1 Teilchenbeschleuniger Kraft auf ein geladenes Teilchen in einem homogenen B -Feld (Fortsetzung)

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Teilchenbeschleuniger

Geladene Teilchen werden mit E-Feldern beschleunigt, aber i.d.R. mit B-Feldern geführt und fokussiert. Warum? Betrachte die Lorentzkraft für ein Teilchen mit nahezu Lichtgeschwindigkeit:

 

 

E e F

B c e F

c v B

v B

v E e F

E B





















      



und mit

Um dieselbe Kraft wie mit einem B-Feld von typisch 1 T zu bewirken, benötigt man ein E-Feld von ca. 300 MV/m, das technisch kaum machbar ist. Bei kleinerer Teilchengeschwindigkeit (z.B. in einem Elektronenmikroskop oder einem Oszillografen) werden auch elektrostatische Linsen und Ablenkplatten verwendet (Vorteil: keine magnetische "Hysterese" - siehe später).

m 10 V m 3

1Vs s 10 m

3 ⁸  ₂   ⁸





c B E Hier ist das sog. Fadenstrahlrohr gekippt, so dass

v und B nicht senkrecht aufeinander stehen. Die Elektronenbahn ist eine Kombination von Kreis- und Linearbewegung ‒ eine Spirale.

Entdeckung des Positrons in der kosmischen Strahlung (Carl Anderson 1933). Die Teilchenspur in einer Nebelkammer krümmt sich im B-Feld stärker nach dem Durchgang durch die Bleiplatte. Die Flugrichtung ist also von oben nach unten und das Teilchen muss positiv sein. Aus dem Radius und der Reichweite kann man ausschließen, dass es sich um ein Proton handelt.

Kraft auf ein geladenes Teilchen in einem homogenen B-Feld (Fortsetzung)

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Kreisbeschleuniger

a) Betatron

- Beschleunigung durch Induktion (wird im nächsten Kapitel behandelt)

b) Zyklotron

- Magnetfeld ist konstant, Bahnradius nimmt mit der Teilchenenergie zu

- Umlaufszeit ist gleich der Periodendauer des beschleunigenden elektrischen Hochfrequenz-Wechselfelds (HF) - wenn der Lorenzfaktor von 1 abweicht, kann diese Bedingung nur schwer erfüllt werden

(das Zyklotron ist eine Maschine für schwere Teilchen bei nicht allzu hoher Energie)

c) Mikrotron

- Magnetfeld ist konstant, Bahnradius nimmt mit der Teilchenenergie zu

- Umlaufszeit ist gleich einem ganzzahligen Vielfachen der Periodendauer des elektrischen HF-Wechselfelds - diese Bedingung erfordert Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit (s. Übungsaufgabe)

(das Mikrotron ist ein Beschleuniger für relativistische Elektronen)

d) Synchrotron

- Magnetfeld steigt mit der Teilchenenergie, Bahnradius bleibt konstant

- Umlaufszeit ist gleich einem ganzzahligen Vielfachen der Periodendauer des elektrischen HF-Wechselfelds (das Synchrotron ist ein Beschleuniger für leichte und schwere Teilchen mit hohen Geschwindigkeiten;

es eignet sich für sehr große Maschinen, weil das Magnetfeld nur entlang des Umfangs und nicht über die gesamte Fläche benötigt wird; nachteilig ist, dass nur ein gepulster Betrieb möglich ist)

HF HF

HF

Ludvig Lorenz

1829-1891

3

3.5 Das magnetische Vektorpotenzial

Weil die Rotation des E-Felds null ist, kann man ein elektrostatisches skalares Potenzial definieren.

Dies ist für das B-Feld nicht der Fall, aber:

Weil die Divergenz des B-Felds null ist, kann man ein magnetisches Vektorpotenzial definieren:

 

div weil

rot   

 A A B A

B      

Dies folgt aus Regeln für Divergenz und Rotation. Ohne Beweis: die Divergenz der Rotation ist immer null. Das elektrostatische Potenzial ist nicht eindeutig. Man kann eine Funktion addieren, deren Gradient null ist (also eine Konstante). Auch das magnetische Potenzial ist nicht eindeutig. Man kann ein Feld addieren, dessen Rotation null ist. Dies ist für den Gradienten einer skalaren Funktion stets der Fall:

ist.

0 weil

rot )

(

rot      

 A f A f A f

B         

Das Vektorpotenzial wird durch eine "Eichbedingung" festgelegt, z.B. die sog. Coulomb-Eichung:

u.s.w d.h.

rot

: damit 0

div

0 0

0 j A j Ax jx

A B

A A





































 ^{  }











Mit der Coulomb-Eichung ergibt sich für jede Komponente von A und Stromdichte j eine Gleichung, die der Poisson-Gleichung analog ist. Die sog. Lorenz-Eichung verknüpft das magnetische

Vektorpotenzial mit dem elektrostatischen Potenzial und ist so gewählt, dass die Beschreibung elektromagnetischer Wellen vereinfacht wird (s. später):

t A c



 

 

2

div  1

4 3.6 Das Magnetfeld als relativistischer Effekt

Plattenkondensator mit konstanter Ladung bewegt sich in x-Richtung mit konstanter Geschwindigkeit v.

