Mathematik 1 für E u. M u. I, WS 2010/11, Prüfungsklausur vom 8.1.2011 Wiebe
Teil B Lösungsblätter für Teil A und Teil B bitte getrennt abgeben !!!
- - - Die Hinweise zum Teil A gelten auch für den Teil B - - -
B1
Gegeben: Matrix M = , Vektor a→ =
a) Gesucht ist die Determinante von M: det(M)
b) Verändern Sie M durch Anwendung einer Linearkombination so, dass die Determinante unverändert bleibt.
c) Gesucht ist der Vektor b→ = M· a→ mit Hilfe des Falkschen Schemas ! d) Sind die folgenden Aussagen formal korrekt (definiert):
JA NEIN
O O det( a→ ) = 1
O O 2· a→ = a→ + a→ [10]
B2 Gegeben: drei Vektoren nach der Abbildung:
a) Warum kann der Vektor c→ mit Sicherheit durch eine Linearkombination
c→ = ka a→ + kb b→ dargestellt werden ?
b.1) Geben Sie die Vektoren b→ und c→→ an (Koordinaten aus Abbildg. nehmen)
und berechnen Sie das Kreuz- produkt k = b→ × c→.
b.2) Wie kann der Betrag |k| des Kreuzproduktes graphisch gedeutet werden?
Ergänzen Sie die Abbildung entsprechend !
c) Gesucht ist die Komponente b→ a des Vektors b→ in Richtung von a→. Geben Sie eine geeignete Konstruktion in der Abbildung an und lesen Sie den Betrag | b→ a | der Komponente b→ a ab !
[12]
2 1
−
2 1
1 2
−
B3
Gegeben: Vektoren a→ = , b→ =
a) Gesucht: der Betrag des Vektors a→
b) Weisen Sie mit Hilfe der Linearkombination b→ = k · a→ nach, dass die Vektoren a→ und b→ nicht kollinear sind.
c) Untersuchen Sie mit dem Skalarprodukt, ob die Vektoren a→ und b→ zueinander senkrecht stehen.
d.1) Ein dritter Vektor c→ werde durch das Kreuzprodukt c→ = a→ × b→ gebildet.
Welche Beziehung hat die Richtung von c→ zu a→ und b→ ?
d.2) Warum kann das Spatprodukt [ a→ b→ c→ ] nicht null sein ? [13]
B4 Gegeben:
komplexe Zahlen z1 und z2 durch graphische Darstellung:
Gesucht:
a) z1 in kartesischen
Koordinaten (Real-/Imaginärteil) und in Exponentialform
b) Differenz z1 - z2 ,
Rechnung und grafische Kon- struktion
c) Produkt z1 · z2 ,
Rechnung mit Exponentialform
d) √ z2 , Haupt- und Nebenwert [15]
Zusatzaufgabe:
e) Gesucht: eine Zahl z3 mit dem Winkel ϕ3 = 30°, so dass die Summe zS = z1 + z3 eine rein ima- ginäre Zahl wird. Wie groß ist der Betrag von z3 ? Konstruktion nur auf graphischem Wege ! [4]
1 2
2
−
−
4 4 2
−
