3. Einfluss der Streifenbreite auf die Effizienz von SNSPDs
3.6 Theoretische Grenzwellenlänge in Abhängigkeit von der Streifenbreite 60
Schluss kam man in Ref. [15] im Falle der NbN-Nanobrücken. In einer kürzlich erschienen Publikation schreibt Vodolazov jedoch, dass die Berechnung der Energiebarriere im Rahmen des London-Modells quantitativ zu falschen Ergebnissen führt, wenn sich der Vortex an einer Position kleiner als ≈ 2ξ von der Streifenkante entfernt befindet. Nach seinen Berechnungen im Rahmen des GL-Modells [73]
verschwindet die Energiebarriere für das Eindringen von Vortices exakt bei Idep.
Eine andere Erklärung, warum der kritische Strom in einem Streifen kleiner als der Idep
sein könnte sind Defekte der Streifenkanten, die während des Ionenätzens entstehen [74] und durch die der supraleitende Bereich im Streifen verringert wird. Allerdings handelt es sich dabei nur um 2-3 nm auf beiden Seiten des Streifens, weshalb der wirkliche Idep dadurch zwar geringer ist, aber die Verschiebung von 1-Ib/Idep ≈ 0,2 nicht vollständig erklären kann.
Entgegen all diesen Überlegungen zeigt Vodolazov mit Berechnungen der Photonendetektion im Rahmen des zeitunabhängigen GL-Modells [69], dass der Zusammenhang zwischen Ib/Idep und 1/λC nichtlinear ist, wodurch er die experimentellen Daten dieser TaN-Studie (Abbildung 3-13) erklären kann (siehe Abbildung 4 in Ref.
[69]). Um zu überprüfen welches Modell an dieser Stelle korrekt ist, sind Experimente mit Photonen einer Energie nahe 0 eV bzw. Biasströmen nahe zum kritischen Paarbrechungsstrom notwendig. Beides ist mit den heutigen SNSPDs nicht möglich, da die DE für derart geringe Photonenenergien zu gering und der experimentelle kritische Strom zu weit vom kritischen Paarbrechungsstrom entfernt ist.
folgenden Formeln sind in SI-Einheiten dargestellt und derart umgeformt, dass sie ausschließlich von direkt messbaren Parametern der Mäander abhängig sind.
3.6.1 Erweitertes Hotspot-Modell
Die Grenzwellenlänge (bzw. der Grenzwert der Photonenenergie) wurde im Falle des erweiterten Hotspot-Modells explizit in der Veröffentlichung [63] ausgerechnet und ist in Abschnitt 2.5.1 (Gl. 2.30) vorgestellt worden. Diese lautet:
( )
1 .3
4 1
1/2 2
2 −
−
=
dep b C th
B
C S I
I D
w c h T k
e R
β t ς π
λ (3.3)
Dieses Zweizustandsmodell kann den experimentellen beobachteten Übergang der spektralen IDE und den steilen Abfall nach der Grenzwellenlänge nicht erklären. Das Modell berücksichtigt die Verringerung des Ordnungsparameters durch den externen Strom, das Eindringen von Vortices in den Streifen sowie die Änderungen der Geschwindigkeit der supraleitenden Elektronen quer zum Streifen nicht.
3.6.2 Quasistatisches Vortexmodell
Im quasistatischen Vortexmodell (siehe Abschnitt 2.5.2) [17] wurde die Grenzwellenlänge nicht explizit berechnet, weshalb sie im Folgenden hergeleitet wird.
Das Modell besagt, dass die IDE den Wert 1 erreicht, wenn die Barriere für Vortexquerungen lokal verschwindet. Diese Bedingung wurde benutzt, um die Grenzwellenlänge für bestimmte Werte des Biasstroms und der Streifenbreite zu definieren. Da die thermodynamische Wahrscheinlichkeit für das Eindringen eines Vortex in den Streifen für jede Barrierenhöhe möglich ist, könnte dieses Modell den starken, graduellen Abfall der Detektionseffizient für λ > λC, erklären. Für die Herleitung der Grenzwellenlänge geht man zunächst von der Vortex-assistierten PZR ohne Magnetfeldterm aus (Gl. 2.35), die an dieser Stelle nochmals aufgeführt ist:
))].
