Mathematik 1, Teil B
Inhalt:
1.) Grundbegriffe der Mengenlehre 2.) Matrizen, Determinanten
3.) Vektoren, Rechenregeln 4.) Komplexe Zahlen
5.) Lineare Gleichungssysteme
6.) Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik 7.) Vektoren, Anwendungen in der Geometrie 1. Grundbegriffe der Mengenlehre
2.
3. Vektorrechnung
3.1 Grundbegriffe zu Vektoren
In Naturwissenschaft und Technik werden zwei Gruppen von Größen benutzt:
1.) Skalare Größen 2.) Vektorielle Größen
Definition: Skalare Größen ( Skalare )
sind durch Angabe ihrer Maßzahl bei festgelegter Einheit eindeutig bestimmt.
Veranschaulichung: Zahlengerade, z.B. Temperaturskala
Definition: Vektorielle Größen ( Vektoren )
sind Größen, die durch Betrag und Richtung eindeutig bestimmt sind.
Schreibweise: , Veranschaulichung:
Vorderansicht Rückansicht ( Spitze )
Aus der Vektor-Definition folgt:
Der Vektor ist grundsätzlich ein sog. freier Vektor. Nur Betrag und Richtung sind wesentlich für einen Vektor, nicht seine Lage im Vektorraum ( „Rechenraum“ ).
Polare Vektoren:
zur Darstellung von Größen nur mit Maßzahl und Richtung z.B. die Geschwindigkeit
Axiale Vektoren:
zur Darstellung von Größen mit Maßzahl, Raumrichtung und Drehsinn z.B. Winkelgeschwindigkeit, Drehmoment
„Rechtsschraube“
vereinbart
a r F r
a r a r
a r
v r
v r
a r
Länge = Absolutbetrag
| | = Länge des Vektors a
→Gleichheit von Vektoren
Zwei Vektoren a
→und b
→sind gleich, wenn ihre Beträge und Richtungen übereinstimmen ( Richtungen parallel, gleich orientiert ).
a
→b
→Einheitsvektor zur Richtungsangabe
= Vektor mit Absolutbetrag 1
Angabe eines Vektors durch Absolutbetrag und Einheitsvektor:
a
→= | a
→| · e
→a
↑ Einheitsvektor in Richtung von a
→Angabe der drei Raumkoordinatenrichtungen:
→
i
, j
→, k
→oder e
→i , e j
→
, e k
→
, bei kartesischen Koordinaten auch e x
→
, e y
→
, e z
→
Nullvektor: 0
→= Vektor mit Absolutbetrag 0 und mit unbestimmter Richtung
Kollineare Vektoren
verlaufen parallel zu ein und derselben Geraden
Komplanare Vektoren
verlaufen parallel zu ein und derselben Ebene
a r
Komponenten und Koordinaten eines Vektors im dreidimensionalen Raum:
Jeder beliebige Vektor a
→kann eindeutig in eine Summe aus drei Vektoren, die parallel zu drei gegebenen nicht komplanaren Vektoren u
→, v
→, w
→sind, zerlegt werden :
a
→= a u u
→+ a v v
→+ a w w
→Die Summanden a u u
→, a v v
→und a w w
→heißen „Komponenten“ von a
→, die skalaren Faktoren a u , a v und a w heißen „Koordinaten“ von a
→.
Kurzschreibweise: a
→= auch: a
→= (a u , a v , a w )
Kartesisches Koordinatensystem:
a
→= a x e
→x + a y e
→y + a z e
→z
a
→=
Anmerkung:
Eine entsprechende Darstellung existiert auch für die Ebene und allgemein im ¡ n .
