstante und kB die Boltzmann-Konstante

darstellt. Gleichung 2.7 ist eine Näherung und gilt für schwach gekoppelte Supraleiter, d.h. für schwache Elektron-Phonon-Wechselwirkung. Typische Werte von Δ(0) liegen im Bereich weniger meV.

2.1.4 Typ-II-Supraleiter

Ebenfalls 1957 wurde der Begriff „Typ-II Supraleiter“ durch Abrikosov [24] eingeführt. In seiner theoretischen Arbeit, die auf der GL-Theorie basiert, berechnete er, was passieren würde, wenn der GL-Parameter, der als κ = λGL/ξGL definiert ist, größer als 1

oberes kritisches Magnetfeld Hc1 und Hc2 existiert. Legt man ein Magnetfeld H an diese

Materialien an, so gilt für H < Hc1, dass das Feld abgeschirmt wird (Meißner-Phase).

Für Feldstärken Hc1 < H < Hc2 dringt das Feld in Form einzelner Flussschläuche in den

Supraleiter ein (Shubnikov-Phase) und für H > Hc2 wird der supraleitende Zustand

zerstört (Normalleitende-Phase). Im folgenden Teil der Arbeit wird ein Flussschlauch als „Vortex“ bzw. mehrere Flussschläuche als „Vortices“ bezeichnet. Jeder Vortex trägt ein magnetisches Flussquant Φ0 = h/2e, wobei h das Planksche Wirkungsquantum ist.

Vereinfacht hat ein Vortex eine radialsymmetrische Struktur aus einem normalleitenden Kern mit Radius ≈ ξGL. Ist das Eindringen von Vortices in den Supraleiter gegenüber der

Verdrängung des Feldes aus dem Supraleiter energetisch günstiger, spricht man von einem Typ-II-Supraleiter, wobei der GL-Parameterκ >1/ 2ist. Im Falle von κ <1/ 2

ist die Verdrängung des Feldes aus dem Supraleiter begünstigt und man spricht von einem Typ-I-Supraleiter.

1959 hat Gor’kov [25] die Übereinstimmung der GL-Theorie und BCS-Theorie nahe des Phasenübergangs bei TC gezeigt, wobei ψ direkt proportional zur Energielücke Δ ist.

Demzufolge kann ψ als Wellenfunktion der Schwerpunktsbewegung der Cooper-Paare gesehen werden.

2.2 Relevante supraleitende Parameter

In diesem Abschnitt werden relevante supraleitende Parameter eingeführt, die in den theoretischen Modellen des Photonendetektionsmechanismus von SNSPDs vorkommen und für spätere Berechnungen notwendig sind. Die Parameter werden dabei so umformuliert, dass sie neben Konstanten nur messbare Größen wie die Sprung-temperatur TC, den spezifischen Widerstand im normalleitenden Zustand ρn, die

Elektronendiffusivität D oder die Energielücke Δ(0) beinhalten.

Die in dieser Arbeit untersuchten supraleitenden Materialien Niobnitrit (NbN) und Tantalnitrit (TaN) befinden sich im Grenzfall „extrem schmutziger“ Typ-II Supraleiter (l ≪ ξ0), da die jeweilige mittlere freie Weglänge der Elektronen l wesentlich kleiner als

die BCS-Kohärenzlänge ξ0 ist. Für NbN beträgt l ≈ 0,8 nm [26] und ξ0 ≈ 100 nm [27].

Für TaN sind diese Werte nicht bekannt, jedoch ist das Material chemisch und physikalisch gesehen NbN sehr ähnlich [28], weshalb man davon ausgehen kann, dass die Bedingung l ≪ ξ0 ebenfalls erfüllt ist.

2.2.1 Energielücke

Die Energielücke am Temperaturnullpunkt Δ(0) = 1,76kBTC,wie sie in Gl. 2.7 bereits

erwähnt wurde, gilt für schwach gekoppelte Supraleiter wie beispielsweise TaN [29]. NbN hingegen ist ein stark gekoppelter Supraleiter (starke Elektron-Phonon-Wechsel-wirkung), daher trifft der numerische Vorfaktor der BCS-Theorie nicht mehr zu. In diesem Fall gilt die experimentell bestimmte Relation [29]:

. 05 , 2 ) 0 ( = kBTC ∆ _(2.8)

Da die Temperaturabhängigkeit der Energielücke in der BCS-Theorie lediglich numerisch berechnet werden kann [20], wurde die folgende Näherung in analytischer Form verwendet, die mit den numerischen Werten [30] sowie anderen analytischen Näherungen [31] übereinstimmt: . 1 1 ) 0 ( ) ( 10 / 3 2 2 / 1 2               + ⋅               − ∆ = ∆ C C T T T T T (2.9) 2.2.2 Kohärenzlänge

In der BCS-Theorie [22] ist die Kohärenzlänge bei T = 0 K wie folgt definiert:

. ) 0 ( 0 =_π∆ ξ vF _(2.10)

vF bezeichnet dabei die Fermi-Geschwindigkeit, d.h. die Geschwindigkeit eines

Elektrons mit einer der Fermi-Energie entsprechenden kinetischen Energie. Aus der Verbindung von BCS-Theorie und der GL-Theorie nahe TC durch Gor’kov [25] wurde

die GL-Kohärenzlänge für den Fall „extrem schmutziger“ Supraleiter abgeleitet. Für T nahe TC gilt [32]: . 1 ) 0 ( ) ( 1 2 2 −               − = C T T T ξ ξ (2.11)

Die Temperaturabhängigkeit für den gesamten Temperaturbereich kann durch die analytische Näherung [31] 2 / 1 1 2 2 _{(0) 1 1} ) ( − −               + ⋅               − = C C T T T T T ξ ξ (2.12)

ausgedrückt werden, wobei der Vorfaktor durch

0 3 2 24 2 ) 0 ( π ξ ξ _γ l e = (2.13) gegeben ist.

Setzt man Gl. 2.7 und Gl. 2.10 zusammen mit der Elektronendiffusivität D = 1/3vf l in

Gl. 2.13 ein, erhält man

. 8 2 ) 0 ( 2 C BT k hD = ξ _(2.14)

2.2.3 Magnetische Eindringtiefe

Die London‘sche Eindringtiefe bei T = 0 K ist durch Gl. 2.3 in Abschnitt 2.1.1 gegeben:

. ) 0 ( ₂ 0 2 s e L _µm_{e n} λ = _(2.15)

Aus dem Vergleich der GL-Theorie mit der BCS-Theorie nahe TC folgt, dass die

London‘sche Eindringtiefe auch als

2 0 2 0 2₍₀₎ 3 F L _{µ e Nν} λ = _(2.16)

dargestellt werden kann [25]. N0 bezeichnet dabei die elektronische Zustandsdichte an

der Fermi-Kante im normalleitenden Zustand. Für den Fall „extrem schmutziger“ Supraleiter gilt bei T = 0 K [20],

. ) 0 ( ) 0 ( 2 0 2 l L ξ λ λ = _(2.17)

Durch das Einsetzten der Gln. 2.16 und 2.10 in Gl. 2.17 sowie die Verwendung von D = 1/3vf l und der Einstein-Smoluchowski-Beziehung [33], [34]

, 1 2 0 _{e D} N n ρ = _(2.18)

wobei ρn den spezifischen Widerstand im normalleitenden Zustand bezeichnet, ergibt

sich die Eindringtiefe zu:

