A 7.1 Geladenes Teilchen im Magnetfeld

Physikalisches Institut Ubungsblatt 7¨

Universit¨at Bonn 29. Mai 2018

Theoretische Physik SS 18

Ubungen zur Theoretischen Physik III ¨

Prof. Dr. Hartmut Monien, Iris Golla, Christoph Liyanage Abgabe der Hausaufgaben am 05.06.2018

Besprechung der Anwesenheitsaufgaben am 07.06.2018 Besprechung der Hausaufgaben am 12.06.2018

http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/liyanage/Theoretische_Physik_III_SS18/

- ANWESENHEITSAUFGABEN -

A 7.0 Kurze Wissensfragen

1. Geben Sie die Definition von Auf- und Absteigeoperatoren in Abh¨angigkeit von Orts- und Impulsoperator an, sowie in vereinfachten Koordinatenξ mitx=ξA und A=

q

mω~ . 2. Wie wirken diese auf die Zust¨ande |ni? Wie l¨asst sich demnach ein Zustand |ni durch

den Grundzustand darstellen?

3. Wie lauten die Energiezust¨ande des harmonischen Oszillators?

4. Ein Punktteilchen bewege sich mit Impuls ~p auf der Trajektorie ~r in drei Dimensionen.

Was ist sein Drehimpuls? Geben Sie auch die Definition mittelsε-Tensor an.

A 7.1 Geladenes Teilchen im Magnetfeld

In der Vorlesung haben Sie ein Teilchen im Magnetfeld in der Landau-Eichung betrachtet. Wir wollen hier eine andere Eichung verwenden und zeigen, dass das Ergebnis dasselbe ist.

Der Hamiltonoperator lautet in der Landau-Eichung Hˆ = 1

2m

~

p−e ~A(~r)2

, (1)

wobei wir c= 1 gesetzt haben und ~p und ~r nat¨urlich Operatoren sind. Wir werden diese nun nicht immer durch einen ”Hut” kennzeichnen, da dies nun bekannt sein sollte.

Wir haben gelernt, dass die Eichinvarianz in der Quantendynamik ausgedr¨uckt ist durch A~⁰ =A~+∇Λ(~r, t), φ⁰=φ−∂Λ(~r, t)

∂t , ψ⁰(~r, t) = exp(ie

~Λ (~r, t))ψ(~r, t), (2) wobeiψ die Wellenfunktion des Teilchens ist.

Wir w¨ahlen also ausgehend von der Landau-Eichung ein Vektorpotential A~⁰(~r) = 1

2~r×B~ +∇Λ(~r, t), (3)

das uns in eine andere Eichung ¨uberf¨uhrt. Der Hamiltonoperator wird zu Hˆ = 1

2m

~

p−e ~A⁰(~r)2

+eφ⁰. (4)

Wir wollen diesmal die Transformationen gleichzeitig anwenden und zeigen, dass die Schr¨odingergleichung tats¨achlich invariant bleibt.

a) Stellen Sie ¨ahnlich wie auf Zettel 4 die transformierte Schr¨odingergleichung auf und verein- fachen Sie.

b) Was folgt daraus f¨ur die Bewegungsgleichungen?

Hinweis: Wie war die totale zeitliche Ableitung durch den Hamiltonoperator gegeben?

Wir erhalten also dasselbe Ergebnis wie in der Landau-Eichung. Das ist das Besondere an Eichungen: Egal, welche Eichung man w¨ahlt, physikalische Messgr¨oßen m¨ussen invariant bleiben.