3.2 Rechnen mit Vektoren 3.2.1 Vektoraddition
Gegeben: Vektoren a
→= , b
→=
Addition graphisch:
Definition: a
→b
→c
→= a
→+ b
→= + = =
c
→= a
→+ b
→Die Additionsregel gilt auch für mehr als zwei Vektoren.
u v w
a a a
x y z
a a a
1 2 3
a a a
1 2 3
b b b
1 2 3
a a a
1 2 3
b b b
1 2 3
c c c
1 1
2 2
3 3
a b
a b
a b
+
+
+
Zahlenbeispiel:
Gegeben seien die Vektoren a
→= b
→= c
→=
a
→+ b
→+ c
→= =
Rechengesetze:
1.) Kommutativgesetz a
→+ b
→= b
→+ a
→2.) Assoziativgesetz ( a
→+ b
→) + c
→= a
→+ ( b
→+ c
→)
3.2.2 Vektorsubtraktion
Entgegengesetzter Vektor zu a
→: - a
→a
→- a
→Die Subtraktion wird durch die Addition entgegengesetzter Vektoren ersetzt:
a
→- b
→= a
→+ ( -b
→)
Mit a
→= , b
→= folgt a
→- b
→=
graphisch:
a
→- b
→b
→a
→-b
→a
→- b
→3
4 2
−
2 3 1
1 2 3
−
−
−
3 2 1
4 3 2 2 1 3
+ −
− + −
+ −
4 3 0
−
1 2 3
a a a
1 2 3
b b b
1 1
2 2
3 3
a b
a b
a b
−
−
−
graphische Addition und Subtraktion mittels Parallelogramm:
b
→a
→+ b
→a
→- b
→a
→3.2.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Definition: Es sei b
→= k· a
→; k ∈ ¡
b
→ist kollinear zu a
→und hat den k-fachen Betrag von a
→. Z.B.: b
→= 4·a
→a
→a
→a
→a
→a
→und b
→sind gleich gerichtet, wenn k > 0 ist und entgegengesetzt gerichtet, wenn k < 0 ist.
Beispiele aus der Physik: 1.) F
→= m b
→2.) I
→= F
→t = m v
→3.) F
→
= Q·E
→Eigenschaften des Produktes:
Gegeben: Vektoren a
→, b
→; Skalare k, l ∈¡
1.) Kommutativgesetz: k ·a
→= a
→· k
2.) Assoziativgesetz: l·( k · a
→) = ( l·k ) · a
→3.) Distributivgesetz: ( k + l ) · a
→= k · a
→+ l · a
→k·( a
→+ b
→) = k · a
→+ k · b
→3.2.4 Betrag ( Länge ) eines Vektors:
Gegeben: Vektor x
→= Definition:
Betrag von x
→: | x
→| =
1 2
n
x x
x
M
n i2i 1
x
∑
=3.2.5 Einheitsvektor ( Einsvektor ) zu einem Vektor a
→Definition: Der Einheitsvektor a
→° ist ein zu a
→gleich gerichteter Vektor mit dem Betrag 1.
Rechnung: a
→° =
Beispiel: Gegeben sei a
→=
Betragsberechnung: | a
→| = √ 3 2 +5 2 = √ 34 = 5,831 a
→° = =
Probe: | a
→° | = √ (0,5145) 2 +(0,8575) 2 = 1, 000 002 1...
