x1. Spharische Dreiecke
Die 2-dimensionale(Einheit-)Sphare ist dieFlache
S 2
=
P 2R 3
jj
!
OPj=1 :
Zwei Punkte A;B 2 S 2
, welche verschieden und nicht antipodal sind, bestimmen
eine Ebene E durch 0. Der Schnitt von E mit S 2
ist ein Grosskreis. Der Gross-
kreisbogen (< ) zwischen A und B wird als Seite _
AB deniert. Grosskreise sind
\geodatische Linien", d.h. die Seite _
AB ist der kurzeste Weg zwischen A und B,
welcher ganz auf S 2
liegt. Drei Punkte A;B und C auf S 2
so, dass die Vektoren
~a =
!
OA;
~
b =
!
OB und ~c =
!
OC linear unabhangig sind, bestimmen ein spharisches
Dreieck,dessen SeitenGrosskreisbogensind. Das Dreieck M(ABC) hat drei Winkel
( mitSpitze inA); ( mitSpitze inB); ( mitSpitze inC)
und drei Seiten
a (gegenuberA), b (gegenuberB), c (gegenuberC)
Die Winkel und dieSeitenwerden inBogenmass gemesssen. NachDenition haben
wir
a=^(
~
b ;~c); b=^(~c;~a); c=^(~a;
~
b)
DerWinkelistderWinkelzwischen denEbenenE
1
,erzeugt von~a und
~
b, undE
2 ,
erzeugt durch~a und~c. Da~a
~
b?E
1
und~a~c?E
2 gilt
=^(~a
~
b ; ~a~c)
und analog
=^(
~
b~a;
~
b~c); =^(~c
~
b ; ~c~a):
Es folgt
cosa =
~
b~c; sina = j
~
b~cj; cos = (~a
~
b)(~a ~c)
j~a
~
bjj~a~cj
cosb = ~c~a ; sinb = j~c~aj; cos = (
~
b ~a)(
~
b ~c)
j
~
b~ajj
~
b~cj
cosc = ~a
~
b; sinc = j~a
~
bj; cos = (~c
~
b)(~c~a )
j~c
~
bjj~c~aj
Ein spharisches Dreieck wird durch 3 Grossen bestimmt. Das Ziel der spharischen
Trigonometrie ist es, Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen der
Seiten und Winkel in einem spharischen Dreieck zu nden. Fruhere subtile geome-
trische Schlusse konnen durch Verwendung der Vektorrechnung vermieden werden.
Die Bezeichnungen sind diejenigenvon x1.
Satz: Sei V =j[~a;
~
b;~c]j das Volumen des von~a;
~
b und~caufgespannten Parallelepi-
pedes. Esgilt
sinasinbsin =V:
Beweis: Esgilt(~c~a)(~c
~
b )=[~a;
~
b;~c]~c (sieheAbschnittuber mehrfacheProdukte
vonVektoren) somit
j(~c~a)(~c
~
b )j=j[~a;
~
b;~c]j
andererseits:
j(~c~a)(~c
~
b)j = j~c~a jj~c
~
bjsin:
Da
j~c~a j =sinb; j~c
~
bj =sina
folgt dieBehauptung.
Folgerung:
sin
sinc
=
V
sinasinbsinc :
Da die rechteSeite in a;b und c symmetrischist,folgt der Sinus-Satz:
sin
sina
= sin
sinb
= sin
sinc
Seiten - Cosinus - Satz
cosa = cosbcosc + sinbsinccos
cosb = cosccosa + sincsinacos
cosc = cosacosb + sinasinbcos
Beweis: Wir benutzen dieLagrangesche Identitat
(~a
~
b )(~a~c)=(~a~a)(
~
b~c) (~a~c)(~a
~
b):
Auf Grund der Denition des Skalarprodukts gilt
(~ab )(~a~c) = j~ab jj~a~cjcos
= sincsinbcos :
Anderseits ist
(~a~a)(
~
b~c) (~a~c)(~a
~
b) = cosa cosbcosc
und somit
cosa = cosbcosc+sinbsinccos :
Die anderen Formelnfolgendurch zyklische Vertauschung.
Anwendung: Entfernung auf der Erde.