. ) 0 ( ) 0 ( 0 2 ∆ = µ π ρ λ  n _(2.19)

Die Temperaturabhängigkeit der Eindringtiefe ist beispielsweise in Ref. [20] angegeben. In dieser Arbeit wurde die folgende einfache Näherung in analytischer Form verwendet, die mit den Werten in Ref. [20] und der Näherung in Ref. [31] übereinstimmt:

. 1 1 ) 0 ( ) ( 2 / 1 2 / 3 1 2 2 2 − −               + ⋅               − = C C T T T T T λ λ (2.20)

Bei der Verwendung von supraleitenden Dünnfilmen (Filmdicke d ≪ λ) weicht die magnetische Eindringtiefe von der allgemeinen Form für drei Dimensionen Gl. 2.20 stark ab und ist von d abhängig. Die effektive magnetische Eindringtiefe ist dann [35]:

. ) ( 2 ) ( 2 d T T eff λ λ = (2.21)

2.2.4 Kritischer Paarbrechungsstrom in Nanodrähten

In dieser Arbeit wurden Nanodrähte rechteckigen Querschnitts (d ≈ 4 nm, Drahtbreite w ≈ 70 - 250 nm) verwendet, die nachfolgend auch als Streifen bezeichnet werden. Für diese ist zum einen λeff(T) ≫ λ(T) und zum anderen λeff(T) bei allen Temperaturen größer

als die Dimensionen des Streifens2_{. Daraus folgt, dass die Stromdichteverteilung im}

Nanodraht bei allen Temperaturen als homogen angenommen werden kann [31]. Die maximale Stromdichte ist erreicht, wenn die kinetische Energie der sich bewegenden supraleitenden Elektronen die Bindungsenergie der Cooper-Paare überschreitet. Dieser kritische Wert, bei dem der Supraleiter in den Normalzustand wechselt, wird als Paarbrechungsstrom (engl. depairing current) bezeichnet. Der Paarbrechungsstrom für einen geraden Streifen im Rahmen des GL-Modells lautet [31]:

2 _λ

eff(0) ≈ 100 µm, λ(0) ≈ 400 nm (vgl. mit Tabelle 3-1 in Abschnitt 3.3), wobei ρn = RSd verwendet

(

)

(

)

wobei die Temperaturabhängigkeit der Energielücke von Bardeen [36] und eine Korrektur für „extrem schmutzige“ Supraleiter von Kupriyanov-Lukichev [37] verwendet wurden. ζ(3) = 1,202 bezeichnet die Apéry-Konstante, RS den

Flächenwiderstand und β0 das folgende Verhältnis: β0 = Δ(0)/kBTC.

Die in dieser Arbeit verwendeten supraleitenden Streifen sind nicht gerade, sondern weisen 180°-Windungen auf. Für Streifengeometrien, die von der geraden Form abweichen, wurde theoretisch gezeigt [38] und experimentell bestätigt [39], [40], dass der experimentelle kritische Strom Ic,e auf einen Wert limitiert ist, der kleiner als der

kritische Paarbrechungsstrom Idep ist. Der Grund dafür ist eine lokal höhere Stromdichte

an den Innenkanten der Windungen (engl. current crowding). Das bedeutet, dass der supraleitende Streifen normalleitend wird, wenn der angelegte Strom den kritischen Wert der Windung übersteigt.

2.3 Funktionsweise und relevante Detektorparameter

SNSPDs sind Einzelphotonendetektoren, die hauptsächlich im optischen Wellenlängen-bereich und im nahen Infrarot eingesetzt werden. Typischerweise bestehen sie aus einem supraleitenden Streifen, der aus einem Dünnfilm hergestellt wird, eine Dicke von wenigen Nanometern und eine Breite im Bereich von 100 nm hat. Um die photoaktive Fläche des Detektors möglichst effektiv zu nutzen, wird der Streifen mäanderformig angeordnet. Das bis zum heutigen Zeitpunkt am häufigsten für SNSPDs genutzte und daher auch am besten untersuchte Material ist NbN. Abbildung 2-1 zeigt die Geometrie eines typischen, in dieser Arbeit verwendeten SNSPDs.

Um einzelne Photonen zu registrieren, werden SNSPDs auf eine Temperatur deutlich unterhalb ihrer Sprungtemperatur (TC ≈ 10 K) gekühlt und mit einem konstanten Strom

gespeist, der sich nahe zum kritischen Strom (siehe Abschnitt 2.2.4) befindet. Typisch sind Temperaturen von 4,2 K und Ströme von 90 Prozent des kritischen Stroms. Trifft ein Photon ausreichend großer Energie auf den Supraleiter und wird absorbiert, entsteht lokal ein normalleitender Bereich über die gesamte Breite des Streifens. Dieser verursacht eine messbare Widerstandsänderung an den Enden des Mäanders.

Abbildung 2-1: Typische Mäanderform des Nanodrahts eines SNSPDs.

2.3.1 Das Hotspot-Modell

Im Folgenden wird der Photonendetektionsmechanismus vereinfacht und nach der Vorstellung des ursprünglichen Hotspot-Modells [6], [7] erklärt. Zunächst befindet sich der gesamte stromdurchflossene Nanodraht im supraleitenden Zustand bei einer Temperatur deutlich unterhalb von TC. Der dabei fließende Strom wird im folgenden

Teil der Arbeit Biasstrom genannt und mit Ib bezeichnet. In Abbildung 2-2 ist der

Detektionsmechanismus schematisch dargestellt. Die Ausgangssituation (a) zeigt ein Teilstück des Nanodrahts (grau), durch das Ib fließt (blaue Pfeile). Die Spannung an den

Enden des Drahts beträgt zu diesem Zeitpunkt Null Volt (durch ein skizziertes Oszilloskop dargestellt). Im Falle der Absorption eines Photons durch ein Elektron im

supraleitenden Nanodraht entsteht ein normalleitendes zylindrisches Volumen (roter Fleck (engl. hot spot)), in dem der supraleitende Ordnungsparameter, d.h. die Cooper-Paardichte, unterdrückt ist. Folglich wird der durch die Cooper-Paare getragene Strom aus dem zylindrischen Volumen ausgeschlossen und konzentriert sich an den Seiten zwischen Zylinder und Streifenkante. Die messbare Spannung beträgt unverändert Null Volt (b). Ist das verbleibende supraleitende Volumen zwischen Zylinder und Streifenkante zu klein, so wird dort die kritische Stromdichte überschritten und der Supraleiter geht lokal über die gesamte Streifenbreite in den normalleitenden Zustand über, wodurch ein messbarer Spannungspuls ausgelöst wird (c). Nach einer charakteris-tischen Zeit kühlt der normalleitende Bereich aus und der gesamte Streifen befindet sich wieder im supraleitenden Zustand, sodass erneut ein Photon detektiert werden kann (a).

Abbildung 2-2: Schematische Darstellung des Photonendetektionsmechanismus eines SNSPDs nach der Vorstellung des ursprünglichen Hotspot-Modells [6], [7].

