Im urspr¨unglichen System, in dem die Vierervektoren k und u gegeben wurden sei w = (c, 0); es gilt

(1)

UNIVERSIT¨ AT LEIPZIG

INSTITUT F¨ UR THEORETISCHE PHYSIK

Elektrodynamik Ubungsblatt 9 ¨ Musterl¨osungen

23 Aufgabe

Im urspr¨unglichen System, in dem die Vierervektoren k und u gegeben wurden sei w = (c, 0); es gilt

η ab w ^a k ^b = c|~k| = 2πc λ ₀ , und

η _ab u ^a k ^b = c|~k|γ ¡

1 − ^v _c cos θ ¢

Im Ruhesystem des Beobachters gilt anderseits u ⁰ = (c, 0), und mit dem Lorentz-transformierten Vektor k ⁰ gilt

η _ab (u ⁰ ) ^a (k ⁰ ) ^b = 2πc λ _u ,

wobei λ _u die im Ruhesystem des Beobachters erwartene Wellenl¨ange des Photons bezeichnet. Nun aber ist das Produkt η _ab u ^a k ^b Lorentz-invariant, d.h.

η ab u ^a k ^b = η ab (u ⁰ ) ^a (k ⁰ ) ^b , und damit finden wir sofort

λ _u = λ ₀ γ ¡

1 − ^v _c cos θ ¢ .

24 Aufgabe

Zu (a): OBDA parametrisieren wird die lichtartige Kurve durch die Koordinate t parametrisiert, d.h. sie wird durch

ξ(t) = (t, x(t)) gegeben. Dir Kurve muss lichtartig sein, d.h.

η _ab ξ ˙ ^a ξ ˙ ^b = 1 − µ dx

dt

¶ ₂

= 0.

Es folgt ^dx _dt = ±1 und

ξ(t) = t · (1, ±1),

d.h. die Kurve ist eine Gerade.

(2)

Zu (b): Es sei

ξ ˙ ⁰ (τ ₀ ) = c dt dτ > 0,

die nullte Komponente des Tangentialvektors der zeitartigen Kurve ξ(τ) am Anfangspunkt τ = τ ₀ . Die Kurve wird geschlossen nur wenn es einen τ _] gibt, wo ˙ ξ ⁰ (τ _] ) = 0 gilt. Aber am solchen Punkt muss

η _ab ξ ˙ ^a ξ ˙ ^b = −|~ξ(τ _] )| ² < 0,

d.h. die Kurve wird raumartig (was unserer Voraussetzung widerspricht).

Zu (c): Wegen der Homogenit¨at und Isotropie von R ⁴ reicht es, die Aufgabe f¨ur x = (0, a, 0, 0), y = (T, −a, 0, 0), zu betrachten. Es sei ξ(t) eine durch

ξ(t) = ¡

t, a cos( ^t(2k+1)π _T ), a sin( ^t(2k+1)π _T ) ¢

, k ∈ Z

definierte Kurve. Für die Länge des Tangentialvektors ergibt sich η _ab ξ ˙ â ξ ˙ ^b = 1 − a ² π ² (2k + 1) ²

T ² .

(Die Länge hängt nicht von der Zeit t ab.) Es ist evident, dass zu einem gegebenen T kann immer so ein k ∈ Z gewählt werden, dass

η _ab ξ ˙ ^a ξ ˙ ^b < 0, ∀t ∈ R.

(Die Kurve wird raumartig.)

25 Aufgabe

Die Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens in einem durch F ^ab beschriebenen elektroma- gnetischen Feld lauten:

mc du ^a dτ = e

c F ^a _b u ^b ,

wobei u ^a = ^dξ _dτ

^a

die Vierergeschwindigkeit des Teilchens bezeichnet ¹ . Physikalisch unterliegt ein geladenes Teilchen einer konstanten Beschleunigung in der Richtung x, wenn in seinem Ruhesystem wirkt auf das Teilchen ein von der Eigenzeit unabhängiges elektrisches Feld E in der x-Richtung. Es sei ein homogenes elektrisches Feld E ~ = (E, 0, 0) gegeben, F ^x,0 = E. Es lässt sich leicht verifizieren, dass obwohl das Teilchen wird sich in der x-Richtung immer schneller bewegen, wird es die gleiche Feldstärke beobachten. Tatsächlich eine Lorentztransformation des Feldes liefert

E ^x

⁰

= F ^x

⁰

= Λ ^x

⁰

_a Λ ⁰

⁰

_b F ^ab = E ^x .