, ( 2 exp(
1 [ ) ,
( h h h
PZR I R R I
R ν = − − * ν (3.4)
Gl. 3.4 beschreibt den Übergang von einem Plateau mit dem Wert Rh (IDE = 1) in einen exponentiellen Abfall. Um einen Vergleich des Modells mit den experimentell gewonnenen Grenzwellenlängen vornehmen zu können, muss zunächst eine Verbindung von Gl. 3.4 mit der Photonenenergie hergestellt und anschließend ein konkreter Wert der Grenzwellenlänge definiert werden. Da in Ref. [17] keine Formel angegeben ist, welche explizit die Photonenenergie und die charakteristische Energie eines Vortex im Hotspot (νh) verbindet, werden physikalische Aussagen, die diesen Zusammenhang beschreiben (Ref. [17], Sektion 4, Seite 7, (a), (b)) im Folgenden in Formeln ausgedrückt. Die erste Aussage ist, dass der durch die Photonenabsorption entstandene Hotspot aus QTs die gesamte Breite w des Streifens der Dicke d ausfüllt. Die zweite besagt, dass der Hotspot eine homogene Dichte aufweist.
Da die erste Aussage keine Information über die genaue Geometrie des Hotspots im Streifen enthält, sei daran erinnert, dass ein absorbiertes Photon zur Erzeugung von QTs und deren Diffusion führt (siehe Abschnitt 2.5.1). Da die QT-Diffusion in zwei Dimensionen isotrop ist und für NbN und TaN w > (D tth)1/2 > d gilt, muss die effektive Photonenenergie (ς·Eph) im Volumen V ~ w2d verteilt sein, um die gesamte Breite des Streifens auszufüllen. Dieses Volumen kann beispielsweise ein Zylinder mit Durchmesser w und Höhe d sein. Wegen der Geometrie des Streifens wurde ein quaderförmiges Volumen V = w2d gewählt. Der Unterschied im Volumen zwischen Zylinder und Quader spielt eine untergeordnete Rolle, weil dadurch die quadratische Abhängigkeit des Volumens von der Streifenbreite nicht geändert wird.
Die zweite Aussage der homogenen QT-Dichte des Hotspots ist eine Vereinfachung, da das absorbierte Photon eine gaußförmige Verteilung der QTs erzeugt. Nimmt man dennoch, wie vom Modell beschrieben, eine homogene QT-Dichte im Volumen w2d an, bedeutet das, dass die supraleitende Kondensationsenergie F0 = w2dµ0(Hc)2/2 dort homogen um die effektive Photonenenergie ς·Eph reduziert wird. Hc bezeichnet das
thermodynamische kritische Feld. Die verringerte Kondensationsenergie Fh in w2d lautet somit:
16 0 2 2 2 .
02 2
0 ς λ
ξ λ
ς π hc
µ d E w
F F
L ph
h = − = Φ − (3.5)
Hierbei wurde der in Ref. [17] über Gl. 35 stehende Ausdruck für das thermodynamische kritische Feld Hc verwendet. Mit Gl. 2.32 aus Abschnitt 2.5.2 folgt F0 = e0w²/4πξ2. Es sei daran erinnert, dass e0 die charakteristische Vortexenergie in einem Dünnfilm darstellt. Mit ν0 = e0/kBT findet man dann den reduzierten Wert der dimensionslosen Vortexenergie im Hotspot:
1 ,
4 22
0 k T w
hc
B h
ξ πς λ
ν
ν = − (3.6)
wobei
) . ( 4 0 2
2 02
0 T k T
d
B
λL
πµ
ν = Φ µ (3.7)
Der Parameter µ² steht für die Verringerung des Ordnungsparameters aufgrund des Biasstroms. µ² wurde auf den Wert eins gesetzt, da alle in dieser Arbeit an die SNSPDs angelegten Ströme wesentlich kleiner als der theoretische Paarbrechungsstrom sind. Die temperaturabhängige Eindringtiefe λL(T) wurde gemäß Gl. 2.20 in Abschnitt 2.2 berechnet.
