Mathematik 1 f€r E M, WS 2012, Pr€fungsklausur vom 12.1.2013 Wiebe
Teil B LÄsungsblÅtter fÇr Teil A und Teil B bitte getrennt abgeben !!!
- - - Die Hinweise zum Teil A gelten auch fÄr den Teil B - - -
B1 Gegeben:
Vektoren a→= , b→= , c→= , d→= , e→= , f→=
Welche der folgenden Rechenoperationen sind definiert (erlaubt) ?
Hinweis: Richtige Antworten werden mit 1P., falsche mit -1P. gewertet. Punktzahl mindestens 0.
[8]
B2
Gegeben: Vektoren a→=
,
b→=a.1) Tragen Sie die beiden Vektoren in ein x-y-Koordinatensystem ein! MaÄstab:1 Einheit 1cm.
a.2) Tragen Sie in das Bild die Komponente (Projektion) a→b des Vektors a→in Richtung von b→ein und mes- sen Sie deren L‚nge ab!
b) Welchen Winkel schlieƒen die Vektoren aund b ein?
Hinweis:die Tabelle der Winkelfunktionen kann benutzt werden. [12]
c/Zusatz: Die Komponente a→b nach a.2) ist als Vektor durch Rechnung zu bestimmen. [+4]
B3
Gegeben: Vektoren a= , b = , c =
a) Warum ist das Kreuzprodukt a„ b nicht als Linearkombination von aund b darstellbar?
b) Behauptung: cist als Linearkombination x1a+ x2b = c darstellbar.
Zeigen Sie mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems, dass die Behauptung stimmt, und bestimmen Sie die L…sungen f€r x1und x2mit dem Gauƒschen Algorithmus! [11]
B4 Die komplexe Zahl z1= - 6 + i†8 soll mit einer zweiten Zahl z2multipliziert werden, so dass das Pro- dukt z3= z1† z2eine rein reelle Zahl ist, die den halben Betrag von z1hat.
Gesucht sind die Zahlen z2und z3. Achtung:Es gibt nicht nur eine L…sung.
a) Graphische Teill…sung: Tragen Sie die komplexen Zahlen z1und z3(alle, die m…glich sind) in die Komplexe Zahlenebene ein. Ermitteln Sie jeweils den Winkel von z2mit dem Winkelmesser!
b) Wandeln Sie z1in die Exponentialform um! (Tabelle der Winkelfunktionen benutzen. Ergebnis mit der Zeichnung vergleichen!)
c) L…sung durch Rechnung: Gesucht sind z2und z3in der Exponentialform.
Der L…sungsweg ist freigestellt, soll aber exakt und l€ckenlos angegeben werden. [19]
2 4 4
3 4 5
1 2 3
c c c
1 2 3
d d d
1 2
a a
1 2
b b
1 2 3 4
e e e e
1 2 3 4
f f f f
Operation
| a
|
2 a „ b
a
/ b
c
„d
(c
†d
)
„d
e
+f
e
†f
e
„f
JA NEIN
2 2 3
8 6
4 3
0‡ 0 0 1 30‡ 0.5774 0.5 0.866 60‡ 1.7321 0.866 0.5 1‡ 0.0175 0.0175 0.9998 31‡ 0.6009 0.515 0.8572 61‡ 1.804 0.8746 0.4848 2‡ 0.0349 0.0349 0.9994 32‡ 0.6249 0.5299 0.848 62‡ 1.8807 0.8829 0.4695 3‡ 0.0524 0.0523 0.9986 33‡ 0.6494 0.5446 0.8387 63‡ 1.9626 0.891 0.454 4‡ 0.0699 0.0698 0.9976 34‡ 0.6745 0.5592 0.829 64‡ 2.0503 0.8988 0.4384 5‡ 0.0875 0.0872 0.9962 35‡ 0.7002 0.5736 0.8192 65‡ 2.1445 0.9063 0.4226 6‡ 0.1051 0.1045 0.9945 36‡ 0.7265 0.5878 0.809 66‡ 2.246 0.9135 0.4067 7‡ 0.1228 0.1219 0.9925 37‡ 0.7536 0.6018 0.7986 67‡ 2.3559 0.9205 0.3907 8‡ 0.1405 0.1392 0.9903 38‡ 0.7813 0.6157 0.788 68‡ 2.4751 0.9272 0.3746 9‡ 0.1584 0.1564 0.9877 39‡ 0.8098 0.6293 0.7771 69‡ 2.6051 0.9336 0.3584 10‡ 0.1763 0.1736 0.9848 40‡ 0.8391 0.6428 0.766 70‡ 2.7475 0.9397 0.342 11‡ 0.1944 0.1908 0.9816 41‡ 0.8693 0.6561 0.7547 71‡ 2.9042 0.9455 0.3256 12‡ 0.2126 0.2079 0.9781 42‡ 0.9004 0.6691 0.7431 72‡ 3.0777 0.9511 0.309 13‡ 0.2309 0.225 0.9744 43‡ 0.9325 0.682 0.7314 73‡ 3.2709 0.9563 0.2924 14‡ 0.2493 0.2419 0.9703 44‡ 0.9657 0.6947 0.7193 74‡ 3.4874 0.9613 0.2756 15‡ 0.2679 0.2588 0.9659 45‡ 1 0.7071 0.7071 75‡ 3.7321 0.9659 0.2588 16‡ 0.2867 0.2756 0.9613 46‡ 1.0355 0.7193 0.6947 76‡ 4.0108 0.9703 0.2419 17‡ 0.3057 0.2924 0.9563 47‡ 1.0724 0.7314 0.682 77‡ 4.3315 0.9744 0.225 18‡ 0.3249 0.309 0.9511 48‡ 1.1106 0.7431 0.6691 78‡ 4.7046 0.9781 0.2079 19‡ 0.3443 0.3256 0.9455 49‡ 1.1504 0.7547 0.6561 79‡ 5.1446 0.9816 0.1908 20‡ 0.364 0.342 0.9397 50‡ 1.1918 0.766 0.6428 80‡ 5.6713 0.9848 0.1736 21‡ 0.3839 0.3584 0.9336 51‡ 1.2349 0.7771 0.6293 81‡ 6.3138 0.9877 0.1564 22‡ 0.404 0.3746 0.9272 52‡ 1.2799 0.788 0.6157 82‡ 7.1154 0.9903 0.1392 23‡ 0.4245 0.3907 0.9205 53‡ 1.327 0.7986 0.6018 83‡ 8.1443 0.9925 0.1219 24‡ 0.4452 0.4067 0.9135 54‡ 1.3764 0.809 0.5878 84‡ 9.5144 0.9945 0.1045 25‡ 0.4663 0.4226 0.9063 55‡ 1.4281 0.8192 0.5736 85‡ 11.4301 0.9962 0.0872 26‡ 0.4877 0.4384 0.8988 56‡ 1.4826 0.829 0.5592 86‡ 14.3007 0.9976 0.0698 27‡ 0.5095 0.454 0.891 57‡ 1.5399 0.8387 0.5446 87‡ 19.0811 0.9986 0.0523 28‡ 0.5317 0.4695 0.8829 58‡ 1.6003 0.848 0.5299 88‡ 28.6363 0.9994 0.0349
