Mathematik 1, Teil B

Mathematik 1, Teil B

Inhalt:

1.) Grundbegriffe der Mengenlehre 2.) Matrizen, Determinanten

3.) Vektoren, Rechenregeln 4.) Komplexe Zahlen

5.) Lineare Gleichungssysteme

6.) Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik 7.) Vektoren, Anwendungen in der Geometrie 1. Grundbegriffe der Mengenlehre

2.

3.

4.

5.

6.

7. Vektoren in der Geometrie

7.1 Punkte und Vektoren

Punkte und Vektoren sind nicht das selbe, aber Punkte und ihre Verbindungen können durch Vektoren angegeben werden.

Punkte werden durch Koordinaten festgelegt.

Ist A = ( a₁, a₂ ) ein Punkt der Ebene und ist b^→ = ein Vektor, so entsteht der Punkt C = ( a₁+b₁, a₂+b₂ )

durch „Anwendung“ ( Antragen ) von b^→ auf A.

Die Anwendung eines Vektors auf einen Punkt bewirkt ein Verschieben des Punktes.

Insbesondere entsteht A durch Anwendung a^→ b^→ von a^→ = auf den Nullpunkt 0.

a→

heißt dann Ortsvektor des Punktes A. b^→

Ortsvektoren sind sog. Gebundene Vektoren.

|| Für rechnerische Zwecke genügt es, statt der Punkte deren Ortsvektoren zu betrachten. ||

7.2 Abstand zweier Punkte im Raum

Gegeben: zwei Punkte

A = ( a_x, a_y, a_z ) , B = ( b_x, b_y, b_z )

a→

Der Abstand der Punkte ist die Strecke b^→ AB¯¯ = d = | a^→ - b^→| = | b^→- a^→ |

d =

√

1 2

b b

  

 

1 2

a a

  

 

7.3 Fläche eines ebenen n-Ecks im Raum

a) Dreieck

Gegeben: drei Punkte A = ( a_x, a_y, a_z ) , B = ( b_x, b_y, b_z ) , C = ( c_x, c_y, c_z )

F = ½ · | ( b^→- a^→ ) × ( c^→- a^→ ) | a^→ c^→ b^→ F = ½ · | b^→× c^→ - b^→× a^→ - a^→× c^→ + a^→× a^→ |

= 0^→ F = ½ · | a^→ × b^→ + b^→× c^→ + c^→× a^→ |

b) ebenes n-Eck

Gegeben: n Punkte P₁ = ( p_1x, p_1y, p_1z ) P₂ = ( p_2x, p_2y, p_2z )

• • •

P_n = ( p_nx, p_ny, p_nz )

F = ½ · | p^→₁ × p^→₂ + p^→₂ × p^→₃ + ... + p^→_n × p^→₁ |

Beispiel: Fläche eines Dreiecks

Gegeben: Eckpunkte P₁ = ( 1; -1; 2 )cm, P₂ = ( 1; 2; 1 )cm, P₃ = ( -2; 2; 3 )cm Ansatz: F = ½ · | p^→₁ × p^→₂ + p^→₂ × p^→₃ + p^→₃ × p^→₁ |

p^→₁ × p^→₂ = cm² = cm²

p^→₂ × p^→₃ = cm² = cm²

p₃

→ × p^→₁ = cm² = cm²

F = ½ · cm² = ½ · cm² = ½ ·

√

Kontrolle mit anderem Ansatz:

F = ½ · | ( p2

→ - p1

→ ) × ( p3

→ - p1

→ ) | Dieser Ansatz ergibt sich bei Verwendung der Differenzvektoren entsprechend der obigen Darstellung mit F = ½ · | ( b^→- a^→ ) × ( c^→- a^→ ) | .

p^→₂ - p^→₁= cm , p^→₃ - p^→₁= cm

F = ½ · cm² = ½ · cm² , siehe 1. Lösung !

Anmerkung:

Der zweite Ansatz ergibt beim Dreieck deutlich weniger Rechenaufwand ( nur ein Kreuzprodukt statt drei). Erst bei vielen Ecken nähert sich der Rechenaufwand demjenigen des ersten Ansatzes an.