↑__ Rundungsfehler
3.2.6 Das Skalarprodukt ( Punktprodukt )
(a) In der Ebene ( IR 2 ) , auch „Inneres Produkt“ genannt
Gegeben: Vektoren a
→= , b
→=
Schreibweisen: a
→· b
→oder ( a
→b
→) oder 〈 a
→, b
→〉
Definition: a
→· b
→= | a
→|·| b
→| cos( ϕ ) = a 1 b 1 + a 2 b 2
mit ϕ: eingeschlossener Winkel zwischen a
→und b
→Sonderfall:
b
→ist ϕ = 90°, d.h. a
→und b
→sind orthogonal , dann ergibt sich a
→· b
→= 0 wegen cos( ϕ ) = 0 a
→b
→| b
→| cos(ϕ)
= Projektion von b
→a
→auf die Richtung von a
→a
| a | r r
3 5
1 5,831
3 5
0,5145 0,8575
1 2
a a
1 2
b b
Rechengesetze:
1.) Kommutativgesetz: a
→· b
→= b
→· a
→2.) Assoziativgesetz
a) bei Multiplikation mit einem Skalar: k·( a
→· b
→) = ( k· a
→) · b
→= a
→· ( k· b
→) b) bei Multiplikation mit einem 3. Vektor: a
→·( b
→· c
→) ≠ ( a
→· b
→)· c
→3.) Distributivgesetz: a
→·( b
→+ c
→) = a
→· b
→+ a
→· c
→(b) allgemein gilt im n-dimensionalen Raum ( IR n )
a
→· b
→= mit a
→= , b
→=
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:
Für a
→, b
→∈ IR n gilt | a
→· b
→| ≤ | a
→|· | b
→|
Gleichheit tritt genau dann auf, wenn a
→und b
→kollinear sind,
sie sind dann linear abhängig , d.h. a
→kann aus b
→durch Multiplikation mit einem Faktor erzeugt werden.
a
→a
→mit ∠ a
→, b
→= 0 bzw. 180°
oder ist cos( ϕ ) = 1 bzw. -1
b
→b
→Anmerkung: Die Prüfung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung auf Gültigkeit des Gleichheitszeichens ist bei Verwendung eines digitalen Rechners i.a. ungenau wegen der Rundungsfehler.
Beispiele zum Skalarprodukt:
1.) Gegeben: a
→= , b
→= a
→a
→· b
→= 3·4 + 5·3 = 27 b
→Aus a
→· b
→= | a
→|·| b
→| cos( ϕ ) folgt
cos(ϕ) = = 0,9261 ⇒ ϕ = 0,387 rad A 22,2°
n k k k 1
a b
∑
=1 2
n
a a a
M
1 2
n
b b b
M
3 5
4 3
27
9 + 25 ⋅ 16 9 +
2.)
Gegeben: u
→=
u
→Gesucht: Winkel ϕ zwischen u
→und der x-Achse
e
→x Ansatz: Richtung der x-Achse angeben durch
Einheitsvektor v
→= e
→x =
Dann Winkel mit Skalarprodukt bestimmen: cos( ϕ ) = v
→· u
→= 1
| v
→| = 1; |u
→| = √ 1 2 +2 2 +2 2 = 3 cos(ϕ) = 1/3 ; ϕ = 70,5°
3.)
Gegeben: u
→= , v
→=
u
→Gesucht: die Komponente u
→v von u
→in Richtung v
→Ansatz: u
→v = k· v
→° ; k: reelle Zahl, die den v
→u
→v Betrag von u
→v angibt
Aus der Gleichung für das Skalarprodukt k = |u
→| cos( ϕ ) u
→· v
→= | u
→|·| v
→| cos( ϕ ) folgt mit k = |u
→| cos( ϕ ) :
k = mit u
→· v
→= 12+3 = 15 und | v
→| = √ 10
Der Richtungsvektor ist v
→° = v
→also u
→v = = (15/10)·v
→= 1
2 2
1 0 0
v u
| v || u | r r ⋅ r r
3 1
4
3
u v
| v | r r ⋅ r
1
| v | r
2
u·v v
| v | r r r r ⋅ 4,5 1,5
4. Beispiel zum Skalarprodukt: Potentialdifferenz im elektrischen Feld Berechnung mit der Gleichung ∆Φ = - E
→∆s
→E
→, homogen
|E
→| = 200 V/m P1: ( 5; 3 ) cm P2: ( 1; 1 ) cm
Vektordarstellungen: E
→= V/m , ∆ s
→= cm
Mit Hilfe der Vektordarstellung wird ∆Φ über das Skalarprodukt berechnet:
∆Φ = - [ 200·(-4) + 0·(-2) ] (V/m)·cm
Ersetzt man noch 1cm = 0,01m, folgt ∆Φ = - [ -800 ] V · 0,01 = > ∆Φ = + 8V 200
0
4 2
−
−
3.2.7 Das Kreuzprodukt
(A) Alternierendes Produkt ( äußeres Produkt ) in der Ebene
Gegeben: Vektoren a
→= b
→=
Definition: a
→× b
→= [ a
→b
→] ist die orientierte ( = Vorzeichen behaftete ) Fläche des durch a
→und b
→aufgespannten Parallelogramms.