Idealisiert ist die Erde eine Kugel mit Radius r = 6371 km. Ein Punkt P der
Erdoberache kann durchzwei (geographische) Koordinaten festgelegt werden:
(1) die(westliche,bzw.
ostliche)Lange',gemessenausdemNull-Meridian(Green-
wich). Die Grosse ' ist der Winkel zwischen der vertikalen Ebene bestimmt
durch 0;N = Nordpol und G = Greenwich, und der vertikalen Ebene durch
0;N und den Punkt P.
(2) die(nordliche,bzw.sudliche) Breite#;sieistbestimmtdurchdieDistanzzum
Aquator (aufdem Grosskreis).
Lange und Breite werden imWinkelmass gemessen.
Beispiel: Paris: ('=2:3 Æ
E, #=48:8 Æ
N),Berlin: (' =13:4 Æ
E, #=52:5 Æ
N)
Der
Ubergang zu den kartesischen Koordinaten ist gegeben durch dieFormeln
x = rcos#cos'
y = rcos#sin'
z = rsin#
DerAbstand vonP zurz-Achseistgleichrcos#.SeienjetztP
1
,resp. P
2
,gegeben
durch('
1
;#
1
),resp.('
2
;#
2
)(z.B.,P
1
=Paris,P
2
=Berlin).Imspharischen Dreieck
N (=Nordpol),P
1
;P
2
haben wir furdieSeiten:
_
NP
1
=90 Æ
#
1
; _
NP
2
=90 Æ
#
2
und P
1 P
2
ist zu berechnen. Der Winkel in N (gegenuber der Seite P
1 P
2
) ist gleich
'
2 '
1
. Darausfolgt
cos _
P
1 P
2
= cos(90 Æ
#
1
)cos(90 Æ
#
2 )
+ sin(90 Æ
#
1
)sin(90 Æ
#
2
)cos('
2 '
1 )
oder
cos _
P
1 P
2
= sin#
1 sin#
2
+cos#
1 cos#
2 cos ('
2 '
1 )
Bemerkung: Wirhaben auch
cos _
P
1 P
2
= cos^(
!
OP
1
;
!
OP
2 )
=
!
OP
1
!
OP
2
und die kartesischen Koordinaten von P
1
, resp. P
2
lassen sich durch
!
OP =
rcos#cos'
rcos#sin'
rsin#
!
berechnen. Sobekommtman eine andere Herleitungder obigenFormel.
x3. Referenzsysteme in der Astronomie
SeiEderBeobachtungsort.ManinterpretierealleHimmelsrichtungenalsPunkteauf
einerSpharemitZentrumE(Himmelskugel).WirhabenfolgendeSpezialrichtungen.
(Figur!)
Z: Zenit vertikaleRichtunguber E
N
a
:Nadir antipodale Richtung zu Z
N;S;W;O: Nord, Sud, West, Ost in der horizontalen Ebene durch E (Hori-
zont)
P
N ,P
S
: nordlicher und sudlicher Himmelspol
': Polhohe,Erhebung von P
N
uberHorizont.
Der Aquatorist dieEbene durch E senkrecht zur Polrichtung.Der Meridianistdie
vertikaleEbene durch Z und P
N
. (Figur!)
Die Lage eines Sternes St wird durch zwei Koordinaten bestimmt, welche der geo-
metrischenBreiteund der geometrischen Lange entsprechen. Es werdenzwei Koor-
dinatensysteme verwendet.
1. Das Horizontsystem (lokaleBeobachtung).
Das Systemwird durch das Systemder Vertikal-und Hohenkreise dargestellt.
h: dieHohe(uberHorizont)istderWinkelzwischenStundHorizontgemessen
auf dem Vertikalgrosskreis durch St.
z =90 Æ
h ist dieZenitdistanz.
a: dasAzimut istderWinkelzwischen dervertikalenEbene durchStund der
vertikalen Ebene durch dieSudrichtung S.
2. Das
Aquatorsystem(astronomische Jahrbucher).
DasSystemwirddurchdasSystemderStunden-undParallelkreisedargestellt.
Der Stundenkreis geht durch die Achse P
N P
S
und durch den Stern St.
Parallelkreisesind parallelzum
Aquator.
Æ: die Deklination ist die Hohe
uber dem
Aquator, gemessen auf dem Stun-
denkreis.
S: der Stundenwinkel stellt den Winkel zwischen dem Meridian und dem
Stundenkreis dar. Er wird haugin Stunden gemessen (1Std. = 15 Æ
, 1 Æ
=4
min).
