Mathematik 1, Teil B

Mathematik 1, Teil B

Inhalt:

1.) Grundbegriffe der Mengenlehre 2.) Matrizen, Determinanten

3.) Vektoren, Rechenregeln 4.) Komplexe Zahlen

5.) Lineare Gleichungssysteme

6.) Vektoren, Anwendungen in der Geometrie 1. Grundbegriffe der Mengenlehre

2.

3.

4.

5-2

5. Lineare Gleichungssysteme 5.e Einführung

Geradengleichungen in der Ebene

Beispiel: gegeben seien zwei Gleichungen Gl.1: y = x

Gl.2: y = - ½ x +6

Bilden von Linearkombinationen:

erlaubt sind

a) Multipizieren von keiner, von einer oder von beiden Gleichungen mit einem (jew. eigenen) Faktor b) Addieren oder Subtrahieren der

(veränderten) Gleichungen 1. Linearkombination - ohne Faktor Gl.3 aus Gl.1 - Gl.2 0 = 1,5x - 6

also: x = 4 2. Linearkombination

Gl.2a aus Gl.2*2: 2y = -x+12 Gl.4 aus Gl.1+Gl.2a 3y = 12

also: y = 4 3. Linearkombination

Gl.5 aus Gl.2a-Gl.1 y = -2x+12

Ergebnis: Alle Geraden aus Linearkombinationen schneiden sich im selben Punkt wie die originalen Geraden, sie haben alle ein und den selben Punkt gemeinsam.

Zum Vergleich: eine Gerade die keine Linearkombination von Gl.1 und 2 ist:

Gl.6: y = x+1

Ergebnis: Mit allen anderen Geraden gibt es einen neuen Schnittpunkt. Aber es gibt keinen gemein- samen Punkt mehr mit allen anderen Geraden.

Standardform eines Linearen Gleichungssystems

Neue Bezeichnung der Variablen: x₁ statt x und x₂ statt y Gl.1: x₂ = x₁

Gl.2: x₂ = - ½ x₁ +6

+ Umordnen, so dass die Variablen links und die Konstanten rechts vom Gleichheitszeichen stehen:

Gl.1: -x₁ + x₂ = 0 Gl.2: ½ x₁ + x₂ = 6

Diese Form ist die gewöhnliche Form eines Linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen (den Unbekannten) und zwei Gleichungen.

Zusammenhang mit den Schnittpunkten der Geraden

a) Zwei Geraden haben im Allgemeinen einen und nur einen Schnittpunkt (es gibt eine Ausnahme: wenn die Geraden ...)

Für das Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten heißt das:

es hat eine einzige ganz bestimmte Lösung für die Unbekannten.

b) Alle Linearkombinationen der beiden originalen Geraden haben den selben Schnittpunkt.

Für das Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten heißt das:

es kann durch eine Linearkombination ergänzt werden, so dass ein System mit 2 Unbekannten und 3 Gleichungen oder 4 Gleichungen oder mehr Gleichungen entsteht. Dieses hat immer noch die selbe Lösung für die beiden Unbekannten.

c) Eine neue unabhängige Gerade hat keinen gemeinsamen Punkt mit den originalen Geraden.

Für das Gleichungssystem heißt das:

es gibt ein System mit 2 Unbekannten und 3 Gleichungen ohne eine Lösung für die Unbekannten.

Achtung: Ein Gleichungssystem hat nur dann eine Lösung, wenn damit alle Gleichungen des Systems erfüllt sind !

5-4 Anwendungsbeispiel: Kräfte auf ein stehendes Auto

Gegeben: die Gewichtskraft G = 10000N

die Abstände 2m und 1,5m zum Schwerpunkt Es gilt: die Summe der Kräfte ist null.

Gleichung 1: F₁ + F₂ = G

Es gilt: die Summe der Drehmomente ist null.

Gleichung 2: F₁·2m - F₂·1,5m = 0 Drehmomente bezogen auf den Schwerpunkt Lösungsweg für F₁ und F₂:

Gl.1*1,5m ergibt Gl.1a F₁·1,5m + F₂·1,5m = G·1,5m Gl.1a+Gl.2 ergibt Gl.3 F₁·3,5m = G·1,5m

=> F₁ = 10000N·1,5/3,5 F₁ = 4286N

Einsetzen in Gl.1 ergibt 4286N + F₂ = 10000N

=> F₂ = 5714N

5.1 Definition des Linearen Gleichungssystems

Ein System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten x₁, x₂, ... x_n in der Form a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... + a_1n x_n = c₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ... + a_2n x_n = c₂

M M M M a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + ... + a_mn x_n = c_m

heißt „Lineares Gleichungssysstem“. Alle Unbekannten x₁, x₂, ... x_n treten nur unmittelbar und mit dem Exponenten 1 auf ( siehe Geradengleichung ).