(1) F = |a
→|·|b
→|·sin( α ) (2) F = a 1 b 2 - a 2 b 1 = b
→Für 0 < α < π ist F > 0, a
→für - π < α < 0 ist F < 0.
Für α = π/2 ist F = |a
→|·|b
→| <= Rechteck α wird vom 1. Vektor in Richtung
auf den 2. gezählt:
Rechengesetze:
Kommutativgesetz gilt nicht: a
→× b
→= - b
→× a
→Distributivgesetz: ( a
→+ b
→) × c
→= a
→× c
→+ b
→× c
→Assoziativgesetz
a) bei Multiplikation mit einem Skalar: k·( a
→× b
→) = ( k· a
→) × b
→= a
→× ( k· b
→) b) bei Multiplikation mit einem 3. Vektor: ( a
→× b
→) × c
→≠ a
→× ( b
→× c
→)
Beispiele:
1.) Geg.: a
→= b
→= b
→F = 4·4 - 1·2 = +14 a
→2.) Geg.: a
→= b
→= a
→F = 4·(-2) - 1·2 = -10 b
→1 2
a a
1 2
b b
1 1
2 2
a b
a b
4 1
2 4
4 1
2 2
−
3.) Geg.: a
→= b
→=
b
→a
→F = 4·2 - 1·(-2) = +10
(B) Das Vektorprodukt im dreidimensionalen Raum
Unter dem Vektorprodukt zweier Vektoren a
→und b
→versteht man den Vektor c
→= a
→× b
→mit den folgenden Eigenschaften:
1.) c
→⊥ a
→und c
→⊥ b
→2.) |c|
→= |a
→× b
→| = |a
→|·|b
→|·|sin( α )|
3.) a
→, b
→, c
→bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
b
→c
→c
→b
→a
→a
→„Rechte-Hand-Regel“
Aus 2.) folgt:
(1) a
→× b
→= 0
→, wenn a
→= 0
→oder b
→= 0
→oder a
→, b
→kollinear, d.h. α = 0 oder π Wichtig ist die Umkehrung:
Ist das Vektorprodukt zweier Vektoren, von denen keiner Nullvektor ist, gleich null, so sind die Vektoren kollinear.
(2) Das Vektorprodukt wird maximal für a
→⊥ b
→, d.h. für α = ± π
/2 bzw. ± 90°.
(3) Der Betrag des Vektorproduktes im Raum ist gleich dem Betrag des Kreuzproduktes in der Ebene, also gleich der Fläche des von a
→, b
→aufgespannten Parallelogramms.