Fast alle Probleme der astronomischen Ortsbestimmung nden ihre Losung im
spharischen Dreieck Nordpol P
N
, Zenith Z, Stern St, welches als astronomisches
(oder nautisches)Dreieckbezeichnet wird. (Figur!)
Die Seiten und Winkel des Dreiecks M(P
N
;Z;St)sind
S = ^ in P
N
180 Æ
a = ^ in Z
_
P
N
Z = 90
Æ
'
_
P
N
St = 90
Æ
Æ
_
ZSt = 90
Æ
h
Der Winkel in St, der sogenannte parallaktische Winkel, ist von geringerer Bedeu-
tung, daer nicht gemessen werden kann.
natensystem in das andere ubergehen. z.B.
cosz = cos(90 Æ
')cos(90 Æ
Æ)
+ sin(90 Æ
')sin(90 Æ
Æ)cosS
cosz =sin'sinÆ+cos'cosÆcosS.
x4.
Ubergang zur ebenen Trigonometrie
Sei ABC einspharisches Dreieck auf S 2
mitSeiten a;b;cund Winkeln ;;.Wir
nehmen an, dass die Seitenlangen kleinseien gegenuber 1,z.B.
=
0;01.Eine solche
Seite entspricht einer Distanz von ungefahr 60 km auf der Erde, da der Radius
6371 km betragt.
Aus den Taylorentwicklungen:
sinx = x x
3
3!
+ x
5
5!
+
cosx = 1 x
2
2!
+ x
4
4!
+ :
ergeben sich folgende Approximationen
sinxtx; cosxt1 x
2
2!
wenn manhohere Potenzen (x 3
t10 6
) vernachlassigt. Aus dem Sinus-Satz
sin
sina
= sin
sinb
= sin
sinc
der spharischen Trigonometriefolgt dann der Sinus-Satz
sin
a
= sin
b
= sin
c
der ebenen Trigonometrie.Aus dem Seiten-Cosinus-Satz
cosa = cosbcosc+sinbsinccos
folgt
1 a
2
2
=
1 b
2
2 1
c 2
2
+bccos
oder der Cosinus-Satz der ebenen Trigonometrie:
a = b +c 2bccos
da man b 2
c 2
auch vernachlassigen kann. Ist =
2
sofolgt aus dem Seiten-Cosinus-
Satz
cosa = cosbcosc (spharischer Pythagoras), imGrenzfall:
a 2
= b 2
+c 2
(ebener Pythagoras).
x5. Die Formel von Gauss-Bonnet fur spharische Dreiecke
Sei ABC ein spharisches Dreieck auf der Sphare S 2
, vom Radius 1, und sei F
ABC
sein Flacheninhalt.
Satz: F
ABC
= ++ .
Beweis: Sei
A (resp.
B;
C) der antipodale Punkt zu A, resp. B, C. Die Sphare S 2
wird durch die8Dreiecke
4(A;B;C); 4(
A;
B;C); 4(
A;B;C); 4(A;
B;C)
4(
A;
B;
C); 4(A;B;
C); 4(A;
B;
C); 4(
A;B;
C)
uberdeckt (Figur!).AntipodaleDreieckehaben dengleichenFlacheninhalt.Esfolgt:
F
ABC +F
A
BC +F
ABC +F
A
BC
=F
A
B
C +F
AB
C +F
A
B
C +F
AB
C :
Da die Gesamtoberache von S 2
gleich4 ist, folgt
F
ABC +F
A
BC +F
ABC +F
A
BC
=2:
ZweiDreieckemiteiner gemeinsamenSeite schliessensichzu einem 2-Eckmitanti-
podalenPunkten als Ecken, z.B.
4(A;B;C)[4(A;
B;C)
ist das 2-Eck mit
Onungswinkel in B, resp.