1

Siehe z.B. Landau, Lifshitz The Classical Theory of Fields, §23 f¨ur eine Herleitung dieser Gleichung aus dem

Wirkungs-Funktional.

(3)

Die Bewegungsgleichungen des Teilchens mit dem konstanten Beschleunigung sind also

˙

u ⁰ = αu ^x ,

˙

u ^x = αu ⁰ , mit α = _mc ^eE

2

. Wir finden

u ⁰ = cosh(aτ ), u ^x = sinh(aτ ), zusammen mit

ξ ⁰ = 1

α sinh(aτ ), a ⁰ = α sinh(aτ ), ξ ^x = 1

α cosh(aτ ), a ^x = α cosh(aτ ),

Die Weltlinie, die Vierergeschwindigkeit und die Viererbeschleunigung eines konstant beschleunig- ten Beobachten werden durch die gefundenen Gleichungen bis auf der Wahl von α (und eventuell bis auf der Wahl einer konstanten Verschiebung ξ â → ξ â + d â ) eindeutig bestimmt ² .

Zu (b): Wir finden zun¨achst:

ξ(t) = Λ(at) Ã

0 y

!

= y Ã

− sinh(at) cosh(at)

!

Nun aus der Normierung der Vierergeschwindigkeit u ^a = ^dξ _dτ

^a

= ^dξ _dt

^a

_dτ ^dt folgt

1 = y ² a ² µ dt

dτ

¶ ₂ ,

und damit t = −τ /ay,

ξ(τ ) = y

Ã sinh(τ /y) cosh(τ /y)

!

Wir erkennen, dass diese Linie der Bahnkurve eines konstant beschleunigten Teilchens mit α = 1/y entspricht (Teil (c) der Aufgabe).

2

Offensichtlich hat die durch ¨ ξ

⁰

= 0, ¨ ξ

^x

= a gegebene Linie eine andere Form. Des Weiteren, die aus dieser Gleichungen bestimmte Linie hat

^dξ_dt⁰

= β,

^dξ_dt^x

= at +v mit beliebigen Konstanten β, v. Die Normierungsbedingung,

[(

^dξ_dt⁰

)

²

− (

^dξ_dt⁰

)

²

](dt/dτ)

²

= [β

²

− (at + v)

²

](dt/dτ )

²

= 1

lässt sich für alle t nicht erfüllen (die Linie wird für |at + v| > |β| akausal).

(4)

Zu (d): Es sei w ^a = (y √

15, 4y). Aus den Gleichungen y cosh(τ ₀ /y) = 4y ¹ ,

y sinh(τ 0 /y) = √ 15y ¹ ,

folgt y = y ¹ und τ ₀ = y ₁ arccosh(4), sodass w ^a sich als ein Ereignis auf der Weltlinie

ξ(τ ) = y Ã

sinh(τ /y) cosh(τ /y)

!

mit y = y ¹ und zu τ = τ 0 lokalisieren lässt. Dem sich entlang dieser Weltlinie bewegenden Beob- achter verläuft zwischen den Ereignissen w â und ˜ w â = (−y √

15, 4y)

∆T = 1 c 2τ ₀

seiner Eigenzeit. Anderseits dem ruhenden Beobachter (mit u ^a = (c, 0)) verlauft zwischen den gleichen Ereignissen

Im urspr¨unglichen System, in dem die Vierervektoren k und u gegeben wurden sei w = (c, 0); es gilt

UNIVERSIT¨ AT LEIPZIG

INSTITUT F¨ UR THEORETISCHE PHYSIK

Elektrodynamik Ubungsblatt 9 ¨ Musterl¨osungen

23 Aufgabe

Im urspr¨unglichen System, in dem die Vierervektoren k und u gegeben wurden sei w = (c, 0); es gilt

η ab w a k b = c|~k| = 2πc λ 0 , und

η ab u a k b = c|~k|γ ¡

1 − v c cos θ ¢

Im Ruhesystem des Beobachters gilt anderseits u 0 = (c, 0), und mit dem Lorentz-transformierten Vektor k 0 gilt

η ab (u 0 ) a (k 0 ) b = 2πc λ u ,

wobei λ u die im Ruhesystem des Beobachters erwartene Wellenl¨ange des Photons bezeichnet. Nun aber ist das Produkt η ab u a k b Lorentz-invariant, d.h.