4 1
2 2
−
Rechengesetze:
1.) Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ: a
→× b
→= - b
→× a
→(siehe Kreuzprodukt in der Ebene) 2.) Das Assoziativgesetz
a) gilt bei Multiplikation mit einem Skalar: k·( a
→× b
→) = ( k· a
→) × b
→= a
→× ( k· b
→) b) gilt nicht für ein Produkt von drei Vektoren: ( a
→× b
→) × c
→≠ a
→× ( b
→× c
→)
Beispiel mit Einheitsvektoren im Kartesischen Koordinatensystem: e
→x , e
→y , e
→z (e x
→
× e
→y ) × e
→y = e z
→
× e
→y = - e x
→
e
→z
Aber e
→x × ( e
→y × e
→y ) = e x
→
× 0
→= 0
→e
→y e
→x
3.) Distributivgesetz gilt:
( a
→+ b
→) × c
→= ( a
→× c
→) + ( b
→× c
→)
Beispiel mit Einheitsvektoren im Kartesischen Koordinatensystem: e
→x , e
→y , e
→z a
→= e
→x × ( e
→y + e
→z ) = ( e x
→
× e
→y ) + ( e x
→
× e
→z )
= e
→z + (- e
→y ) e
→z a
→- e
→y
e
→y e x
4.) Das Vektorprodukt in Koordinatendarstellung
Gegeben: a
→= = a x e
→x + a y e
→y + a z e
→z und b
→= = b x e
→x + b y e
→y + b z e
→z
Das Vektorprodukt erhält man, indem man die Komponentensumme a x e
→x + a y e
→y + a z e
→z mit der Komponentensumme b x e
→x + b y e
→y + b z e
→z ausmultipliziert:
a
→× b
→= a x b x ( e
→x × e
→x ) + a x b y ( e
→x × e
→y ) + a x b z ( e
→x × e
→z ) 0
→e z
→
- e y
→
+ a y b x ( e
→y × e
→x ) + a y b y ( e
→y × e
→y ) + a y b z ( e
→y × e
→z ) - e
→z 0
→e
→x
→ → → → → →
x y z
a a a
x y z
b b b
Drei Produktanteile sind Nullvektoren, die übrigen sechs Anteile verteilen sich auf x-, y- und z-Richtung mit jeweils zwei Anteilen, so daß das Produkt nach Ordnen wie folgt aussieht:
a
→× b
→= e
→x ( a y b z - a z b y ) + e
→y ( a z b x - a x b z ) + e
→z ( a x b y - a y b x ) =
Das Vektorprodukt läßt sich formal auch als dreireihige Determinante darstellen:
a
→× b
→= , die am einfachsten durch Entwickeln nach der ersten Zeile ausgerechnet werden kann.
Beispiel:
a
→= b
→=
a
→× b
→= = = = c
→Für eine Probe kann das Skalarprodukt benutzt werden;
das Skalarprodukt von a
→mit c
→sowie von b
→mit c
→muß 0 ergeben.
( Ist das eine absolut sichere Probe für die Richtigkeit von c
→?)
Beispiel mit Einheitsvektoren:
a
→= e
→x = , b
→= e
→y =
e
→x e
→y e
→z 0·0 - 0·1 0
c
→= a
→× b
→= 1 0 0 = 0·0 - 1·0 = 0 = e
→z 0 1 0 1·1 - 0·0 1
x y z
x y z
x y z
e e e
a a a
b b b
r r r
x y z
e e e
3 2 4
1 3 3
− − −
r r r
3 2 4
−
1 3
3
−
−
( 2)·( 3) 4·3 4·( 1) 3·( 3) 3·3 ( 2)·( 1)
− − −
− − −
− − −
6 5 7
−
1 0 0
0 1 0
y z z y
z x x z
x y y x
a b a b a b a b a b a b
−
−
−
3.2.8 Spatprodukt [ a
→b
→c
→] = ( a
→× b
→) · c
→Eigenschaften:
1.) Das Spatprodukt ist eine skalare Größe.
2.) Bilden die drei Vektoren a
→b
→c
→in dieser Reihenfolge eine Rechtssystem ( Linkssystem ), so ist ihr Spatprodukt positiv ( negativ ).
3.) Das Spatprodukt berechnet das Vorzeichen behaftete Volumen des Spats aus a
→b
→c
→: Ein Spat ist ein Körper mit sechs Flächen, die im
allgemeinen Fall Parallelogramme sind; die Winkel müssen also keine rechten Winkel sein.