B. Die Oberache eines solchen 2-
Eckesistproportionalzu undfur =2erhaltmandieganzeOberache vonS 2
,
also4. Esfolgt, dass
F
ABC
+ F
A
BC
= 2
F
ABC
+ F
ABC
= 2
F
A
BC
+ F
A
B
C
= 2:
ABC
A
B
C
2(++) = 3F
ABC +F
A
BC +F
ABC +F
A
BC
= 3F
ABC
+2 F
ABC
so, dass
++ = F
ABC
Beispiel: Sei 4(A;B;C)eingleichseitigesDreieckauf S 2
mitSeitenlange a= 60
6371
(entspricht eine Seite von 60 km auf der Erde). Aus dem Seiten-Cosinus-Satz (mit
a=b=c) folgt
cos =
cosa cos 2
a
sin 2
a
= cosa
1+cosa
so, dass =60;00073 Æ
. Die entsprechende Flache auf der Erde ist
F
Erde
= (6371) 2
(3 ) = 1558:863km 2
:
Ein ebenes Dreieck mitSeitenlange a=60km hat den Inhalt
F
Ebene
=a 2
p
3
4
=1558:846km 2
:
Der Unterschied ist ungefahr 0;001%.
x6. Geographische Karten
Eine Karte fur ein Flachenstuck im Raum (z.B. ein Teil der Einheitssphare S 2
)
isteine bijektiveAbbildungdieses Flachenstuckes indieEbene R 2
. MitHilfe dieser
Abbildung werden Koordinaten auf der Flache deniert. Die Abbildung soll glatt
sein (genugend oft dierenzierbar) und so wenig wie moglich verzerrend. Die \per-
fekte" Karteistlangentreu, winkeltreu und achentreu. Mansprichtdann voneiner
isometrischen Karte.
Beispiel: EinZylinderodereinKegelkannisometrischindieEbeneabgebildetwer-
den: man schneide dieFlache langs einer Mantellinie auf und rolle sieab!
Satz: Auf S 2
(oder Teilen von S 2
)gibt eskeineisometrische Karte.
Beweis: BeieinerIsometriegehengeodatischeLinienaufgeodatischeLinien(kurzeste
Dreieck(A
;B
;C
).DadieWinkelerhaltenbleiben,gilt
+
+
= ++.
AufS 2
gilt++ >(da++ =F
ABC
).InderEbenegilt
+
+
=.
Aus diesemWiderspruch folgt,dass eskeine IsometrieS 2
!R 2
gibt.
EineKarteaufS 2
(oderaufeinemTeilvonS 2
)weistVerzerrungenauf.Siekannnicht
gleichzeitiglangentreu und winkeltreu sein. Wirdiskutieren verschiedene beruhmte
Beispiele vonkartographischen Projektionen.
1. Die Zylinderprojektion (Archimedes287-212 v. Chr. / Lambert 1728-1777).
Die Erdkugel wird von der Polarachse aus waagrecht auf jenen Zylinder projiziert,
welcherdieKugellangsdem
Aquatorberuhrt.DerZylinderwirdnachderProjektion
langs einer Mantellinie aufgeschnitten und abgerollt. Die gesamte Kugeloberache
wird auf einRechteck abgebildet. Breitenkreise gehenin waagrechte Strecken
uber,
Meridiane(Langenkreise) insenkrechteStrecken. Langentreu wirdnur der
Aquator
abgebildet. Die Verzerrung istbesonders deutlich inhoherenBreiten (Pole!).
Verzerrung in senkrechter Richtung:
Seien r der Radiusder Kugelund ';# diegeographischen Koordinaten. Seien
P :(';#); Q:(';#+#)
benachbarte Punkte auf demselben Langenkreis, so dass _
jPQj = r#. Seien P
und Q
die Bilder; es gilt auf dem Zylinder:
_
jP
Q
j = rcos## (Figur!). Der
Verzerrungsfaktor istcos#.
Verzerrung in waagrechter Richtung:
Seien
P :(';#); R :('+';#)
benachbarte Punkte auf einem Breitenkreis so, dass: j _
PRj ='=rcos#',
wobei =rcos# der Abstand zur Polarachse ist.Fur dieProjektion gilt j _
P
R
j=
r' (Figur!). Der Verzerrungsfaktor ist 1
cos# .
Satz: Die Zylinderprojektion istachentreu.
1. Beweis: Manbetrachte einkleines spharisches Rechteck ABCD mit
A=(';#); B =(';#+#); C =('+';#+#); D=('+';#):
Seine Flache ist
F =j _
ABjj _
ADj=(r#)(rcos#'):
Das Bild A B C D hat dieFlache
F
=j _
A
B
jj _
A
D
j=(rcos##)(r')=F:
2. Beweis: EineKugelzonemitderHohehhatdieFlache2rh(Formelsammlung!).
IhrBildisteinRechteckvonderLange2rundderHoheh.AlsosindbeideFlachen
gleich.