Der durch die Absorption eines Photons erzeugte Spannungspuls in einem strom-gespeisten SNSPD kann auf einfache Art und Weise durch ein entsprechendes Ersatzschaltbild nachvollzogen werden (siehe Abbildung 2-3). Dabei wird der Detektor durch seine kinetische Induktivität LK, einen zeitabhängen Widerstand RN(t) und einen

einem normalleitenden Bereich über die gesamte Streifenbreite, was durch das Öffnen des Schalters im Ersatzschaltbild berücksichtigt wird. Der Widerstand RN(t) des

normalleitenden Bereichs wächst aufgrund der Erwärmung durch den Biasstrom typischerweise auf einen Wert im Bereich von mehreren hundert Ω bis zu wenigen kΩ [41]. Folglich wird der Großteil des Stroms in die Lastimpedanz der Zuleitung Z0 = 50 Ω umgeleitet. Die Zeitkonstante des abfallenden Biasstroms durch den SNSPD

ist durch τ1 = LK/(Z0+Rn(t)) gegeben. Die Amplitude des Spannungspulses ist

proportional zu Ib·Z0. Während der Strom durch die Zuleitung fließt, kühlt der

normalleitende Bereich aus und verschwindet, was durch das Schließen des Schalters in Abbildung 2-3 erreicht wird. Nun steigt der Strom durch den Mäander mit einer Zeitkonstante von τ2 = LK/Z0 wieder an. Die Totzeit τtot des Detektors ist durch die

Summe beider Zeitkonstanten gegeben, die wegen des großen Wertes von RN(t)

gegenüber Z0 etwa τ2 entspricht. Typischerweise beträgt LK für die in dieser Arbeit

untersuchten Mäander etwa 500 nH [42]. Daraus ergibt sich τtot ≈ 10 ns.

Abbildung 2-3: Ersatzschaltbild, mit dem der im stromdurchflossenen SNSPD erzeugte Spannungspuls nach Absorption eines Photons nachvollzogen werden kann. Eine detaillierte Beschreibung befindet sich im Text. Abbildung in Anlehnung an Ref. [42].

2.3.2 Detektionseffizienz

Eine wichtige Maßzahl eines Einzelphotonendetektorsystems ist das Verhältnis zwischen den auf das Detektorsystem einfallenden und den tatsächlich gezählten Photonen in einem gewählten Zeitintervall. Dieses Verhältnis ist kleiner als eins und wird Systemdetektionseffizienz (SDE) genannt. Üblicherweise definiert man es folgendermaßen [26]:

SDE = OCE · ABS · IDE.

Der erste Faktor steht für die optische Kopplungseffizienz (engl. optical coupling efficiency (OCE)) und beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die in die Eingangs-öffnung des Systems eintretenden Photonen die sensitive Fläche des Detektors erreichen. Verluste können durch Absorption, Streuung oder Reflektion der Photonen sowie durch eine Überstrahlung der sensitiven Fläche entstehen.

Der zweite Faktor ist die Absorptionseffizienz (ABS). Diese beschreibt die Wahrschein-lichkeit, dass ein auf der sensitiven Fläche des Detektors auftreffendes Photon von dieser absorbiert wird. Die ABS ist von der Geometrie (Dicke, Streifenbreite, Mäanderfüllfaktor) und dem Material (Absorptionskoeffizient) des Detektors sowie von der Wellenlänge der Photonen und deren Polarisation abhängig [26]. Eine Steigerung der ABS kann durch eine Änderung der Materialparameter des Dünnfilms [43] oder durch Vergrößerung der Absorptionslänge erreicht werden. Im letzteren Fall gibt es zwei Herangehensweisen. Zum einen kann die absorbierende Struktur in einen optischen Resonator (Multischichtsysteme) eingebettet werden, sodass die Absorption aufgrund des mehrfachen Durchgangs des Lichts durch das Material gesteigert wird [44]. Andererseits werden hohe Absorptionen dadurch erreicht, dass supraleitende Strukturen auf einem Wellenleiter abgeschieden werden, wobei das Licht nicht senkrecht auf der Struktur auftrifft, sondern parallel dazu geleitet wird. In diesem Fall werden SDEs für bestimmte Wellenlängen von knapp 1, d.h. 100 % erreicht [8], [9], [45].

Der dritte Faktor ist die intrinsische Detektionseffizienz (IDE). Die IDE bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des SNSPDs einen messbaren Spannungspuls nach Absorption eines

Photons auszulösen. Dieser Parameter ist durch den Photonendetektionsmechanismus bestimmt und abhängig von der Photonenenergie (siehe Abschnitt 2.5), hingegen aber unabhängig von der Polarisation der Photonen [26]. Eine Erhöhung dieses Faktors, bzw. eine Verschiebung der minimal detektierbaren Photonenenergie zu niedrigeren Werten, kann unter anderem durch eine Änderung der Materialparameter [46], [47] und der Geometrie des Mäanders bewirkt werden [40].

Das Produkt aus ABS und IDE wird in der Literatur häufig als DE bezeichnet.

2.3.3 Dunkelereignisse

Die vom Einzelphotonendetektorsystem gezählte Anzahl an Pulsen pro Zeiteinheit stimmt in der Regel nicht mit der Anzahl der pro Zeiteinheit durch Photonen getriggerten Pulse überein. Der Grund dafür sind Dunkelpulse, die verschiedenen Ursprungs sein können. Zum einen gibt es ein durch die verwendeten elektronischen Komponenten hervorgerufenes Rauschniveau, welches das Photonensignal immer über-lagert. Dieses ist im Allgemeinen jedoch wesentlich geringer als die Amplitude des Antwortsignals eines gezählten Photons, die proportional zum angelegten Strom ist (siehe Abschnitt 2.3.1). Daher kann der Einfluss dieser Rauschquelle durch einen geeigneten Versuchsaufbau eliminiert werden (siehe Abschnitt 3.2.5). Zum anderen treten Dunkelpulse auf, die von Photonenpulsen ununterscheidbar sind (siehe Abschnitt 3.2.4). Diese können einerseits durch Photonen ausgelöst werden, die durch Streulicht in das System eindringen, von schwarzen Körpern im Messaufbau emittiert werden oder durch Fluktuationen im Supraleiter hervorgerufen werden. Durch geeignete Blenden im Versuchsaufbau lässt sich der Einfluss der ersten beiden ununterscheidbaren Dunkelpulse minimieren (siehe Abschnitt 3.2). Durch Fluktuationen hervorgerufene Dunkelpulse sind vom Biasstrom abhängig und nehmen mit diesem exponentiell zu. Der Ursprung dieser Fluktuationen wird unter anderem in den Ref. [48], [49] und [50] diskutiert. Ref. [48] zufolge sind einzelne Vortices, die den supraleitenden Streifen queren und Energie dissipieren der Grund für diese Dunkelereignisse. Eine genauere Beschreibung dieses Mechanismus wird in Abschnitt 2.5.2 vorgenommen.

2.4 Herstellungsprozess

Die in dieser Arbeit verwendeten SNSPDs wurden am IMS3 _{in Karlsruhe und am}

RPLAB4 _{in Moskau hergestellt. In den folgenden zwei Unterkapiteln werden die}

Herstellung des Dünnfilms und die Strukturierung dieses Films in einen Mäander vorgestellt.

Vorab ist es wichtig zu verstehen, welche Anforderungen die Materialien erfüllen müssen, damit sie als SNSPD funktionieren können. Zum einen muss das Material eine geringe Elektronendiffusivität aufweisen, sodass sich nach der Absorption eines Photons ein Hotspot ausbilden kann, bevor die Photonenenergie in das Substrat abgeführt wird. Zum anderen ist ein Material mit einer möglichst geringen elektronischen Zustandsdichte an der Fermi-Kante und einer kleinen Energielücke vorteilhaft, da dadurch die Photonenenergie die Supraleitung am Absorptionsort effektiver unterdrückt [51]. Das bedeutet, dass schon bei geringeren Photonenenergien ein normalleitender Bereich bzw. ein Spannungspuls erzeugt wird. Aus technologischer Sicht muss das Material für den Fabrikationsprozess geeignet sowie mechanisch und zeitlich stabil sein. Bisher wurden einige unterschiedliche Materialien für die Anwendung als SNSPD verwendet wie beispielsweise: MgB2 [52], NbSi [53], NbTiN [54], [44], a-WxSi1-x [55],

Nb [56], NbN [57] und TaN [51], [28].

