Erg¨anzungen zu Physik II Die Poisson’sche Differentialgleichung
Die Poisson’sche Differentialgleichung
Um zur Poisson’schen Differentialgleichung zu gelangen, m¨ussen wir zun¨achst etwas vorgreifen und die erste Maxwell-Gleichung herleiten:
Die 1. Maxwell-Gleichung
Diese Gleichung ist im Wesentlichen die differentiellen Form des Gauss’schen Satzes1,H Ed ~~ A=qein/0, wobei neu eine kontinuierliche Ladungsverteilung der Dichteρ(~r) betrachtet wird. Sei Adie Oberfl¨ache eines Volumenelementesdτ =dx·dy·dz, welches die LadungdQ=ρ·dτ enth¨alt. Dann ist der Feldfluss2 dΦ durch die einzelnen Oberfl¨achenelemente dieses W¨urfels gegeben durch:
-x 6
z
1 y
dz
q
(x,y,z)
dx
dy
-Ex(x+dx) Ex(x)
6
Ez(z+dz)
Ez(z)
1
Ey(y)
1
Ey(y+dy) dΦ = [Ex(x+dx)−Ex(x)]dydz+ [Ey(y+dy)−Ey(y)]dzdx +[Ez(z+dz)−Ez(z)]dxdy= ρ
ε◦ dxdydz
Dividieren wir durch das Volumenelement dx dy dz und nehmen den Grenzfalldx,dy,dz→0, so erscheint die partielle Differentialgleichung
∂Ex
∂x +∂Ey
∂y +∂Ez
∂z = ρ
ε◦ ⇐⇒ div ~E=∇ ·E~ = ρ
ε◦ 1. Maxwell-Gleichung. (1) Diese 1. Maxwellsche Gleichung (ohne Medium) formuliert die Tatsache, dassLadungen die Quellen des elektrischen Feldes E~ sind. Eine Analogie hierzu findet man in der Kontinuit¨atsgleichung der Hydro- mechanik: Treten keine Quellen auf, so ist f¨ur eine ideale (inkompressible) Fl¨ussigkeit die Massendichte ρ(~r, t) = konst und damit die Divergenz des Massenstromes∇·(ρ~v) =−∂p∂t = 0 beziehungsweise∇·~v= 0.
Von der Maxwell- zur Poisson-Gleichung
DasE-Feld l¨~ asst sich aus der konservativen Coulomb-Kraft ableiten und kann daher – wie bereits bekannt – mit dem Gradienten des PotentialsV alsE~ =−∇V geschrieben werden. Verkn¨upft man diese Beziehung mit der Maxwell-Gleichung (1), so erh¨alt man (zur Erinnerung: ∆V ist der sogenannte Laplace-Operator)
−∇ ·E~ =∇ · ∇V =∇2V = ∂2V
∂x2 +∂2V
∂y2 +∂2V
∂z2 = ∆V =−ρ
ε◦ – die Poisson-Gleichung. (2) Die Poissongleichung ebenso wie E~ =−∇V stellen differentielle Beziehungen zwischen den Quellenρ(~r) und den von ihnen erzeugten Feldern E(~~ r) bzw. V(~r) dar. Sie sind die fundamentalen Differentialglei- chungen der Elektrostatik und als solche eine direkte Konsequenz des Coulombschen Gesetzes. W¨ahrend die Poissongleichung im Allgemeinen eine inhomogene Potentialgleichung ist, nennt man die zugeh¨orige homogene Gleichung im ladungsfreien Fall, ∆V = 0, meist
”Laplace-Gleichung“.
F¨ur eine vorgegebene Ladungsverteilung kann aus der Poissongleichung im Prinzip das Potential und uber dessen Gradienten sogleich das elektrische Feld berechnet werden. F¨¨ ur kugelsymmetrische Vertei- lungen ρ(~r) =ρ(r) sind die L¨osungen oft einfach – man beachte dabei, dass im Aussenraum immer das reine Coulombfeld V(r)∝1/r herrscht.3 F¨ur nicht kugelsymmetrische Verteilungen entwickelt man das Potential oft nachMomentender Ladungsverteilung. So untersucht man beispielsweise in der Atomphysik Quadrupolmomente und Hexadekapolmomente eines deformierten (nichtkugelsymmetrischen) Atomkerns oder einer nichtkugelsymmetrischen Elektronenh¨ulle (z.B. Quadrupol-Hf-Struktur, NQR).
1Vgl. Halliday, Kap.24-4.
2Vgl. Halliday, Kap.24-3.
3Ein ¨ahnliches Ph¨anomen kennen wir bereits f¨ur den Fall des Gravitationspotentials ausserhalb einer Kugel mit homogener Massenverteilung, vgl. z.B. die Zusammenfassung im Halliday, Ende Kap.14.
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