Wir definieren jetzt B~ = (0,0, B) konstant.

c) Berechnen Sie die Bewegungsgleichung f¨ur~r.

d) Schreiben Sie die Gleichungen f¨ur x und y als Matrixgleichung und definieren Sie eine geeignete Zyklotronfrequenz.

e) Finden Sie eine L¨osung f¨ur d).

f) Welche Bewegung beschreibt das geladene Teilchen im Magnetfeld? Machen Sie eine Skizze.

g) Definieren Sie geeignete Absteige- und Aufsteigeoperatoren, um den Orthogonalteil des Hamiltonoperators auf die Form

Hˆ⊥=~ω

a^†a+1 2

(5) zu bringen, wobei derH⊥ den Hamiltonoperator in derx, y-Ebene bezeichnet und ω= ^eB_m. Er entspricht also dem eines harmonischen Oszillators. Nun ergibt sich ein konsistentes Bild:

Die Bewegung des Teilchens in derx, y-Ebene kann mit der eines harmonischen Oszillators ver- glichen werden.

Wir erhalten also f¨ur die Energieniveaus En=~ω

n+ 1

2

(6) mit n = 0,1,2, ... und nennt diese Energieniveaus Landau-Niveaus. F¨ur geladene Teilchen im Magnetfeld erh¨alt man also eine Quantelung der Energie wie beim harmonischen Oszillator.

- HAUSAUFGABEN -

H 7.1 Allgemeines zum periodischen Potential

V(x+a) =V(x), (7)

und die Schr¨odingergleichung

−~²

2m∂_x²ψ(x) +V(x+a)ψ(x) =Eψ(x). (8) In dieser Aufgabe wollen wir folgende Aussage beweisen:

Zu diesem Potential existieren zu jeder Energie zwei L¨osungen der Schr¨odingergleichung mit

ψ(x+a) =λψ(x). (9)

a) Seien ψ1(x) und ψ2(x) zwei linear unabh¨angige L¨osungen der Schr¨odingergleichung (8).

Begr¨unden Sie, warum

ψ₁(x+a) =C₁₁ψ₁(x) +C₁₂ψ₂(x)

ψ₂(x+a) =C₂₁ψ₁(x) +C₂₂ψ₂(x) (10) gilt. (1 Punkt)

Durch geeignete Wahl von ψ1(x) und ψ2(x) l¨asst sich die MatrixC_ik diagonalisieren, also

ψ(x) =Aψ₁(x) +Bψ₂(x). (11)

b) Folgern Sie mit Hilfe von (10) und (11) eine Gleichung f¨ur ψ(x+a) in Abh¨angigkeit von ψ1(x) und ψ2(x). (1 Punkt)

c) Welche Bedingungen m¨ussen f¨ur A, B und die C_ik gelten, damit die in b) gefundene Gle- ichung zu Gleichung (9) wird? (1 Punkt)

d) Das gefundene Gleichungssystem hat genau dann eine L¨osung, wenn seine Determinante verschwindet. Wie sieht die resultierende Gleichung f¨ur λaus? Wie sehen die L¨osungen f¨urλ aus und was folgt daraus f¨ur die Anzahl der L¨osungen der Schr¨odingergleichung? (2 Punkte) e) Berechnen Sie λ₁λ₂. (1 Punkt)

Die Wronski-Determinante ist definiert als

D(x) =ψ₁(x)ψ₂⁰(x)−ψ₂(x)ψ⁰₁(x). (12) f) Folgern Sie, dassD(x) konstant sein muss und daraus, dass

λ1λ2 = 1 (13)

gelten muss. (2 Punkte)

Hinweis: Eine konstante Funktion ist trivialerweise periodisch.

g) Warum haben nur die L¨osungen mit |λ| = 1 physikalische Bedeutung? Wie m¨ussen die λ_i demnach aussehen? (1 Punkt)

Hinweis: Sie kennen bereits eine (komplexwertige) Funktion, deren Betrag 1 ist.

h) Wie l¨asst sich der Parameter der Funktion in g) auf ein Intervall beschr¨anken? Geben Sie es an. Dieses Intervall nennt man Brillouinzone. (1 Punkt)

Daher erf¨ullt die vollst¨andige, physikalisch sinnvolle L¨osung ψ(x) f¨ur das Potential (7) die Bedingung

ψ(x+na) =e^inKaψ(x), (14)

die nur erf¨ullt werden kann, wenn

ψ(x) =e^iKxuk(x), uk(x+a) =uk(x), (15) mitn∈Z, diese Funktionen nennt manBlochfunktionen mitK, den Ausbreitungsvektoren.