Die in dieser Arbeit untersuchten SNSPDs sind aus NbN und TaN hergestellt. NbN ist das für SNSPDs am weitesten verbreitete und am besten untersuchte Material, da es die oben genannten Anforderungen gut erfüllt. Zudem hat es eine große Sprungtemperatur TC = 17 K (Voll- oder „Bulk“-Material) bzw. TC = 10 - 15 K (3 - 15 nm dicke Dünnfilme

[26]), sodass es in 4_{He-Kryostaten verwendet werden kann. TaN ist wie bereits erwähnt}

(Abschnitt 2.2) NbN chemisch und physikalisch sehr ähnlich. Folglich ähneln sich auch die intrinsischen Parameter, wobei die Sprungtemperatur TC = 6 - 10,5 K (3 - 15 nm

3 _{Institut für Mikro- und Nanoelektronische Systeme (IMS) des Karlsruher Instituts für Technologie} (KIT).

dicke Dünnfilme [51]) und damit auch die Energielücke sowie die elektronische Zustandsdichte von TaN geringer sind (siehe Tabelle in Ref. [28]).

Für die Anwendung als SNSPD ist außerdem die Wahl des Substrates, auf dem das supraleitende Material abgeschieden wird, wichtig. Am häufigsten werden MgO [58], [59], Si (mit oxidierter Oberfläche, d.h. SiO2) [53], [60] oder Al2O3 (Saphir) [28], [61],

[43] verwendet. MgO (100) und Saphir (R-Ebene) haben eine Kristallstruktur mit einer Gitterkonstante von a0 = 4,2 Å und a0 = 4,8 Å, die ähnlich zu den Gitterkonstanten der

oben erwähnten supraleitenden „Standardmaterialien“ ist. Das bedeutet, dass die Dünnfilme nur eine kleine Übergangszone der Gitterkonstanten (Fehlanpassung) aufweisen und die Sprungtemperaturen der Dünnfilme nicht zu stark von denen der Vollmaterialien abweichen. Als Beispiel sei NbN genannt, das bei einer kubisch flächenzentrierten Struktur eine Gitterkonstante von a0 = 4,4 Å aufweist [46]. Die

Gitterkonstante von SiO2 (a0 = 5,4 Å) ist im Vergleich zu denen von MgO (100) und

Saphir (R-Ebene) wesentlich größer, was eine niedrigere Sprungtemperatur der abgeschiedenen Dünnfilme zur Folge hat. Es eignet sich hingegen besser für die Integration von Wellenleitern und on-chip Elektronik [61]. Folglich ist die Wahl des Substrats von der Anwendung abhängig.

2.4.1 Dünnfilmabscheidung

Die Dünnfilme werden in einer reaktiven DC-Magnetronzerstäuberanlage hergestellt. Das Funktionsprinzip ist wie folgt: In einer Vakuumkammer mit einem Basisdruck von etwa 10-6 _{hPa wird das Targetmaterial (hier pures Ta oder Nb) auf einer Kathode und das}

Substrat auf einer Anode angebracht. Das Substrat wird zusätzlich auf eine Temperatur von 750 °C geheizt, was die Dünnfilmqualität verbessert [46]. Nun wird das Arbeitsgas Ar+ in die Kammer gefüllt. Durch das Anlegen einer DC Spannung (hier U ≈ 375 V) findet eine Gasentladung statt, wobei die gebildeten Ar+ Gasionen auf das Target beschleunigt werden und damit Material herauslösen. Zunächst wird das Target auf diese Weise gereinigt. Danach beginnt man mit der Dünnfilmabscheidung, wofür zusätzlich das reaktive Gas N2 in die Kammer gefüllt wird, sodass ein Gasgemisch

entsteht. Es findet nun eine Reaktion des gelösten Targetmaterials mit N2 zu TaN oder

NbN statt, das sich auf dem Substrat abscheidet. Durch Permanentmagnete unter der Kathode wird der Prozess optimiert, da die Gasionen dadurch auf Kreisbahnen über dem Target bewegt werden und dies zu höheren Ionisationsraten führt. Durch eine Änderung des Gasentladungsstroms kann das Verhältnis von Ta oder Nb zu N verändert werden, was Auswirkung auf Materialparameter wie ρn und D und supraleitende

Parameter wie IC, ξ und Δ der Dünnfilme hat [46]. Die genauen Werte der Partialdrücke

der Gase, des Entladungsstroms und der Abscheidungszeiten finden sich in den Veröffentlichungen [46], [51], [62]. Die Filmdicken der hier untersuchten Dünnfilme liegen zwischen 3,6 nm und 4,8 nm. Diese Werte werden aus der Zerstäuberzeit (Sputterzeit) und der bekannten Abscheidungsrate (nm/s) errechnet.

2.4.2 Dünnfilmstrukturierung

Im Folgenden wird der Strukturierungsprozess eines Dünnfilms beschrieben, wie er am IMS durchgeführt wird. Eine sehr ausführliche Beschreibung findet man in Ref. [46]. Der am RPLAB durchgeführte Prozess ist vom grundlegenden Ablauf her gleich, jedoch können einzelne Schritte variieren [62].

Abbildung 2-4: Skizze des Strukturierungsprozesses eines Dünnfilms in einen Mäander. Eine detaillierte Beschreibung befindet sich im Text. Abbildung mit Änderungen entnommen aus [46].

Der Strukturierungsprozess umfasst im Wesentlichen zwei Schritte. Zuerst wird an zentraler Stelle auf dem Dünnfilm die Mäanderstruktur hergestellt und in einem anschließenden Schritt die Kontakte aufgebracht. Die Ausgangssituation ist der auf einem Substrat (blau) abgeschiedene Dünnfilm (grau), wie er in Abbildung 2-4a) dargestellt ist. Für die Mäanderstrukturierung wird zunächst ein 100×100 µm² großer, etwa 100 nm dicker, positiver Fotolack (rot) auf den Dünnfilm aufgetragen. Danach wird das negative Bild des Mäanders mit einem fokussierten Elektronenstrahl in den Fotolack geschrieben (Belichtung). Bei der „Entwicklung“ mit einem Lösungsmittel werden die zuvor belichteten Bereiche des Fotolacks entfernt. Dadurch erhält man eine Maske des Mäanders aus Fotolack (b). Durch gezieltes reaktives Ionenätzen wird ausschließlich der zentrale Bereich des Dünnfilms mit Ionen beschossen, wobei der Teil des Dünnfilms, der nicht durch die Maske geschützt wird, abgetragen wird. Gleichzeitig wird auch der wesentlich dickere Lack abgetragen. Dadurch wird das Bild des Mäanders in den Dünnfilm geätzt (c). Anschließend wird der verbliebene Lack mit Aceton entfernt, wobei der strukturierte Mäander zum Vorschein kommt (c). In einem zweiten Schritt werden die Kontakte hergestellt. Dazu wird Fotolack auf dem gesamten Substrat aufgebracht. Durch einen Fotolithographieprozess wird durch Belichten des Lacks ein positives Bild der Kontakte hergestellt und der zentrale Mäander geschützt (d). Die unbelichteten Bereiche werden mit einer Lösung entfernt. Anschließend wird der unbedeckte Dünnfilm erneut durch reaktives Ionenätzen abgetragen (e). Im letzten Schritt wird der Fotolack entfernt und man erhält den fertig strukturierten Detektor (f).