Der Vorteil des ersten Ansatzes liegt in der immer gleichen einfachen Form und damit der einfachen Pro- grammierbarkeit unabhängig von der Anzahl der Ecken.

x y z

e e e

1 1 2

1 2 1

− r r r

x y z

e e e

1 2 1

2 2 3

−

r r r

x y z

e e e

2 2 3

1 1 2

− − r r r

5 1 3

 −

  

 

4 5 6

  −

  

7 7 0

  

  

5 4 7 1 5 7 3 6 0

− + +

 

 − + 

 + + 

 

0 3 1

  

 −

 

3 3 1

 −

  

 

x y z

e e e

0 3 1

3 3 1

− −

r r r

6 3 9

  

   6 3 9

  

  

7.4 Geradengleichung, angegeben durch einen festen Punkt und die Richtung

Gegeben:

t·b^→ A: Punkt auf der Geraden

b^→ b^→: Richtungsvektor

a^→ t: Parameter, t ∈ ¡

p^→(t)

P ist ein beliebiger Punkt der Geraden.

Gleichung der Geraden:

p^→ (t) = a^→ + t·b^→

Beispiel: Gerade in der y-z-Ebene durch einen Punkt auf der z-Achse

Gegeben: A = ( 0, 0, 1 ) , d.h. a^→ = e^→_z b^→

p^→ (t)

→b

=

Geradengleichung: p^→ (t) = + t·

Gesucht sei der Schnittpunkt S der Geraden mit der x-y-Ebene.

Bedingung dafür: p_z (t) = 0

Die Vektorform der Geradengleichung im Raum enthält drei skalare Gleichungen:

x-Komponente von p^→ (t) : px = 0 + t·0 y-Komponente von p^→ (t) : p_y = 0 + t·1 z-Komponente von p^→ (t) : p_z = 1 + t·1

Den Parameterwert t = t_S für den Schnittpunkt S erhält man aus der o.a. Bedingung für die z-Komponente:

pz = 0 = 1 + tS·1 => t_S = -1

Der Schnittpunkt ist damit : S = P(t=tS) = ( 0, -1, 0 )

0 1 1

  

  

0 0 1

  

  

0 1 1

  

  

7.5 Gleichung einer Ebene im Raum

7.5.1 Darstellung durch einen Punkt und einen Normalenvektor

Gegeben:

p^→₀ p^→ P₀ : Punkt in der Ebene

n^→ n^→ : Vektor senkrecht auf der Ebene,

sog. Normalenvektor

P ist ein beliebiger Punkt der Ebene. Der Differenzvektor p^→ - p^→₀ liegt selbst in der Ebene und steht daher immer senkrecht auf dem Normalenvektor n^→ . Daher gilt :

( p^→ - p^→₀ ) · n^→ = 0 Das Skalarprodukt des Normalenvektors mit einem Vektor in der Ebene ist null. Dies stellt eine Bedingung dafür dar, daß ein Punkt P in der Ebene liegt, wenn n^→ und p^→₀ gegeben sind. Die Ebene ist durch die Angaben von n^→ und p^→₀ vollständig festgelegt. Dabei hat der Normalenvektor lediglich die Funktion, die Lage der Ebene im Raum zu fixieren, sein Betrag ist dafür ohne Bedeutung.

Weitere Darstellungsformen, die durch Umwandlungen entstehen:

Setzt man p^→ = , n^→ = und p^→₀ · n^→ = k ,

so ergibt sich aus der Grundform die Koordinatendarstellung der Ebene:

a x + b y + c z = k

Dividiert man die Ebenengleichung durch | n^→ | , so folgt mit = n°^→ und p^→₀· n°^→ = d die Hessesche Normalform :

p→

· n°^→ = d

Dabei ist d der Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung 0.

p^→ - p^→0

x y z

  

  

x y z

n n n

  

  

 

n

| n | rr

7.5.2 Parameterform der Ebenendarstellung,

Ebene festgelegt durch einen Punkt und zwei Richtungsvektoren

c^→

Es sei A ein Punkt der Ebene E und a^→ sein b^→ Ortsvektor, die Vektoren b^→ und c^→ liegen

parallel zu E und seien nicht kollinear.

a^→ Es seien λ und µ zwei Parameter, λ,µ ∈ ¡.

→b

und c^→können durch die Parameter λ und µ p^→ beliebig verlängert oder verkürzt und umgekehrt

werden.