Dies ist in der Festk¨operphysik unter dem Namen Bloch’sches Theorem bekannt.

H 7.2 Teilchen im periodischen Potential

Wir betrachten das aus der Vorlesung bekannteKronig-Penney-Modell mit dem Potential V(x) = ~²

mΩX

n∈Z

δ(x+na), V₀ >0. (16) Nach dem Bloch’schen Theorem lautet die Wellenfunktion

ψ(x) =e^iκxuk(x) =Ae^iκx+Be^−iκx, f¨ur 0≤x≤a, (17) mitκ² = ^2mE

~² .

a) Wie lautetψ(x) im n¨achsten Intervall a≤x≤2a? (1 Punkt)

b) Wie lauten die Randbedingungen an der Stellex=af¨urψ(x) und ψ⁰(x)? Was folgt daraus f¨ur ein Gleichungssystem? (2 Punkte)

Hinweis: Sie m¨ussen Gl. (17) und die Gl. aus a) miteinander in Verbindung setzen.

Anmerkung: Man k¨onnte an dieser Stelle auch ^ψ_ψ⁰ betrachten, wodurch sich die Randbedingun- gen zu einer vereinfachen w¨urden. Diesem Ansatz folgen wir hier nicht.

c) Die Gleichungen in b) bilden ein homogenes, lineares Gleichungssystem. Finden Sie eine L¨osung, indem Sie fordern, dass die Determinante verschwindet und folgern Sie

cos(Ka) = cos(κa) +Ω

κ sin(κa), (18)

wobeiK zu der Wellenfunktion im Intervalla≤x≤2ageh¨ort. (2 Punkte) d) Welche Grenzwerte f¨ur die erlaubten Energieb¨ander gibt es? (1 Punkt) Hinweis: Der Kosinus ist beschr¨ankt und die Energie E ist ¨uberκ gegeben.

e) Folgern Sie f¨ur den positiven Grenzwert die Grenz-Gleichung von (18). (1 Punkt) Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass f¨ur

κa= 2nπ−, κa= 2nπ+ 2ξ+, (19)

der Betrag |cos(Ka)|<1, mit >0 und tanξ= Ω/κ.

F¨ur den anderen Grenzwert ergibt sich das Gleiche nur mit anderem Vorzeichen.

f) Wo liegen also Ober- und Unterkanten der erlaubten Energieb¨ander f¨ur den Fall in e)?

(1 Punkt)

g) Erkl¨aren Sie, warum Ober- und Unterkanten f¨ur den negativen Grenzwert im Vergleich zum positiven um −π bzw. +π verschoben sind. (1 Punkt)

h) Skizzieren Sie nun schematisch Gleichung (18) des Kronig-Penney-Potentials, wobei Sie die erlaubten Bereiche entsprechend markieren. (1 Punkt)

Zusatzaufgabe H* 7.3 Drehimpulsoperatoren

Die Drehimpulsoperatoren Lˆ_k sind durch Lˆ_k=

3

X

l,m=1

ε_klmxˆ_lpˆ_m =:ε_klmxˆ_lpˆ_m (Summenkonvention) , k= 1,2,3 erkl¨art, wobeiεklm das Levi-Civita-Symbol ist. Hierbei ist

ε_klm =







+1, falls (k, l, m) eine gerade Permutation von (1,2,3),

−1, falls (k, l, m) eine ungerade Permutation von (1,2,3), 0, sonst.

a) Beweisen Sie die folgenden Relationen (5 Punkte)

[ ˆLi,xˆj] =i~ijkxˆk , [ ˆLi,pˆj] =i~ijkpˆk , [ ˆLi,xˆ²] = [ ˆLi,pˆ²] = 0. b) Berechnen Sie [ ˆL_k,Lˆ_l] und [ ˆL_j,Lˆ²], wobei ˆL²:=P3

j=1Lˆ²_j. (5 Punkte) Hinweis: εklmεijm =δkiδlj−δkjδli .