2.5 Theorie des Photonendetektionsmechanismus

Im folgenden Kapitel werden die verfügbaren theoretischen Modelle des Einzel-photonen-Detektionsmechanismus in stromdurchflossenen, supraleitenden Nanodrähten vorgestellt. Diese beschreiben die IDE (siehe Abschnitt 2.3.2) und dienen als Vergleichsgrundlage für die in den Kapiteln 3 und 4 erhaltenen experimentellen Ergebnisse.

2.5.1 Erweitertes Hotspot-Modell

Die mit dem ursprünglichen Hotspot-Modell (Abschnitt 2.3.1) abgeschätzten maximalen Fleckdurchmesser für ein absorbiertes Photon einer Wellenlänge von etwa 1,2 µm liegen im Bereich der GL-Kohärenzlänge. Dem Modell zufolge ist es in diesem Fall nicht möglich einen normalleitenden Bereich über die gesamte Streifenbreite zu erzeugen. Experimentell können Photonen mit diesen und größeren Wellenlängen aber detektiert werden.

Daraufhin wurde das Modell weiterentwickelt, indem die inhomogene Verteilung des Ordnungsparameters durch die Diffusion von Nichtgleichgewichts-Quasiteilchen mitberücksichtigt wurde [63]. Es wurde festgestellt, dass das Photon keinen normalleitenden Fleck erzeugen muss, um detektiert zu werden. Es reicht hingegen aus, wenn die Dichte der supraleitenden Elektronen genügend reduziert ist5_{. Die Abnahme}

des supraleitenden Ordnungsparameters, welcher der Dichte der supraleitenden Elektronen entspricht (siehe Abschnitt 2.1.2), reduziert die Fähigkeit den supraleitenden Strom zu tragen, d.h. es reduziert den maximalen supraleitenden Strom (auch Suprastrom genannt). Wenn der maximale Suprastrom lokal, d.h. auf einer räumlichen Größe der supraleitenden Kohärenzlänge, reduziert wird und die Stärke des extern angelegten Stroms erreicht, wird ein Detektionsevent ausgelöst.

Im Folgenden wird der Detektionsmechanismus des erweiterten Hotspot-Modells detailliert erklärt, wobei sich die Beschreibung eng an die unter Ref. [63] angegebene Veröffentlichung hält. Es wird davon ausgegangen, dass die Dicke d des stromtragenden, supraleitenden Streifens wesentlich kleiner als dessen Breite w und kleiner als die Kohärenzlänge ξ ist. Unter dieser Annahme kann der Streifen als zweidimensional betrachtet werden. Zusätzlich übertrifft die effektive magnetische Eindringtiefe (Gl. 2.21) die Breite w selbst bei Temperaturen deutlich unterhalb der Sprungtemperatur. Für solch eine Streifengeometrie ist die lokale Geschwindigkeit der

5 _{Im Folgenden Teil der Arbeit wird die lokale Verringerung der Dichte der supraleitenden Elektronen} durch ein Photon im SNSPD als Hotspot bezeichnet.

Cooper-Paare über den Querschnitt des Streifens konstant. Da w > 4,4ξ [64], ist es möglich, dass magnetische Vortices schon aufgrund des durch den Biasstrom erzeugten Eigenfeldes in den Streifen eindringen können, was eine lokale Änderung der Strom-dichte zur Folge hätte. Das erweiterte Hotspot-Modell vernachlässigt allerdings Vortices, weshalb die gemittelte Suprastromdichte als js = e ns vs ausgedrückt wird.

Dabei bezeichnen ns und vs die gemittelte Dichte bzw. Geschwindigkeit der

Cooper-Paare. Die lokale Stromdichte ändert sich nur dann signifikant, wenn sich ns über eine

Strecke von mindestens ξ entlang des Strompfades ändert. Kürzere Strecken werden von Cooper-Paaren durchtunnelt ohne dabei Energie zu dissipieren. Daraus ergibt sich das kleinste für Stromänderungen relevante Volumen im Streifen zu V = ξ w d. Wird ein Photon der Energie Eph ≫ Δ im Streifen absorbiert, führt dies lokal zu einem

Aufbrechen vieler Cooper-Paare, d.h. zu einer Reduzierung der Cooper-Paardichte, was nachfolgend kurz beschrieben wird.

Abbildung 2-5 stellt die Photonenabsorption in einem supraleitenden Dünnfilm und die anschließende Relaxation der Energie dar. Die Energie Eph ≫ Δ des Photons wird von

einem Elektron eines Cooper-Paars absorbiert (a). Infolgedessen bricht das Cooper-Paar auf und es entsteht ein hoch angeregtes heißes Elektron (rot) und ein Elektron niedriger Energie (a). Elektronen mit Energien oberhalb der Energielücke werden im Folgenden, wie in der Literatur üblich als Quasiteilchen (QT) bezeichnet. Das heiße QT verringert seine Energie zunächst über Elektron-Elektron-Wechselwirkung (e-e), wobei weitere Cooper-Paare aufgebrochen werden, welche ihrerseits über e-e-Wechselwirkung Ener-gie verlieren bis die mittlere EnerEner-gie der QTs etwa 0,1 eV entspricht. Danach dominiert die Elektron-Phonon-Wechselwirkung (e-p), wobei die dabei erzeugten Phononen weitere Cooper-Paare aufbrechen (b). Gleichzeitig kommt es zur Rekombination von Cooper-Paaren aus QTs. Diese Prozesse laufen parallel ab, wobei nach der sogenannten Thermalisierungszeit τth (≈ 7 ps, [65]) die maximale Anzahl an QTs erreicht wird, die im

Idealfall Eph/Δ entspricht. Nach dieser Zeit sind die QTs auf das Niveau der

Abbildung 2-5: Schematische Darstellung der QT-Multiplikation und des Energierelaxations-prozesses in einem supraleitenden Dünnfilm nach der Absorption eines Photons. a) Ein Photon mit einer Energie, die wesentlich größer als die Energielücke ist (Eph = hυ ≫ Δ), bricht ein Cooper-Paar

auf, wodurch ein hoch angeregtes Elektron und ein Elektron niedriger Energie entstehen. Das hoch angeregte Elektron verliert seine Energie durch Elektron-Elektron- und Elektron-Phonon-Wechselwirkung, wobei weitere Cooper-Paare aufgebrochen werden. Gleichzeitig brechen Phononen ebenfalls Cooper-Paare auf (b). Nach der sogenannten Thermalisierungszeit sind die angeregten Elektronen auf das Niveau der Energielücke Δ relaxiert. Schließlich wandern die Phononen in das Substrat ab (c).

