x mod p` =a`Q`P` mod p`, da p` Teiler von Pk f¨urk 6=` Definition einer zuP` inversen Zahl Q` modulop`:Q`P`= 1 mod p

Chinesischer Restsatz

F¨ur teilerfremde nat¨urliche Zahlen p1, . . . ,pn besitzen die Kongruenzen x = a₁ mod p₁

. . .

x = a_n modp_n genau eine L¨osungx ∈ {0, . . . ,P−1},P =p1· · ·pn.

Bezeichnet Qk eine zuPk =P/pk inverse ganze Zahl modulopk, d.h. ist Q_kP_k = 1 modp_k,

so gilt

x =

n

X

k=1

a_kQ_kP_k mod P.

Beweis (i) Existenz:

Darstellung

x =

n

X

k=1

akQkPk modP

=⇒

x mod p_{`</sub> =a<sub>`}Q_{`</sub>P<sub>`} mod p_{`</sub>, da p<sub>`} Teiler von P_k f¨urk 6=`

Definition einer zuP_{`</sub> inversen Zahl Q<sub>`} modulop_{`</sub>:Q<sub>`}P_{`</sub>= 1 mod p<sub>`}

=⇒

x=a_{`</sub>·1 modp<sub>`}=a_{`</sub> modp<sub>`}

(ii) Eindeutigkeit:

zu zeigen:

x=x⁰ mod pkf¨urk = 1, . . . ,n =⇒ x−x⁰=mP sukzessives Betrachten der Kongruenzen

x =x⁰ modp1 =⇒

x−x⁰ =m₁p₁ x =x⁰ modp₂ =⇒

m1p1 = 0 modp2 ⇐⇒ m1p1 =sp2

p1,p2 teilerfremd =⇒ p2 teilt m1, d.h.

m₁ =m₂p₂, x−x⁰ =m₂p₁p₂ weitere Kongruenzen

x−x⁰=m3p1p2p3, . . . , x−x⁰ =mnp1· · ·pn

Beispiel

Bestimmung einer L¨osungx der Kongruenzen x = 6 mod 9 x = 5 mod 10 x = 4 mod 13

Chinesischer Restsatz =⇒

x = 6Q1P1 + 5Q2P2 + 4Q3P3 mod P, P = 9·10·13 = 1170 mit

P1= 10·13 = 130, P2= 9·13 = 117, P3 = 9·10 = 90 und Q_k der zuP_k inversen nat¨urlichen Zahl modulop_k, d.h.

QkPk +ypk = 1

Bestimmung der Modulo-Inversen Q₁:

130 = 14·9 + 4 9 = 2·4 + 1 R¨uckw¨artseinsetzen

1 = 9−2·4

= 9−2·(130−14·9) = 29·9 + (−2)130

=⇒ Q₁ = (−2) mod 9 = 7 Q2:

117 = 11·10 + 7 10 = 1·7 + 3

7 = 2·3 + 1 R¨uckw¨artseinsetzen

1 = 7−2·3

= 7−2·(10−1·7) = 3·7−2·10

= 3·(117−11·10)−2·10 = 3·117−35·10

=⇒ Q₂ = 3 mod 10 = 3

Q3:

90 = 6·13 + 12 13 = 1·12 + 1 R¨uckw¨artseinsetzen

1 = 13−1·12

= 13−1·(90−6·13) = 7·13 + (−1)·90

=⇒ Q3 = (−1) mod 13 = 12 Einsetzen in die Darstellung der L¨osung

x = 6Q₁P₂+ 5Q₂P₂+ 4Q₃P₃ mod 1170

= 6·7·130 + 5·3·117 + 4·12·90 mod 1170

= 11535 mod 1170 = 1005