Bemerkung: Die Achse des Zylinders muss nichtnotwendigerweise dieAchse Nord-
Sud sein. Man spricht dann von einerschiefachsigen Zylinderprojektion.
2. Die Mercator - Karte (Mercator= GerhardKremer1512-1594)
Ziel: ManmochteeineKartehaben, welche winkeltreuist(wichtige Eigenschaftfur
die Navigation!) und bei welcher Breitenkreise waagrechte und Langenkreise senk-
rechte Strecken sind.
Idee: Kombinieredie Zylinder-Projektionmit einer Streckung in senkrechter Rich-
tung. Sei x =r' die waagrechte Komponente und z =rsin# diesenkrechte Kom-
ponente bei der Zylinder-Projektion. Sei v = f(#) die gesuchte neue senkrechte
Komponente. Bei einer winkeltreuen Abbildungmussen Verzerrungen in waagrech-
ter und senkrechter Richtung gleich sein (Figur!). Bei der Zylinder-Projektion ist
der waagerechte Verzerrungsfaktor gleich 1
cos#
und der senkrechte gleich cos#. Um
den gleichen Faktor zu bekommen mussen wir mit 1
cos 2
#
in senkrechter Richtung
kompensieren. Es muss also
v
z
= 1
cos 2
#
gelten (wir machen alles imKleinen!). Es gilt
v
#
= v
z
z
#
= 1
cos 2
#
z
#
Aus z =rsin# folgt z=rcos## ( z
#
wird durch dieAbleitungz 0
(#) appro-
ximiert), somit v
#
= r
cos#
und fur#!0
lim
#!0 v
#
=f 0
(#)= r
cos# :
Eine Stammfunktion von r
cos# ist
f(#)=rlogtan(#=2+=4)+C:
Aus der Bedingung f(0) =0 (Bild vom Aquator solldiex-Achse sein) folgt C =0.
Die Loxodrome: Fahrt ein Schi entlang eines Grosskreises, so muss es laufend
den Kurs (Winkel)
andern. Praktisch setzt sich der Wegeines Schies aus Stucken
zusammen, welche einen konstanten Winkel gegen die Meridiane (Nordrichtung!)
haben.EineKurvedeskonstantenKurswinkelsheisstLoxodrome.IneinerMercator-
Karte wird eine Loxodrome alsGeradeabgebildet.
Bemerkung: DieMercator-ProjektionwirdauchalswinkeltreueZylinder-Projektion
bezeichnet. Die Landeskarten der Schweiz benutzen eine schiefachsige winkeltreue
Zylinderprojektion.
3. Kegel-Projektionen
Die Kugel soll von einem Kegel eingehullt werden, dessen Achse die Polarachse ist
und welcher die Kugel langs dem Breitenkreis # =#
0
(fest) beruhrt. Ein Meridian
durch P
0
wird auf die Mantellinie durch P
0
abgebildet (Figur!). Ist P : (';#) ein
beliebigerPunkt auf der Kugel,so wird sein Bild P
auf dem Kegel durch folgende
Bedingungen festgelegt:
1) die Mantellinieist durch den Meridian durchP bestimmt,
2) sein AbstandvomBilddes Beruhrungskreiseslangsder MantelliniehatdieForm
rf(#), wobeidie Funktionf(#) zur Wahl steht. Es muss jedochf(#
0
)=0gelten.
Schliesslichwird der Kegel langs einer Mantellinie geschnitten und abgerollt.
Beispiel: Der Entwurf von Ptolemaus (87-165). Hier ist f(#) = # #
0
. Dieser
Entwurfist langentreu auf Meridiane.
Ubung: Esgibt einf(#), so dass dieKarte winkeltreu ist.
"
f(#)=cot#
0
cot#
0 tan
sin#
0(
4 +
#
0
2 )
tan sin#
0(
2 +
#
2 )
#
Bei den Kegel-Projektionen gibt eszwei Extremfalle:
1) Fur #
0
=0entartet der Kegel zum Zylinder.
2)Fur#
0
=90 Æ
entartetder Kegelzur Tangentialebene imNordpol.Dieentstehen-
de Kartewird als azimutaler Entwurf bezeichnet.