Nimmt man an, dass das Photon im Volumen V absorbiert wurde, so nimmt die Cooper-Paardichte ns aufgrund des Thermalisierungsprozesses um einen Betrag δns ab (siehe

Abbildung 2-6). Wegen der Ladungserhaltung steigt vs in V auf einen Wertv's, weshalb

man folglich s s s s s _n n _n v v δ − = ' (2.23)

erhält. Die Geschwindigkeit der Cooper-Paare folgt den Änderungen der gemittelten Cooper-Paardichte auf einer Zeitskala, die wesentlich schneller ist als die Thermalisierungszeit. Daher kann die Änderung der Cooper-Paargeschwindigkeit im Volumen V als instantan angenommen werden. Das Volumen V wechselt in den normalleitenden Zustand, wenn die gemittelte Geschwindigkeit '

s

v der Cooper-Paare den kritischen Wert vs,c überschreitet, der der kritischen Stromdichte jc = e ns vs,c

entspricht. In diesem Modell ist daher kein normalleitender Hotspot notwendig, um die Detektion eines Photons zu erklären.

Abbildung 2-6: Vereinfachte Illustration des Photonendetektionsmechanismus im erweiterten Hotspot-Modell. Ein Photon wird im supraleitenden, stromdurchflossenen Streifen mit gemittelter Cooper-Paardichte ns und –geschwindigkeit vs absorbiert (links). Gekennzeichnet ist außerdem das

kleinste für Stromänderungen relevante Volumen V. Die absorbierte Energie führt lokal in V zu einer Abnahme der Cooper-Paardichte um δns und einer Erhöhung der Geschwindigkeit der

supraleitenden Elektronen auf v’

s (rechts) gemäß Gl. 2.23. Übersteigt die Geschwindigkeit in V den

kritischen Wert vs,c, der der kritischen Stromdichte jc = e ns vs,c entspricht, bricht die Supraleitung

über die gesamte Breite des Streifens zusammen, wobei ein Spannungspuls erzeugt wird. Abbildung in Anlehnung an Ref. [63].

Setzt man die Geschwindigkeiten der gemittelten Suprastromdichte und der kritischen Suprastromdichte in Gl. 2.23 ein, so erhält man die minimale Änderung der Cooper-Paardichte im Vergleich zur mittleren Cooper-Paardichte, die notwendig ist, um ein Photonen-ereignis zu erhalten: . 1 C s s I I n n _{= −} δ (2.24)

Weit unterhalb der Sprungtemperatur kann die Cooper-Paardichte durch die elektronische Zustandsdichte N0 und die Energielücke Δ(T) angenähert werden:

ns ≈ N0Δ(T). Mit Gl. 2.24 erhält man die minimale Anzahl an Nichtgleichgewichts-QTs

). / 1 ( ) ( 0 ,c C qt N T wd I I N = ∆ ξ − δ _(2.25)

Am Photonenabsorptionsort entwickelt sich die Konzentration der Nichtgleichgewichts-QTs C(r,t) mit der Zeit aufgrund der lawinenartigen Elektronenmultiplikation M(t) und räumlich durch deren Diffusion folgendermaßen:

. 4 exp 4 ) ( ) , ( 2 _      − = t D r t d D t M t r C _π (2.26)

Nach der Thermalisierungszeit τth, wenn alle Nichtgleichgewichts-QTs auf das

Energieniveau der Energielücke Δ(T) relaxiert sind, erreichen die QTs ihre maximale Anzahl: . ) ( ) ( T E M ph th =ς _∆ t _(2.27)

Der Parameter ς ≤ 1 wird als Quanteneffizienz bezeichnet und steht für die Effektivität der QT-Multiplikation. Er beschreibt das Verhältnis von der maximalen möglichen Anzahl von QTs zur tatsächlichen Anzahl, die durch die Photonenenergie Eph erzeugt

werden können. Durch Abwandern von Phononen in das Substrat kann beispielsweise ein Teil von Eph verloren gehen. Das Produkt ς·Eph wird im Folgenden als effektive

Photonenenergie bezeichnet.

Eine Integration der QT-Konzentration im Volumen V zum Zeitpunkt τth, wenn die

maximale QT-Anzahl erreicht wurde, führt zu . ) ( th th qt D M N t π ξ t δ = _(2.28)

Wenn die Anzahl δNqt > δNqt,c ist, erfolgt der Übergang des Volumens V vom

entweder reicht die Energie des absorbierten Photons aus, um die Supraleitung zu zerstören oder nicht. Durch Gleichsetzen der Gl. 2.28 mit Gl. 2.25 erhält man den Grenzwert der Energie, ab der ein Photon vom supraleitenden Streifen detektiert wird:

. 1 ) ( 1 2 0 ,       − ∆ = = C th C c ph hc N T wd D _II E π t ς λ (2.29)

Da in dieser Arbeit die Grenzwellenlänge λC relevant ist, wurde Gl. 2.29 umgestellt und

mit experimentell zugänglichen Parametern ausgedrückt:

(

)

Verwendet wurden Gl. 2.18, ρn = RSd und β = Δ(T)/kBTC.

2.5.2 Quasistatisches Vortexmodell

Das folgende quasistatische Vortexmodell basiert auf den Veröffentlichungen [17] und [48] und beschreibt die Einzelphotonendetektion als Vortex-assistierten Prozess. In Abschnitt 2.5.1 wurde bereits erwähnt, dass magnetische Vortices in supraleitende Streifen der Breite w > 4,4 ξ eindringen können. Da die untersuchten TaN und NbN-Mäander bei der Betriebstemperatur des SNSPD von 4,5 K nach Gl. 2.12 eine Kohärenzlänge von ξ(4,5 K) = 6,9 nm bzw. ξ(4,5 K) = 5,4 nm haben, ist die Berücksichtigung von Vortices relevant.

Zunächst wird die Erzeugung eines normalleitenden Bereichs über die gesamte Streifenbreite durch einen querenden Vortex ohne Photon (Dunkelpuls) beschrieben. Aufgrund des Transportstroms im Streifen existiert ein Magnetfeld. Magnetische Vortices werden am Eindringen in den Streifen durch eine Energiebarriere gehindert, die Ähnlichkeiten zur Bean-Livingston Barriere hat [66]. In Ref. [17] wird die potentielle

Energie für einen magnetischen Vortex im supraleitenden Streifen in Anwesenheit eines homogenen Biasstroms und eines magnetischen Feldes folgendermaßen ausgedrückt:

(

)

Der Vorfaktor vor dem Logarithmus

. 2 ₀ 2 2 0 0 eff λ πµ µ e = Φ _(2.32)

bezeichnet die charakteristische Energie eines Vortex im Dünnfilm. ε0 ist proportional

zur Kondensationsenergie in einem zylindrischen Volumen der Größe des Vortexkerns ξ2_{d [67]. Der Parameter µ² steht für die Verringerung des Ordnungsparameters aufgrund}

des Biasstroms. x bezeichnet die Position im Streifen zwischen den Kanten 0 und w. In Gl. 2.31 wurde die Änderung des Ordnungsparameters im Vortexkern, d.h. der normalleitende Zustand des Kerns, vernachlässigt. Außerdem wurde das Potential aufgrund der endlichen Größe des Vortexkerns für Abstände von den Streifenkanten, die kleiner als eine Kohärenzlänge ξ sind abgeschnitten. Die Energiebarriere ist dann durch das Maximum von UV(I,B,x) im Intervall ξ < x < w-ξ gegeben.