4.) Sind die Vektoren a
→b
→c
→komplanar, ist ihr Spatprodukt null.
c
→b
→Rechengesetze:
1.) a 1 a 2 a 3 a
→[ a
→b
→c
→] = b 1 b 2 b 3
c 1 c 2 c 3
2.) Bei zyklischer Vertauschung der drei Vektoren ändert sich das Spatprodukt nicht:
[ a
→b
→c
→] = [ b
→c
→a
→] = [ c
→a
→b
→]
3.) Vertauschen von zwei Vektoren ändert das Vorzeichen:
[ a
→b
→c
→] = - [ b
→a
→c
→] = - [ a
→c
→b
→]
Beispiel:
a
→= , b
→= , c
→=
Volumen des von a
→b
→c
→aufgespannten Spats:
2 -1 3 2 -1
V Spat = 1 1 -2 1 1 = 2·1·3 + (-1)·(-2)·(-2) + 3·1·2 - 3·1·(-2) - 2·(-2)·2 - (-1)·1·3 -2 2 3 -2 2
= 6 - 4 + 6 + 6 + 8 + 3 = 25
2 1 3
−
1 1 2
−
2 2 3
−
n
i 1=
∑
3.3 Linearkombination / Koordinatenbasis 3.3.1 Linearkombination
Gegeben: Vektoren a
→1 , a
→2 , ... , a
→n Definition: x
→= λ i a
→i mit λ i ∈ IR
ist eine Linearkombination von a 1
→
, a 2
→
, ... , a n
→
, die λ i sind ihre Koeffizienten.
Durch die Koeffizienten werden die gegebenen Vektoren beliebig verlängert, verkürzt oder umgekehrt.
In der Ebene kann ein Vektor stets als Linearkombination zweier nicht paralleler Vektoren dargestellt werden, im IR n als Linearkombination von n Vektoren, die selbst untereinander linear unabhängig sind.
a
→2
a
→1 λ 1 a
→1
λ 2 a
→2 x
→3.3.2 Lineare Abhängigkeit
Definition: Die Vektoren a
→1 , a
→2 , ... , a
→n heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung λ 1 a
→1 + λ 2 a
→2 + ... + λ n a
→n = 0
→nur für λ 1 = λ 2 = ... = λ n = 0 gilt.
Sonst sind sie linear abhängig.
Geometrische Deutung:
Sind die n Vektoren linear unabhängig, kann keiner als Linearkombination der anderen Vektoren darge- stellt werden.
Z.B. in der Ebene:
Von zwei Vektoren, die nicht kollinear sind, kann keiner als Linearkombination des anderen dargestellt werden. Die Gleichung
λ 1 a
→1 + λ 2 a
→2 = 0
→ist für keine Werte von λ 1 und λ 2 erfüllt außer für λ 1 = λ 2 = 0 .
Bedingung für lineare Unabhängigkeit im dreidimensionalen Raum:
Gegeben:
a
→= , b
→= , c
→=
a
→b
→c
→sind linear unabhängig, wenn ihr Spatprodukt ungleich null ist, d.h. die Determinante a 1 b 1 c 1
D = a 2 b 2 c 2 ungleich null ist.
a 3 b 3 c 3
Ist D = 0, so liegen die drei Vektoren in einer Ebene. Dann kann jeder der drei Vektoren jeweils durch die beiden anderen als Linearkombination dargestellt werden.
Beispiel:
Gegeben a
→= , b
→= , c
→=
1 -2 3
D = 2 1 1 = 0 => a
→b
→c
→sind linear abhängig, sie sind komplanar.
0 3 -3
1 2 3
a a a
1 2 3
b b b
1 2 3
c c c
1 2 0
2 1 3
−
3 1 3
−
3.3.3 Koordinaten - Basis
Jedes n-Tupel von linear unabhängigen Vektoren a 1
→
, a 2
→
, ... , a n
→
bildet eine Basis im IR n . In der Ebene gibt es immer nur zwei linear unabhängige Vektoren,
im dreidimensionalen Raum immer nur drei usw.
Orthonormalsystem ( ONS )
n Vektoren a
→1 , a
→2 , ... , a
→n im IR n bilden ein Orthonormalsystem, wenn gilt a i
→