η ab u a k b = η ab (u 0 ) a (k 0 ) b , und damit finden wir sofort

λ u = λ 0 γ ¡

1 − v c cos θ ¢ .

24 Aufgabe

Zu (a): OBDA parametrisieren wird die lichtartige Kurve durch die Koordinate t parametrisiert, d.h. sie wird durch

ξ(t) = (t, x(t)) gegeben. Dir Kurve muss lichtartig sein, d.h.

η ab ξ ˙ a ξ ˙ b = 1 − µ dx

dt

¶ 2

= 0.

Es folgt dx dt = ±1 und

ξ(t) = t · (1, ±1),

d.h. die Kurve ist eine Gerade.

Zu (b): Es sei

ξ ˙ 0 (τ 0 ) = c dt dτ > 0,

die nullte Komponente des Tangentialvektors der zeitartigen Kurve ξ(τ) am Anfangspunkt τ = τ 0 . Die Kurve wird geschlossen nur wenn es einen τ ] gibt, wo ˙ ξ 0 (τ ] ) = 0 gilt. Aber am solchen Punkt muss

η ab ξ ˙ a ξ ˙ b = −|~ξ(τ ] )| 2 < 0,

d.h. die Kurve wird raumartig (was unserer Voraussetzung widerspricht).

Zu (c): Wegen der Homogenit¨at und Isotropie von R 4 reicht es, die Aufgabe f¨ur x = (0, a, 0, 0), y = (T, −a, 0, 0), zu betrachten. Es sei ξ(t) eine durch

ξ(t) = ¡

t, a cos( t(2k+1)π T ), a sin( t(2k+1)π T ) ¢

, k ∈ Z

definierte Kurve. F¨ur die L¨ange des Tangentialvektors ergibt sich η ab ξ ˙ a ξ ˙ b = 1 − a 2 π 2 (2k + 1) 2

T 2 .

(Die Länge hängt nicht von der Zeit t ab.) Es ist evident, dass zu einem gegebenen T kann immer so ein k ∈ Z gewählt werden, dass

η ab ξ ˙ a ξ ˙ b < 0, ∀t ∈ R.

(Die Kurve wird raumartig.)

25 Aufgabe

Die Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens in einem durch F ab beschriebenen elektroma- gnetischen Feld lauten:

mc du a dτ = e

c F a b u b ,

wobei u a = dξ dτ

E x

= F x

0

= Λ x

a Λ 0

b F ab = E x .

Siehe z.B. Landau, Lifshitz The Classical Theory of Fields, §23 f¨ur eine Herleitung dieser Gleichung aus dem

Wirkungs-Funktional.

Die Bewegungsgleichungen des Teilchens mit dem konstanten Beschleunigung sind also

˙

u 0 = αu x ,

˙

u x = αu 0 , mit α = mc eE

. Wir finden

u 0 = cosh(aτ ), u x = sinh(aτ ), zusammen mit

ξ 0 = 1

α sinh(aτ ), a 0 = α sinh(aτ ), ξ x = 1

α cosh(aτ ), a x = α cosh(aτ ),

Die Weltlinie, die Vierergeschwindigkeit und die Viererbeschleunigung eines konstant beschleunig- ten Beobachten werden durch die gefundenen Gleichungen bis auf der Wahl von α (und eventuell bis auf der Wahl einer konstanten Verschiebung ξ a → ξ a + d a ) eindeutig bestimmt 2 .

Zu (b): Wir finden zun¨achst:

ξ(t) = Λ(at) Ã

0 y

!

= y Ã

− sinh(at) cosh(at)

!

Nun aus der Normierung der Vierergeschwindigkeit u a = dξ dτ

= dξ dt

dτ dt folgt

1 = y 2 a 2 µ dt

dτ

¶ 2 ,

und damit t = −τ /ay,

ξ(τ ) = y

Ã sinh(τ /y) cosh(τ /y)

!