Der kritische Strom Ic,B in diesem Modell ist durch das Verschwinden der

Energiebarriere definiert und lautet:

. 1 0 0 , eff B c _ew I = _{µ π}Φ _{ξλ (2.33)}

Die Form der Barriere für verschiedene Biasströme und Magnetfelder ist in Abbildung 2-7a) und b) illustriert. Das Maximum der Barriere ohne Magnetfeld bei einem relativem Strom von I/Ic,B = 0,5 für einen Mäanderstreifen einer Dicke von d = 4 nm

≈ 80 meV. Dabei wurden eine Kohärenzlänge von ξ = 5 nm und eine effektive Eindring-tiefe von λeff = 80 µm bei 4,2 K verwendet.

Abbildung 2-7: Potentielle Energie des Vortex als Funktion der relativen Streifenbreite nach Gl. 2.31 für diverse relative Biasströme und eine magnetische Flussdichte von 0 T (a) bzw. B0 = Φ0/2w² (b). Aufgrund der endlichen Größe des Vortexkerns wird das Potential für Abstände von den Streifenkanten, die kleiner als eine Kohärenzlänge sind, abgeschnitten. Abbildung mit Änderungen entnommen aus Ref. [17].

Für Vortices gibt es eine bestimmte thermodynamische Wahrscheinlichkeit die Barriere zu überwinden und in den Streifen einzudringen. Dies wird auch als thermische Anregung des Vortex über die Barriere bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit ist dabei proportional zu exp(-UV(I,B,x)/kBT). Dringt ein Vortex in den Streifen ein, so wird er

aufgrund der Lorentzkraft zur anderen Seite des Streifens gedrängt (siehe Abbildung 2-8a)-c)). Um die Vortexquerungsrate zu erhalten, berechnen die Autoren von Ref. [17] die Vortexdiffusion über die Barriere (Gl. 2.31). Bei der quasistatischen Berechnung werden die Vortices dabei bei jeder Geschwindigkeit als kreisrunde Objekte betrachtet. Für die feldabhängige Vortex- und Antivortexquerungsrate RVAV(I,B) erhalten sie:

. 1 1 ) 0 , ( ) , ( ( 1) * , ) 1 ( * , 0 0 + +       ₋ +       ₊ = ν ν B I B I B I B I I R B I R cB cB V VAV _(2.34)

RV(I,0) bezeichnet dabei die Vortex- bzw. Antivortexquerungsrate im Nullfeld, die durch

die Gln. 24, 25 und 26 in Ref. [17] gegeben ist. B* = Φ0/πexp(1)ξwund ν0 = ε0/kBT.

Ein querender Vortex setzt die Energie Φ0I in Form von QTs, die aus dem Kern gedrückt

werden frei [68]. Die Querungszeit, innerhalb der diese Energie freigesetzt wird, beträgt einige Pikosekunden für einen 100 nm breiten Streifen bei einem Biasstrom nahe dem kritischen Strom Ic,B. Damit hinterlässt der gequerte Vortex ein Volumen mit

reduziertem Ordnungsparameter. Durch das Gleichsetzen von Φ0I mit der

Konden-sationsenergie in diesem Volumen erhalten die Autoren von Ref. [17] den Wert des Biasstroms, ab dem ein querender Vortex lokal einen normalleitenden Bereich im Streifen erzeugt (siehe Abbildung 2-8 c). Dieser Stromwert beträgt I > 0,6Ic,B.

Abbildung 2-8: Vereinfachte Illustration der Entstehung eines Dunkelereignisses (Dunkelpulses) im quasistatischen Vortexmodell. a) Teilstück des supraleitenden, stromdurchflossenen Streifens. Aufgrund des Biasstroms existiert ein magnetisches Feld, das in der Form von Vortices (roter Punkt in b) in den Streifen eindringen kann. Der Vortex wird am Eindringen in den Streifen durch eine Energiebarriere (nicht eingezeichnet) gehindert, kann diese aber durch thermische Anregung überwinden. Dringt der Vortex in den Streifen ein, so wird er durch die Lorentzkraft auf die gegenüberliegende Seite des Streifens gedrängt. Dabei wird die supraleitende Kondensationsenergie im Volumen, das der Vortex durchquert hat, verringert. Abhängig vom Biasstrom kann die dabei dissipierte Energie ausreichen, um die Supraleitung lokal zu zerstören und folglich zur Ausbildung eines normalleitenden Bereichs über die gesamte Streifenbreite führen (roter Bereich in c)). Abbildung in Anlehnung an Ref. [17].

Die Einzelphotonendetektion im quasistatischen Vortexmodell wird als Vortex-assistierter Prozess beschrieben (siehe Abbildung 2-9). Es wird angenommen, dass das

absorbierte Photon die supraleitende Kondensationsenergie homogen über die ganze Streifenbreite verringert (a) und folglich die Höhe der thermodynamischen Energie-barriere reduziert. An dieser Stelle ist die Wahrscheinlichkeit für das Eindringen eines Vortex in den Streifen und die darauf folgende dissipative Vortexbewegung stark erhöht (b). Die Energie, die lokal durch die Stromquelle aufgrund der Vortexbewegung dissipiert wird, verringert die supraleitende Kondensationsenergie weiter und kann schließlich zur Ausbildung eines normalleitenden Bereichs über die gesamte Breite des Streifens führen (c). Die Ausbildung des normalleitenden Bereichs ist stromabhängig, wobei Vortex-assistierte Photonenereignisse nur im Strombereich 0,6Ic,Bνh/ν0 <

I < Ic,Bνh/ν0 auftreten. Der Parameter νh ist folgendermaßen definiert: νh = εh/kBT, wobei

εh die charakteristische Energie eines Vortex im Hotspot bezeichnet (vgl. mit Gl. 2.32).

Für Ströme I < 0,6Ic,Bνh/ν0 reicht die Energie eines querenden Vortex nicht aus, um

einen normalleitenden Bereich zu erzeugen. Für I > Ic,Bνh/ν0 verschwindet die Barriere,

daher führt jedes absorbierte Photon zu einem normalleitenden Bereich.

Die Autoren von Ref. [17] berechnen letztlich die Vortexquerungsrate RV(I,νh) durch den

Hotspot und erhalten eine strom- und magnetfeldabhängige Vortex-assistierte PZR (siehe Gl 43. in Ref. [17]): ))]. / ) 1 ( cosh( ) , ( 2 exp( 1 [ ) , , ( * , B I I B I R R B I RPZR νh = h − − * νh νh + cB (2.35)

Rh bezeichnet dabei die Photonenabsorptionsrate und R* ist ein zur Relaxationszeit des

Hotpots und zur Vortexquerungsrate RV(I, νh) proportionaler Parameter.

Der Zusammenhang zwischen νh und der Photonenenergie wird nicht angegeben. Um

diesen Zusammenhang zu berechnen, ist die Kenntnis des Volumens, in dem die Kondensationsenergie durch das absorbierte Photon homogen reduziert wird, notwendig. Die Berechnung wird an relevanter Stelle in Abschnitt 3.6.2 durchgeführt.

Abbildung 2-9: Vereinfachte Illustration des Photonendetektionsmechanismus im quasistatischen Vortexmodell. a) Ein Photon wird im supraleitenden stromdurchflossenen Streifen absorbiert und führt dazu, dass die supraleitende Kondensationsenergie homogenen über die gesamte Streifenbreite reduziert wird (blauer Bereich). Dadurch wird die Energiebarriere (nicht eingezeichnet) für das Eindringen eines Vortex (roter Punkt in b)) in den Streifen verringert, was die Wahrscheinlichkeit einer thermisch aktivierten Querung erhöht. Dringt der Vortex in den Streifen ein, so wird er durch die Lorentzkraft auf die gegenüberliegende Seite des Streifens gedrängt, wobei die supraleitende Kondensationsenergie weiter verringert wird. Abhängig vom Biasstrom kann dies zur Ausbildung eines normalleitenden Bereichs über die gesamte Streifenbreite führen (c). Abbildung in Anlehnung an Ref. [17].