Ein Beispiel eines azimutalen Entwurfes ist die Stereographische Projektion: vom
Sudpol S aus wird der Punkt P : (';#) auf P
auf die Tangentialebene im Nord-
pol projiziert. Diese Projektion wurde bereits von Hipparch von Mikaia (180-125)
tenkreise sind Kreise mitZentrum O.
ImrechtwinkligenDreieckSNP
(Figur!) seiderWinkelinP
und derWinkel
in S.Aus 2+# =
2
und + =
2
folgt =
4 +
#
2
. Esergibt sich
jNP
j
jNSj
= rf(#)
2r
=cot
4 +
#
2
f(#)=2cot
4 +
#
2
!
Das Bild vonP :(';#) hat alsodie Koordinaten
x=2rcot
4 +
#
2
!
cos' y=2rcot
4 +
#
2
!
sin':
Satz: Die Stereographische Projektionist winkeltreu.
Beweis: Der Winkel in P sei gegeben alsZwischenwinkelvon 2 Tangenten t
1
;t
2 .
Sei E
1
dieEbene durch t
1
und S = Sudpol und E
2
diejenige durch t
2
und S. Seien
t 0
1
, bzw. t 0
2
die Schnittgeraden von E
1
bzw. E
2
mit der Tangentialebene T
S in S.
Der Zwischenwinkel von t 0
1
und t 0
2
ist gleich . Seien t
1
, bzw. t
2
die Projektionen
vont
1
,bzw. t
2
auf dieTangentialebene T
N
in N und sei
ihrZwischenwinkel. Da
t
1
==t 0
1
;t
2
==t 0
2
folgt
= . (Figur!).
Satz: Die stereographische Projektion istkreistreu.
Beweis: Sei der gegebene Kreis auf der Kugel. Wir denken uns in jedem seiner
Punkte QdiezuihmsenkrechteKugeltangentet gezogen.AlleGeraden tbildendie
Mantellinien eines Kegels, welcher die Kugel langs beruhrt (Figur!). Sei Z die
Spitze dieses Kegels und sei Z
die Projektion von Z auf T
N
. Die Projektionen t
der t sind Geraden, welche durch Z
gehen. Die Projektion
von schneidet alle
t
senkrecht, istalso einKreis mitZentrum Z
.
Es gibt Ausnahmen: Kreise durch S!; ihre Bilder sind Geraden. Wir wollen sie als
Kreise mitunendlichem Radius betrachten.
4
!
Das Bild des
Aquators heisst Hauptkreis. Stereographische Bilder der Grosskreise
sind Kreise, welche den Hauptkreis inzwei Diametralpunktenschneiden.
festen Winkel. SeidieLoxodromeinder Form =g(') (;': Polarkoordinaten)
gegeben. Wir betrachten einkleines Dreieck (A;B;C)auf der Karte, mitgeogra-
phischen Koordinaten: (Figur!):
A:(;') B :(;'+') C :(+; '+')
Es gilt tan = j
_
BCj
j _
ABj
=
4'
=:b.
Fur'!0 ergibtsich 0
(') = lim
'!0
'
=b .
Die Losungen der Dierentialgleichung:
0
= b
sind dieFunktionen (') = ce b'
,wobei ceine Konstante ist.Verlangtman, dass
die Kurve durchP
0 :('
0
;#
0
) geht,so muss
(') =
0 e
b(' '
0 )
mit
0
=2rcot
4 +
#
0
2
gelten.
4. Die orthodromeProjektion: (Grosskreiskarte)
Die Projektion erfolgt hier als Zentralprojektion vom Zentrum der Kugel auf ei-
ne Tangentialebene. Ist der Beruhrungspunkt B ein Erdpol, so heisst die Karte
polstandig.Liegt B aufdem
Aquator,so bekommtman eineaquatorstandigeKarte.
DieseKartensind wederlangen-nochachentreu.Jeder GrosskreiswirdalsGerade
abgebildet.DieKarteeignetsichdabeibeiderAuswertungderFunkpeilung.Punkte
zwischen2OrtenaufeinerGrosskreisroutekonnenmitdemLinealgefundenwerden.
Loxodrome sind gekrummte Kurven.
Bemerkung: Eine Orthodrome isteinGrosskreis.
Ubung: Die orthodrome Projektion ist nichtwinkeltreu.