Bildet man durch entsprechende Wahl von λ und µ eine Linearkombination von b^→ und c^→, die auf A angewendet wird, so kann ein beliebiger Punkt P der Ebene E entstehen.

Ist p^→ der Ortsvektor eines Punktes P der Ebene E, so gilt p→

( λ, µ ) = a^→ + λ· b^→ + µ·c^→

Anmerkung: Die Parameterform der Ebenendarstellung ist die Erweiterung der Geradengleichung, um eine Fläche im Raum anzugeben. Allgemein gilt auch für nicht ebene Flächen: zwei Para- meter sind notwendig und hinreichend, um einen beliebigen Punkt einer Fläche anzugeben.

7.5.3 Der Übergang zwischen den Ebenendarstellungen

ist nicht eindeutig.

(a) Parameterform → Normalenform

Gegeben: Ebene E mit p^→ ( λ, µ ) = a^→ + λ· b^→ + µ·c^→ Gesucht ist die Normalenform für E: ( p^→ - p^→₀ ) · n^→ = 0

Für p^→₀ wählt man am einfachsten den Ortsvektor a^→, der Punkt A ist genauso ein fester Punkt von E wie P₀ Für den Punkt A gilt: λ = µ = 0. Grundsätzlich kann aber auch durch beliebige Wahl von λ und µ irgendein anderer Punkt von E für den Punkt P₀ gewählt werden.

Ein Vektor senkrecht zu E ergibt sich durch das Kreuzprodukt n^→ = b^→ × c^→ .

| n^→| kann beliebig sein ( außer null ).

λ·b^→ µ·c^→

(b) Normalenform → Paramterform Gegeben: Ebene E mit ( p^→ - p0

→ ) · n^→ = 0

Gesucht ist die Parameterform für E: p^→ ( λ, µ ) = a^→ + λ· b^→ + µ·c^→

Für den Ortsvektor a^→ wählt man am einfachsten p^→₀ . Einen anderen Punkt von E zu finden, ist nicht so direkt möglich wie in (a).

b^→ und c^→ müssen

- parallel zu E sein, d.h. senkrecht zu n^→ - nicht parallel zu einander

→b

und c^→ können mit Hilfe des Skalarproduktes mit n^→ , woraus sich ein lineares Gleichungssystem ergibt, bestimmt werden.

Beispiel:

E: ( p^→ - p^→₀ ) · n^→ = 0 mit p^→₀ = , n^→ =

Bedingung für b^→: b^→· n^→ = 0

Mit b^→ = folgt: b_x·1 + b_y·1 + b_z·1 = 0

Gewählt: b_z = 0. Daraus folgt: b_x = - b_y , z.B. b_y = 1, b_x = -1.

Bedingung für c^→: c^→· n^→ = 0

Mit c^→ = folgt: c_x·1 + c_y·1 + c_z·1 = 0

Gewählt: cx = 0. Daraus folgt: cy = - cz , z.B. cz = 1, cy = -1

( Anmerkung: Indem für c^→ die Komponente c_x zu null gesetzt wird und nicht c_z, wird verhindert, daß die Vektoren b^→ und c^→ kollinear sind. )

Parameterform für E: p^→ ( λ, µ ) = + λ· + µ·

0 0 2

  

   1 1 1

  

  

x y z

b b b

  

  

 



 

1

b 1

0

 −

= 

   r

x y z

c c c

  

  

 



 

0

c 1

1

  

= − 

  r

0 0 2

  

  

0 1 1

  −

   1

1 0

 −

  

 

7.6 Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene

Gegeben: Gerade G mit p^→_g (t) = a^→ + t·b^→ Ebene E mit p^→_e· n^→ = k

Für den Schnittpunkt von G mit E muß gelten: p^→_g (t_S) = p^→_e Durch Einsetzen von p^→_g (t_S) in die Ebenengleichung ergibt sich:

a^→ · n^→ + t_S · b^→ · n^→ = k

Da die Skalarprodukte a^→ · n^→ und b^→· n^→ jeweils eine reelle Zahl ergeben, ist die obige Gleichung eine Bestimmungsgleichung für tS.