2.5.3 Zeitabhängiges Ginzburg-Landau-Vortexmodell

Das folgende Modell [18] basiert ebenfalls auf der Photonendetektion mittels magnetischen Vortices. Es betrachtet die anfängliche Anregung durch ein absorbiertes Photon im supraleitenden Streifen als eine gleichmäßige Zunahme ΔT0 der

Elektronentemperatur über der Badtemperatur T in einem zylinderförmigem Volumen mit Radius R0 ≈ (D tth)1/2 und Dicke d (siehe Abbildung 2-10a)). Die Stärke der

Anregung ist dabei folgendermaßen abhängig von der Wellenlänge λ des absorbierten Photons: , / 0 2 0 λ πdR c_v∆T =hc _(2.36) dabei bezeichnet D d R e T k cv =π2 B2 C/3 2 S (2.37)

die spezifische Wärmekapazität der Elektronen. Diese Anregung entwickelt sich zu einem zeitabhängigen, zylindrischen Nichtgleichgewichts-Hotspot, in dessen Mitte der Ordnungsparameter reduziert ist. Die zeitliche und räumliche Entwicklung der Elektronentemperatur und des Ordnungsparameters werden durch die numerische Berechnung der Wärmeleitungsgleichung und der zweidimensionalen, zeitabhängigen GL-Gleichung in Verbindung mit der Ladungserhaltung gefunden. Für Biasströme, die größer als ein kritischer Wert sind, kann die numerische Lösung so verstanden werden, dass zwei elongierte (normalleitende) Vortexkerne, d.h. ein Vortex-Antivortexpaar, periodisch am Absorptionsort des Photons entstehen und in Folge des angelegten Stroms zu den unterschiedlichen Seiten des Streifens gezogen werden (siehe Abbildung 2-10b). Wie auch im quasistatischen Vortexmodell wird der Supraleiter dadurch lokal erwärmt, was zur Entstehung eines normalleitenden Bereichs über die gesamte Streifenbreite führt (siehe Abbildung 2-10c)).

Abbildung 2-10: Vereinfachte Illustration des Photonendetektionsmechanismus im zeitabhängigen GL-Vortexmodell. a) Ein Photon wird im supraleitenden, stromdurchflossenen Streifen absorbiert und führt zu einem zeitabhängigen, zylindrischen Nichtgleichgewichts-Hotspot. Für Biasströme, die größer als ein kritischer Wert sind, entstehen ein Vortex und ein Antivortex an den Rändern des Hotspots (rote Kreise in b)). Aufgrund der Lorentzkraft werden der Vortex und der Antivortex zu den gegenüberliegenden Seiten des Streifens gezogen. Die Bewegung führt zur Dissipation von Energie und zur Ausbildung eines normalleitenden Bereichs über die gesamte Streifenbreite (roter Bereich in c)). Abbildung in Anlehnung an Ref. [18].

Um die in dieser Arbeit gewonnenen experimentellen Ergebnisse mit den theoretischen Vorhersagen des Modells zu vergleichen, wurde dessen analytische Erweiterung verwendet (ebenfalls in Ref. [18]). Diese beinhaltet explizit, dass die Verteilung der Suprageschwindigkeit und der Stromdichte um die Absorptionsstelle stark inhomogen ist. Andererseits wird angenommen, dass der Ordnungsparameter im Hotspot homogen

ist. Die numerischen Berechnungen zeigen, dass der stärkste Effekt auf die Stromdichteumverteilung erzeugt wird, wenn die Elektronentemperatur im Zentrum des Hotspots der supraleitenden Sprungtemperatur gleicht. Der effektive Radius R des Hotspots in diesem Moment ist genau so definiert, wie es bei der ersten Anregung (Gl. 2.36) der Fall war, nämlich (R/R0)² = ΔT0/(TC-T) (siehe Gl. 16 in Ref. [18]). Mit

zunehmendem Strom nimmt die Suprageschwindigkeit am Rand des Spots ebenfalls zu. Erreicht die Suprageschwindigkeit den kritischen Wert, so sind die Bedingungen erfüllt, um ein Vortex-Antivortex Paar an den gegenüberliegenden Rändern des Spots entstehen zu lassen. Dieses Paar wird dann, wie bereits erwähnt, aufgrund der jeweiligen Polaritäten durch die Lorentzkraft auseinander gezogen, wobei die Vortices zu den Rändern des Streifens gedrängt werden. Der entsprechende Wert des Stroms I0, bei dem

ein normalleitender Bereich entsteht, hängt von R, w und γ ab, wobei γ das Verhältnis des supraleitenden Ordnungsparameters innerhalb und außerhalb des Spots darstellt. I0

ist gegeben durch (siehe Gl. 12 in Ref. [18]):

. 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 0 −       + − + +         + −       − = γ γ ξ γ γ R R w R I I dep (2.38)

Das bedeutet, dass sich nur für Transportströme I > I0 ein normalleitender Bereich

bildet und folglich ein Photon detektiert wird. Für Ströme I < I0 wird kein Photon

3. Einfluss der Streifenbreite auf die Effizienz von SNSPDs

In diesem Kapitel werden die in Abschnitt 2.5 vorgestellten, theoretischen Modelle des Photonendetektionsmechanismus anhand von Messungen der spektralen IDE von SNSPDs verschiedener Streifenbreiten überprüft. Dazu wird zunächst motiviert, warum die Streifenbreite ein sinnvoller, zu variierender Parameter ist. Darauf folgend wird der experimentelle Aufbau zur Messung der spektralen IDE vorgestellt. Im Anschluss werden Messungen der spektralen IDE gezeigt und die experimentelle Extraktion der Grenzwellenlänge λC beschrieben. Um einen Vergleich zwischen Experiment und

theoretischen Modellen durchzuführen, werden diese in Abschnitt 3.6 diskutiert und Bedingungen gefunden, die dem Wert von λC in der spektralen IDE entsprechen.

Abschließend wird ein Vergleich der experimentell bestimmten Abhängigkeit der Grenzwellenlänge von der Streifenbreite mit den theoretischen Abhängigkeiten vorgenommen.6

3.1 Motivation

Geht man vom erweiterten Hotspot-Modell aus, ändert sich die spektrale IDE in Abhängigkeit des angelegten Stroms, der Geometrie des supraleitenden Streifens und (supraleitender) materialspezifischer Parameter bei einer bestimmten Wellenlänge von 100 % zu 0 % (Gl. 2.30 in Abschnitt 2.5.1). Diese wird als Grenzwellenlänge λC (engl.

cut-off wavelength, manchmal auch roll-off [57] oder red boundary [43], [69]) bezeichnet. Die Grenzwellenlänge entspricht der Energie eines vom Mäander absorbierten Photons, die gerade noch ausreicht, um ein Detektionsereignis, d.h. einen Spannungspuls, zu erzeugen.

Experimentell wurde der spektrale Grenzwert in der IDE vor über einem Jahrzehnt zum ersten Mal erwähnt [70] und seitdem von vielen Gruppen mit Detektoren unterschied-licher Materialien beobachtet [53], [55], [56]. Der experimentell gemessene Grenzwert