Betrachte zwei Fälle:

1) Platten senkrecht zu x, elektrisches Feld in x-Richtung bleibt konstant.

2) Platten parallel zu x, elektrisches Feld in z-Richtung wird im Laborsystem um g größer (Lorentz-Kontraktion erhöht die Ladungsdichte).

2 2

2 1

1 1

mit 1 g 

g  



 



 



c v E

E E

E_{x x z z} (Größen mit Strich sind im

bewegten System gemessen)

Ebenso wird das Feld einer Punktladung abgeflacht, wenn sie sich mit hoher Geschwindigkeit bewegt.

5

Betrachte nun einen neutralen Draht. Negative Ladungen bewegen sich mit Geschwindigkeit v,

positive Ladungen ruhen. Die Ladungsdichten sind im Ruhesystem des Drahts ± l

. Im Ruhesystem des Drahts ist die negative Ladungsdichte um g erhöht, im Ruhesystem der Elektronen ist die positive Ladungsdichte ebenfalls um g erhöht.









 



 



 







 



 



 

 

 





 

 





 











 













 g

 l g l  g

l  g l g g g

l l l l

g l g

l l l

g l l

g l

l l l

l

1 mit 1 1 1

1 1 1

1 2

2 0 2 0

2 0

2 0 0

gesamt

0 0

0 0

Im Ruhesystem der Elektronen ist die Gesamtladungsdichte also nicht null. Das elektrische Feld des Drahts im Abstand r ist demnach (s. frühere Vorlesung)

2 0 0 0

0 0

2 0 0 0

gesamt 1

und 2 mit

2

2 v c

t L t

I Q r

v I r c

v v E r

 





 





 



 



 

 









 





 

 l g l g  







 g l



 l

(ohne Beweis)

Die Kraft auf eine mit Geschwindigkeit v bewegte Ladung q ist dann

B v r q v I q E q F

B





 

 















 2

0

Die Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung in der Umgebung eines stromdurchflossenen Drahts kann also

als eine Modifikation der Coulombkraft aufgrund der relativistischen Lorentzkontraktion der bewegten

Ladungsverteilung gedeutet werden. Magnetismus ist also ein relativistischer Effekt, der sich sogar bei den

kleinen Geschwindigkeiten der Elektronendrift in einem Draht bemerkbar macht! Der Faktor g

ist winzig

(ca. 10

), aber die Ladungsdichte pro Länge ist sehr groß (bei ca. 1 Elektron/Atom  l

≈ 10

C/m).

6 Elektrostatik Magnetostatik

Coulombsches Gesetz:

er

r

E q 





 ₂

4 0

1



Elementare Objekte:

positive/negative Ladungen q

Feld:

elektrisches Feld E







grad 0

rot div

0















E E

E E e F











Biot-Savartsches Gesetz:

Elementare Objekte:

bewegte Ladungen, stationäre Ströme magnetische Dipole p_m (Stromschleifen)

Feld:

magnetisches Feld B

j B

A B

B B v e F

 







 



















rot 0

rot 0

div







 ₂

21 21 0

2) 4

( r

l d I e

r B

 

 





Gaußsches Gesetz: Ampèresches Gesetz:

0

div  

 q

A d E E

V









 B j B ds I

S







 ⁰



rot ^  ^{  } 

Dipol im elektrischen Feld: Dipol im magnetischen Feld:

d q p E p

D _{el el}

 

 

   

Materie im elektrischen Feld:

Polarisation

Hilfsfeld D:

(diel. Verschiebungsdichte)

Materie im magnetischen Feld:

Magnetisierung

Hilfsfeld H:

(mag. Erregung, mag, Feldstärke) A

I p B p

D _m  _m 









D i

i

el P E

V p

P  









 ¹



i i m





  ¹ 



E 





₀  ^B₀^^H

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Vorversuche zum Thema "Materie im magnetischen Feld"

Die magnetische Feldstärke, gemessen mit einer sog. Hall-Sonde, ist am Ende einer stromdurchflossenen Spule deutlich höher, wenn sich in der Spule ein Eisenkern statt Luft befindet (rechts).

Das Eisen bewirkt eine Verstärkung des Felds. Wenn man den Kern in die Spule einbringt, kann man spüren, wie er in die Spule hineingezogen wird.

In einem Magneten mit zugespitzten Polen richtet sich ein an einem Faden aufgehängtes Aluminiumstäbchen parallel zum magnetischen Feld aus (wie ein Kompass), während ein Stäbchen aus Wismut sich senkrecht dazu einstellt (unten links).

Stoffe wie Aluminium verhalten sich wie ausgerichtete Dipole und heißen Paramagnete, Stoffe wie Wismut "widersetzen"

sich dieser Ausrichtung. Sie heißen Diamagente.

Ein Plättchen aus Graphit (Kohlenstoff), ebenfalls ein Diamagnet, schwebt über einer Anordnung von Permanentmagneten.

Die Magnete sind als Quadrupol angeordnet (je zwei gegenüberstehende Nord- und Südpole), der eine Potenzialmulde bildet, in der sich das Graphitplättchen zentriert (unten rechts).