Beispiel:

Gerade gegeben mit a^→ = , b^→= Ebene gegeben mit p^→₀ = n^→ =

Die beiden Skalarprodukte ergeben a^→ n^→ = 0 und b^→ n^→ = 2 Die Konstante k wird: k = p^→₀ · n^→ = 2

Die Bestimmungsgleichung für t_S lautet damit:

0 + t_S · 2 = 2 => t_S = 1

Der Ortsvektor des Schnittpunkts ist p^→_g (t_S) = + 1 · = 0

0 2

  

  

1 1 1

  

 −

 

1 1 0

  

  

0 0 2

  

  

1 1 1

  

 −

  1 1 1

  

  

7.7 Abstand eines Punktes von einer Ebene

Gegeben: Punkt A = ( a_x, a_y, a_z ) Ebene E mit p^→· n^→ = k

Gesucht: Abstand von A zu E, d.h. die geringste Entfernung von A zu E

a^→ p^→₀

Ansatz: Der Abstand d ist die Projektion des Differenzvektors a^→ - p^→₀ auf die Richtung des Normalen- vektors n^→; die Projektion erhält man als die Komponente des Differenzvektors a^→ - p^→₀ in Richtung von n^→.

Rechnung: Die gesuchte Komponente wird mit Hilfe des Skalarproduktes ermittelt.

Gesetzt: a^→ - p^→₀ = b^→

Skalarprodukt: b^→ · n^→ = | n^→| · | b^→| · cos(ϕ) = | n^→| · b_n

b_n = | b^→| · cos(ϕ) ist der Betrag der Projektion von b^→ auf n^→ einschließlich eines Vorzeichenfaktors. Das Vorzeichen ist positiv, wenn b^→_n und n^→ die gleiche Richtung haben, d.h. wenn A zur Ebene E so liegt, wie in der obigen Abbildung angegeben.

Das Vorzeichen ist negativ, wenn b^→_n und n^→ die entgegengesetzte Richtung haben, d.h. wenn A auf der anderen Seite der Ebene E liegt. Für den gesuchten Abstand d ist dieses Vorzeichen allerdings ohne Bedeutung, es interessiert nur der Betrag von bn: d = |b_n| =

d =

→a - ^→p⁰

| b n |

| n | r r⋅ r

| ( a p ) n |0 | a n k |

| n | | n |

− ⋅ = ⋅ − r r r r r

r r

7.8 Schnittgerade zweier nicht paralleler Ebenen

Gegeben: zwei Ebenen in der Normalenform

E₁: p^→_E1 · n^→₁ = k₁ mit n^→₁ = , E₂: p^→_E2 · n^→₂ = k₂ mit n^→₂ =

Die Schnittgerade besteht aus allen Punkten, die beide Ebenengleichungen gleichzeitig erfüllen.

Durch Gleichsetzen p^→_E1= p^→_E2 = p^→_S = folgt:

- für E₁: x_S n_1x + y_S n_1y + z_S n_1z = k₁ (1) - für E2: xS n2x + yS n2y + zS n2z = k2 (2)

Man erhält 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Die Lösung ist ein-fach unbestimmt.

Setzt man z.B. xS = t mit t ∈ ¡ als frei wählbare Koordinate, ergeben sich y_S = f(t) und z_S = g(t) aus (1) und (2) als Funktionen von t.

Die Schnittgerade ist dann gegeben durch p^→_S(t) =

Beispiel:

E₁: n^→₁ = , k₁ = 2 E₂: n^→₂ = , k₂ = -2

(1) x_S + y_S + z_S = 2 (2) xS + yS - zS = -2

(3) 2x_S + 2y_S = 0 => y_S = -x_S Gesetzt: x_S = t => y_S = -t (1) - (2) ergibt: 2z_S = 4 => z_S = 2 = konst.

Geradengleichung: p^→_S(t) =

Dies Ergebnis kann noch in die allgemeine

Form nach Abschn. 6.5 umgewandelt werden: ^→p_S(t) = =

1x 1y 1z

n n n

 

 

 

 

 

2x 2y 2z

n n n

 

 

 

 

 

S S S

x y z

  

  

S S S

x (t) y (t) z (t)

 

 

 

 

1 1 1

  

  

1 1 1

  

 −

 

t t 2

  −

  

0 1 t 0 1 t 2 0 t

 + ⋅ 

 − ⋅ 

 + ⋅ 

 

0 1

0 t 1

2 0

   

 + ⋅ − 

   

   