Kurzform in Matrizendarstellung:

A·x = c

 a₁₁ a₁₂ ... a_1n 

mit A =





 M M M 

 a_m1 a_m2 ... a_mn 

x = , c = : Spaltenvektoren

Für c = 0 heißt das System „homogen“, für c ≠ 0 heißt es inhomogen“.

Die Anzahl der Gleichungen ist häufig gleich der Anzahl der Unbekannten, sie kann aber auch kleiner oder größer sein.

1 2

m

x x x

 

 

 

 

 

 

M

1 2

m

c c c

  

  

   M

5-6

5.2 Lösungsverfahren nach Gauß

Mit Hilfe einer der Gleichungen wird eine Unbekannte aus den restlichen Gleichungen entfernt.

Es entsteht ein (Unter-)System mit m-1 Gleichungen und n-1 Unbekannten. Dieser Schritt wird mit den jeweils restlichen Gleichungen ( Untersystem ) so oft wiederholt, bis ein sog. gestaffeltes Gleichungssys- tem entstanden ist.

das Gleichungssystem nach dem 1. Schritt in vereinfachter Darstellung:

a₁₁ a₁₂ ... a_1n c₁ Der Exponent ⁽¹⁾ gibt an, daß der zugehörige Wert 0 a₂₂⁽¹⁾ ... a_2n⁽¹⁾ c₂⁽¹⁾ nicht mehr der ursprüngliche ist, der Gaußschritt

M M M

0 a_m2⁽¹⁾ ... a_mn⁽¹⁾ c_m⁽¹⁾

Für die Kombinationen der Gleichungen, um Nullen in der ersten Spalte zu erzeugen, gelten die Rechen- regeln für Determinanten. Im Unterschied zu Determinanten ist hier die Multiplikation von Zeilen mit irgendwelchen Faktoren ohne Bedeutung, da die Aussage der Zeile ( Gleichung ) nicht verändert wird.

das gestaffelte Gleichungssystem nach maximal r Gauß-Schritten:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ ... a_1,r+1 ... a_1n c₁ 0 a₂₂⁽¹⁾ a₂₃⁽¹⁾ ... a_2,r+1⁽¹⁾ ... a_2n⁽¹⁾ c₂⁽¹⁾ 0 0 a₃₃⁽²⁾ ... a_3,r+1⁽²⁾ ... a_3n⁽²⁾ c₃⁽²⁾

M M M M M M

0 0 ... a_r,r^(r-1) a_r,r+1^(r-1) ... a_rn^(r-1) c_r^(r-1) Zeile Nr. r 0 0 ... 0 0 ... 0 c_r+1^(r)

M M M M M M M

0 0 ... 0 0 ... 0 c_m^(r)

5.2.2 Lösungsverhalten

1. Fall ) Das System ist unlösbar, wenn eine der Zahlen c_r+1^(r), ... c_m^(r) ungleich null ist.

2. Fall ) Das System ist lösbar, wenn gilt: c_r+1^(r) = c_r+2^(r) = ... = c_m^(r) = 0 . 2a) r = n : Die Lösung ist eindeutig.

2b) r < n : Die Lösung ist unbestimmt, n-r Unbekannte sind als Parameter frei wählbar, die übrigen Unbekannten sind von ihnen abhängig.

Homogene Gleichungssysteme haben mindestens immer die triviale Lösung x₁= x₂= ... = x_n= 0.

5.2.3 Beispiele

(1) x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 2 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 3 3x₁ + 4x₂ + x₃ = 4

Im folgenden werden die Rechenzeichen und die Variablen weggelassen, um Schreibarbeit zu sparen.

Jede Zeile entspricht einer Gleichung.

1. Schritt:

durchgeführte Aktion:

1 2 3 2 - - -

0 -1 -2 -1 2.Zeile - 2*1.Zeile 0 -2 -8 -2 3.Zeile - 3*1.Zeile 2. Schritt:

durchgeführte Aktion:

1 2 3 2 - - - 0 -1 -2 -1 - - -

0 0 -4 0 3.Zeile - 2*2.Zeile

Weitere Umformungen sind nicht nötig, es ist eine Gleichung mit einer Unbekannten entstanden, eine Gleichung mit zwei Unbekannten und die erste Gleichung ist unverändert mit drei Unbekannten.

