L¨ohr/Winter Wintersemester 2015/16
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 6¨
Normalverteilung & Zentraler Grenzwertsatz
Aufgabe 6.1. (4 Punkte)
Sei Xstandardnormalverteilt und Xn Poisson verteilt mit Parametern. Zeige, dass die stan- dardisierten Xn in Verteilung gegen X konvergieren, also
Xn−n
√n
n→∞=⇒ X.
Hinweis:Verwende den zentralen Grenzwertsatz, oder alternativ Aufgabe 1.1
Aufgabe 6.2 (Stabilit¨atscharakterisierung der Normalverteilung). (4 Punkte) Seien X, Y unabh¨angig und identisch verteilte, quadratintegrierbare R-wertige Zufallsvaria- blen mit
L
X+Y
√2
= L(X).
Hierbei ist wie immerLdie Verteilung (engl. ,,law”) einer Zufallsvariablen, also L(X) =PX. (a) Zeige, dassX zentriert ist, alsoE(X) = 0.
(b) Zeige, dass X normalverteilt ist (mit beliebiger Varianz).
Hinweis: Verwende den zentralen Grenzwertsatz.
Aufgabe 6.3. (4 Punkte)
Sei (Xn)n∈N eine Folge R-wertiger, unabh¨angiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit E(X1) = 0 und Var(X1) = 1. Zeige f¨ur Sn:=Pn
k=1Xk: lim sup
n→∞
Sn
√n = ∞ f.s.
Hinweis: Verwende den zentralen Grenzwertsatz und das Kolmogoroff ’sche 0-1-Gesetz.
Bitte wenden!
Aufgabe 6.4 (ZGS f¨ur nicht identisch verteilte Zufallsvariablen). (4 Punkte) Sei (Xn)n∈N eine Folge unabh¨angiger Zufallsvariablen mit
P {Xn= 1}
= P {Xn=−1}
= 21n, P {Xn= 0}
= 1−n1. Finde eine Folge (an)n∈N reeller Zahlen, so dass
Sn∗ := X1+· · ·+Xn
an
in Verteilung gegen eine standard normalverteilte Zufallsvariable konvergiert.
Abgabe Mi, 02.12. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 24.11.gibt Stefan H¨afner (University of Duisburg-Essen) einen Vortrag ¨uber Higher oder variance reduction for discretised diffusions via regression
Am 01.12.gibt Alexey Muravlev (Steklov Mathematical Institute, Moscow) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Di, 16:15 – 17:15in WSC-S-U-3.03