η ab w ^a k ^b = c|~k| = 2πc λ ₀ , und

η _ab u ^a k ^b = c|~k|γ ¡

1 − ^v _c cos θ ¢

Im Ruhesystem des Beobachters gilt anderseits u ⁰ = (c, 0), und mit dem Lorentz-transformierten Vektor k ⁰ gilt

η _ab (u ⁰ ) ^a (k ⁰ ) ^b = 2πc λ _u ,

wobei λ _u die im Ruhesystem des Beobachters erwartene Wellenl¨ange des Photons bezeichnet. Nun aber ist das Produkt η _ab u ^a k ^b Lorentz-invariant, d.h.

η ab u ^a k ^b = η ab (u ⁰ ) ^a (k ⁰ ) ^b , und damit finden wir sofort

λ _u = λ ₀ γ ¡

1 − ^v _c cos θ ¢ .

η _ab ξ ˙ ^a ξ ˙ ^b = 1 − µ dx

¶ ₂

Es folgt ^dx _dt = ±1 und

ξ ˙ ⁰ (τ ₀ ) = c dt dτ > 0,

die nullte Komponente des Tangentialvektors der zeitartigen Kurve ξ(τ) am Anfangspunkt τ = τ ₀ . Die Kurve wird geschlossen nur wenn es einen τ _] gibt, wo ˙ ξ ⁰ (τ _] ) = 0 gilt. Aber am solchen Punkt muss

η _ab ξ ˙ ^a ξ ˙ ^b = −|~ξ(τ _] )| ² < 0,

Zu (c): Wegen der Homogenit¨at und Isotropie von R ⁴ reicht es, die Aufgabe f¨ur x = (0, a, 0, 0), y = (T, −a, 0, 0), zu betrachten. Es sei ξ(t) eine durch

t, a cos( ^t(2k+1)π _T ), a sin( ^t(2k+1)π _T ) ¢

definierte Kurve. Für die Länge des Tangentialvektors ergibt sich η _ab ξ ˙ â ξ ˙ ^b = 1 − a ² π ² (2k + 1) ²

T ² .

η _ab ξ ˙ ^a ξ ˙ ^b < 0, ∀t ∈ R.

Die Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens in einem durch F ^ab beschriebenen elektroma- gnetischen Feld lauten:

mc du ^a dτ = e

c F ^a _b u ^b ,

wobei u ^a = ^dξ _dτ

E ^x

= F ^x

⁰

= Λ ^x

_a Λ ⁰

_b F ^ab = E ^x .

u ⁰ = αu ^x ,

u ^x = αu ⁰ , mit α = _mc ^eE

u ⁰ = cosh(aτ ), u ^x = sinh(aτ ), zusammen mit

ξ ⁰ = 1

α sinh(aτ ), a ⁰ = α sinh(aτ ), ξ ^x = 1

α cosh(aτ ), a ^x = α cosh(aτ ),

Die Weltlinie, die Vierergeschwindigkeit und die Viererbeschleunigung eines konstant beschleunig- ten Beobachten werden durch die gefundenen Gleichungen bis auf der Wahl von α (und eventuell bis auf der Wahl einer konstanten Verschiebung ξ â → ξ â + d â ) eindeutig bestimmt ² .

Nun aus der Normierung der Vierergeschwindigkeit u ^a = ^dξ _dτ

= ^dξ _dt

_dτ ^dt folgt

1 = y ² a ² µ dt

¶ ₂ ,

Zu (d): Es sei w ^a = (y √

15, 4y). Aus den Gleichungen y cosh(τ ₀ /y) = 4y ¹ ,

y sinh(τ 0 /y) = √ 15y ¹ ,

folgt y = y ¹ und τ ₀ = y ₁ arccosh(4), sodass w ^a sich als ein Ereignis auf der Weltlinie

mit y = y ¹ und zu τ = τ 0 lokalisieren lässt. Dem sich entlang dieser Weltlinie bewegenden Beob- achter verläuft zwischen den Ereignissen w â und ˜ w â = (−y √

∆T = 1 c 2τ ₀

seiner Eigenzeit. Anderseits dem ruhenden Beobachter (mit u ^a = (c, 0)) verlauft zwischen den gleichen Ereignissen

∆t = 1 c 2y ¹ √