Die Grenzwellenlänge λC wird dann durch Gl. 3.4 als diejenige Wellenlänge definiert, bei der der Term in der Exponentialfunktion dem Wert 1 gleicht, d.h. 2R*(I, νh) = 1. Das bedeutet λC entspricht dem Wert, bei dem RPZR vom Plateau Rh um 1/e1 abgefallen ist.
Diese Definition ähnelt der Definition der experimentell bestimmten Grenzwellenlänge, welche in einer doppelt logarithmischen Darstellung als Schnittpunkt einer Konstanten
und einer abfallenden Geraden des IDE-Spektrums festgelegt wurde (siehe Abschnitt 3.5.4). Anschließend wurde bei einem festen relativen Strom die Wellenlänge variiert, um die Streifenbreite zu finden, bei der der exponentielle Term eins ist. Dadurch konnte die Streifenbreitenabhängigkeit der Grenzwellenlänge erhalten werden. In den Berechnungen wurde der Unterschied zwischen kritischem Paarbrechungsstrom und dem Strom, bei dem die Energiebarriere verschwindet, vernachlässigt. Außerdem wurde die Temperaturabhängigkeit des Paarbrechungsstroms verwendet (siehe Gl. 2.22).
3.6.3 Zeitabhängiges Ginzburg-Landau-Vortexmodell
Im Folgenden wird die Herleitung der Grenzwellenlänge im zeitabhängigen GL-Vortexmodell vorgestellt, da in Ref. [18] (siehe Abschnitt 2.5.3) nur eine Abhängigkeit der Streifenbreite vom Grenzstrom I0 gegeben ist. Dazu ist Gl. 2.38 nachfolgend nochmals aufgeführt:
1 . 1 1
1 1 1 2
1 2 2 2
2 2 0
−
+
− + +
+
−
−
= γ
γ ξ γ
γ
R R w
R I
I
dep (3.8)
Die dimensionslose Verringerung des Ordnungsparameters γ in Gl. 3.8 kann durch die entsprechenden Konzentrationen der supraleitenden Elektronen als γ = (ns’/ ns)1/2 ausgedrückt werden. Für typische Werte der Materialparamater von TaN und NbN und den hier verwendeten Wellenlängenbereich (400 nm - 2500 nm) ist γ immer kleiner als 0,1 (siehe Gl. 17 in Ref. [18]). Vereinfacht man nun Gl. 3.8 entsprechend und verwendet die numerische Beziehung (R/R0)2 = ΔT0 /(TC-T) (Gl. (16) in Ref. [18]), wobei ΔT0
durch Gl. 2.36 in Abschnitt 2.5.3 gegeben ist, so erhält man die folgende kubische Gleichung:
. 0 1 1
2 2
2 2 0 0
2 3
2
=
−
+
−
+
+
dep
dep I
u I I
u I u w
w
ξ
ξ (3.9)
Die Variable u ist dabei folgendermaßen gegeben:
1. )
(
3 1/2
2 3
2
ξ λ
π
ς
ξ
= −
=
C C
B
ST T T
k
c h D R e
u R (3.10)
λ bezeichnet hier die Photonenwellenlänge. Um die Grenzwellenlänge zu erhalten, wurde der experimentelle Biasstrom Ib mit I0 identifiziert und Gl. 3.9 numerisch für das Set gegebener Werte von Ib/Idep und ξ/w gelöst.
Obwohl das zeitabhängige GL-Vortexmodell aus Ref. [18] Vortices berücksichtigt, ist es dennoch intern nur ein Zweizustandsmodell, das für einen idealen Streifen für alle Wellenlängen, die größer als die Grenzwellenlänge sind, IDE = 0 vorhersagt.
In einer kürzlich erschienenen Publikation, in dem das zeitabhängige Vortexmodell weiterentwickelt wurde, wurde gezeigt, dass der Übergangsbereich zwischen IDE = 1 und dem exponentiellen Abfall durch die Positionsabhängigkeit des Photonenabsorp-tionsortes quer zum Streifen beschrieben werden kann [75].