Mathematik 1, Teil B

Mathematik 1, Teil B

Inhalt:

1.) Grundbegriffe der Mengenlehre 2.) Matrizen, Determinanten

3.) Vektoren, Rechenregeln 4.) Komplexe Zahlen

5.) Lineare Gleichungssysteme

6.) Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik

7.) Vektoren, Anwendungen in der Geometrie

1. Grundbegriffe der Mengenlehre

1.1 Mengenbegriff

Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung ( Gesamtheit ) von bestimmten wohlunterschie- denen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens mit gemeinsamen Merkmalen.

[ Georg Cantor, 1895 ]

Die Objekte heißen Elemente der Menge.

Symbolik:

große Buchstaben für Mengen: A, B, M, N, ...

kleine Buchstaben für Elemente: a, b, x, y, ...

a ∈ M : a ist Element von M a ∉ M : a ist nicht Element von M Beispiele für Mengen:

- Mengen, die in der realen Welt vorkommen : Autos, Zuhörer, ...

- Mengen in mathematischen Zusammenhängen :

· Lösungsmenge einer Gleichung IL

· Menge aller durch 5 teilbaren Zahlen

· Zahlenmengen:

IN Menge der natürlichen Zahlen ( inkl. der Null ) Z Menge der ganzen Zahlen

Q

Menge der rationalen Zahlen IR Menge der reellen Zahlen C

Menge der komplexen Zahlen

Beschreibung von Mengen:

1.) Durch Aufzählung der Elemente in geschweiften Klammern L = { -2; 4 }, M = { 2, 4, 6, 8, 10 }, S = { 0 }

N = { } ist die sog. Leere Menge ( die kein Element enthält ); spezielles Symbol: Ø

A = { a, b, a, c } ist ein Widerspruch zur Definition, keine Aufzählung mit gleichen Elementen

2.) Durch verbale Beschreibung:

3.) Durch Angabe der charakteristischen Eigenschaften der Elemente M = { x | Eigenschaft(en) }

z.Bsp.: M = { n | n < 10 }, A = { x ∈ IR | 5 teilt x }

Verwenden von Symbolen der Boolschen Algebra

„ ∨ “ bedeutet ODER, „ ∧ “ bedeutet UND ( und zugleich ) z. Bsp.: M = { n | ( n ∈ Z ) ∧ ( n ≤ 10 ) }

= { n ∈ Z | n ≤ 10 }

M = { n ∈ Z | ( n < 0 ) ∨ ( n > 1 ) } Auf Widersprüche achten:

M = { n ∈ Z | ( n < 0 ) ∧ ( n > 1 ) } bedeutet: M = { }

M = { n ∈ Z | 0 > n > 1 } ist nicht erlaubt; die Ungleichungskette ist transparent, d.h. es werden nicht nur die Werte unmittelbar neben den Ungleichheitszeichen einbezogen sondern alle,

hier also die falsche Aussage: 0 > 1.

Damit sind auch Angaben wie M = { n ∈ Z | 0 < n > 1 } nicht erlaubt.

4. Intervalle reeller Zahlen (a) Beschränkte Intervalle

(1) Offenes Intervall ( a, b ) ist die Menge aller reellen Zahlen x mit a < x < b Mengenschreibweise: A = { x ∈ IR | a < x < b }

graphische Darstellung:

(2) Abgeschlossenes Intervall [ a, b ] ist die Menge aller reellen Zahlen x mit a ≤ x ≤ b Mengenschreibweise: A = { x ∈ IR | a ≤ x ≤ b }

graphische Darstellung:

(3) Halboffenes Intervall [ a, b ) = { x ∈ IR | a ≤ x < b } IR

( a, b ] = { x ∈ IR | a < x ≤ b }

(b) Unbeschränkte Intervalle

sind Intervalle, die die uneigentliche Grenze Unendlich ( ∞ ) enthalten ( - ∞, ∞ ) = { x ∈ IR | - ∞ < x < ∞ }

( a, ∞ ) = { x ∈ IR | a < x < ∞ } = { x ∈ IR | a < x } ( - ∞, b ) = { x ∈ IR | - ∞ < x < b } = { x ∈ IR | x < b } [ a, ∞ ) = { x ∈ IR | a ≤ x < ∞ } = { x ∈ IR | a ≤ x } ( - ∞, b ] = { x ∈ IR | - ∞ < x ≤ b } = { x ∈ IR | x ≤ b }

Anmerkung: Das Symbol ∞ kennzeichnet nicht einen festen Punkt auf der Zahlengeraden.