An diesem Beispiel zeigt sich schon eine Eigenschaft des Gauß-Verfahrens:

Je weiter es fortschreitet, umso geringer wird der Aufwand, weil immer mehr Zeilen unverändert bleiben.

Lösungsverhalten:

Die Zeile Nr. 3 hat mit a₃₃⁽²⁾= -4 (mindestens) einen Koeffizienten ungleich null, r = 3.

Eine Zeile r+1 = 4, in der alle Koeffizienten gleich null sind, gibt es nicht.

Das System ist daher lösbar.

Die Zahl der Unbekannten ist n = 3, es gilt also r = n.

Das System hat daher eine bestimmte Lösung.

aus Gl.(3): -4x₃ = 0 folgt x₃ = 0

aus Gl.(2): -x₂ -2x₃ = -1 folgt -x₂ - 0 = -1, x₂ = 1

5-8 (2) x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 2

2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 3 x₁ + x₂ + x₃ = 1

Im folgenden werden die Rechenzeichen und die Variablen weggelassen, um Schreibarbeit zu sparen.

Jede Zeile entspricht einer Gleichung.

1. Schritt:

durchgeführte Aktion:

1 2 3 2 - - -

0 -1 -2 -1 2.Zeile - 2*1.Zeile 0 -1 -2 -1 3.Zeile - 1.Zeile 2. Schritt:

durchgeführte Aktion:

1 2 3 2 - - - 0 -1 -2 -1 - - -

0 0 0 0 3.Zeile - 2.Zeile

Weitere Umformungen sind nicht sinnvoll, eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ist nicht zu errei- chen. Es ist eine Gleichung mit Koeffizienten, die alle null sind, entstanden, außerdem eine Gleichung mit zwei Unbekannten und die erste Gleichung ist unverändert mit drei Unbekannten.

Lösungsverhalten:

Die Zeile Nr. 2 enthält Koeffizienten ungleich null, r = 2.

Die Zeile Nr. 3, in der alle Koeffizienten gleich null sind, enthält keinen Widerspruch, das System ist daher lösbar.

Die Zeile Nr. 2 hat mit a₂₂⁽¹⁾= -1 und a₂₃⁽¹⁾= -2zwei Koeffizienten ungleich null und es gilt: r < n.

Das System hat daher eine unbestimmte Lösung ( n-r = 1 => 1fach unbestimmte L.):

z.B. kann x₃ als freier Parameter gewählt werden. Aus den Gln. 1 und 2 können x₁ und x₂ als Funktion von x₃ bestimmt werden.

aus Gl.(2): -x₂ -2x₃ = -1 folgt x₂ = 1 - 2x₃ aus Gl.(1): x₁ + 2 ( 1 - 2x₃ ) + 3x₃ = 2 folgt x₁ = x₃

(3) x₁ - 2x₂ = -2 -x₁ + 3x₂ = 5 2x₁ - 4x₂ = -3

Im folgenden werden die Rechenzeichen und die Variablen weggelassen, um Schreibarbeit zu sparen.

Jede Zeile entspricht einer Gleichung.

1. Schritt:

durchgeführte Aktion:

1 -2 -2 - - -

0 1 3 2.Zeile + 1.Zeile 0 0 1 3.Zeile - 2*1.Zeile

Eine weitere Umformung ist nicht sinnvoll. Die dritte Zeile enthält nur Koeffizienten, die null sind, r = 2.

Weil die Konstante c₃⁽¹⁾ = 1 nicht null ist, ist dies ein Widerspruch, d.h. das System ist nicht lösbar ! Anmerkung: Ein Gleichungssystem gilt immer als Ganzes. Alle Gleichungen müssen erfüllt sein.

Z.B. darf man bei einem System mit drei Gleichungen nicht eine Lösung für nur zwei Gleichungen bestimmen, indem man die dritte Gleichung gar nicht berücksichtigt.

(4) -x₁ + 2x₂ = 1 2x₁ - 3x₂ = 0 x₁ - 3x₂ = -3

Im folgenden werden die Rechenzeichen und die Variablen weggelassen, um Schreibarbeit zu sparen.

Jede Zeile entspricht einer Gleichung.

1. Schritt:

durchgeführte Aktion:

-1 2 1 - - -

0 1 2 2.Zeile + 2*1.Zeile 0 -1 -2 3.Zeile + 1.Zeile 2. Schritt:

durchgeführte Aktion:

-1 2 1 - - -