Daher kann es keine abgeschlossene Intervallgrenze bei ∞ geben !

1.2 Mengenrelationen

Def.: Eine Menge A heißt Teilmenge ( = Untermenge ) der Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.

Symbolik: A ⊂ Β ( echte Teilmenge )

oder A ⊆ B ( Das Enthaltensein schließt die Gleichheit ein. ) B heißt damit auch „Obermenge“ von A : B ⊃ Α.

Graphische Darstellung als VENN-Diagramm:

Beispiele:

IN ⊂ Z ⊂ Q

⊂ IR ⊂ C

Def.: Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

Def.: Zwei Mengen A und B heißen disjunkt genau dann, wenn sie keine gemeinsamen

Elemente enthalten.

1.3 Mengenoperationen

Vereinigung M = A ∪ B

M = Menge aller Elemente, die mindestens einer der beiden Mengen A oder B angehören Man schreibt: x ∈ Μ ↔ x ∈ A ∨ x ∈ B

Graphische Darstellung:

Beispiele:

1.) M

= { x | x gerade Zahl } M

= { x | x ungerade Zahl } M

∪ M

= Z

2.) A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 3, 6, 7 } A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

Wenn gilt: A = B , dann gilt auch A ∪ B = A = B

Durchschnitt oder Schnittmenge M = A ∩ B

M = Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören Man schreibt: x ∈ Μ ↔ x ∈ A ∧ x ∈ B

Graphische Darstellung:

Beispiele zur Schnittmenge:

1.) M

= IN , M

= IR M = M

∩ M

= IN

2.) A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 3, 6, 7 } A ∩ B = { 2, 3 }

Wenn A = B, dann A ∩ B = A = B

Sind A und B disjunkte Mengen, dann ist ihr Durchschnitt leer: A ∩ B = Ø

Rechengesetze zu Vereinigung und Durchschnitt:

Gegebene Mengen: A, B, C

• Kommutativgesetze: A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

• Assoziativgesetze: A ∪ B ∪ C = ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) A ∩ B ∩ C = ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

• Distributivgesetze: A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

• Leere Menge: A ∪ Ø = A, A ∩ Ø = Ø

Komplementärmenge:

Gegeben: M : Universal- / Obermenge, Menge A mit A ⊆ Μ Die Komplementärmenge A

_ ist definiert durch A ∪ A _

= M und A ∩ A _ = Ø.

Grafisch:

Differenz:

M = A \ B oder A - B

M ist die Menge aller Punkte, die zu A, aber nicht zu B gehören.

Man schreibt:

x ∈ Μ ↔ x ∈ A ∧ x ∉ B

Beispiele:

1.) A = { x ∈ IR | 0 ≤ x ≤ 10 }, B = { x ∈ IR | 8 ≤ x ≤ 12 } A\B = { x ∈ IR | 0 ≤ x < 8 }

2.) M

= { 1, 2, 3, 4, 5 } M

= { 2, 4, 6, 8, 10 } M

\M

= { 1, 3, 5 }

3.) A\ Ø = A

4.) Wenn A = B, dann A\B = Ø

Mengenprodukt ( oder Kreuzprodukt )

A ×Β = Menge aller geordneten Paare ( a, b ) mit a ∈ A und b ∈ B symbolisch: A×Β = { ( a, b ) | a ∈ A ∧ b ∈ B }

Beispiele:

1.) A = { a

, a

, a

}, B = { b

, b

}

A ×Β = { (a

, b

), (a

, b

), (a

, b

), (a

, b

), (a

, b

), (a

, b

) } B ×Α = { (b

, a

), (b

, a

), (b

, a

), (b

, a

), (b

, a

), (b

, a

) }

Die Reihenfolge ist wichtig; z.B. Spielplan der Fußball-Liga, erste Mannschaft hat Heimrecht;

oder Zuordnung der Werte in einem Koordinatensystem

2.) M

= { x ∈ IR | 0 ≤ x ≤ 3 }, M

= { y ∈ IR | 2 ≤ y ≤ 4 } M

×Μ

= { (x,y) | ( x, y ∈ IR ) ∧ ( 0 ≤ x ≤ 3 ) ∧ ( 2 ≤ y ≤ 4 ) } Lösung graphisch:

3.) x,y-Ebene : IR × IR = IR

Das Kreuzprodukt der reellen Zahlen stellt die gesamte x,y-Ebene lückenlos dar.