Mathematik 1, Teil B
Inhalt:
1.) Grundbegriffe der Mengenlehre 2.) Matrizen, Determinanten
3.) Vektoren, Rechenregeln 4.) Komplexe Zahlen
5.) Lineare Gleichungssysteme
6.) Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik
7.) Vektoren, Anwendungen in der Geometrie
1. Grundbegriffe der Mengenlehre 2. Matrizen und Determinanten
2.1 Definitionen 2.1.1 Begriff der Matrix
Matrix A vom Typ (m,n) oder kurz A (m,n) nennt man ein System von m mal n Elementen, z.B. Zahlen (auch komplexe Zahlen), Funktionen, Differentialquotienten, Vektoren, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind:
← 1. Zeile
A = (a ij ) =
↑ 1. Spalte
Mit dem „Typ einer Matrix“ werden die Matrizen nach ihrer Zeilenzahl m und ihrer Spaltenzahl n klassi- fiziert. Eine erste Einteilung ergibt sich für
m ≠ n : rechteckige Matrix m = n : quadratische Matrix
2.1.2 Transponierte oder gestürzte Matrix A T
Aus der Matrix vom Typ (m,n) entsteht durch Vertauschen der Zeilen und Spalten die transponierte Matrix A T vom Typ (n,m). Für sie gilt:
(a ji ) T = (a ij ) Beispiel:
A = A T =
2.1.3 Nullmatrix 0
enthält als Elemente nur die Zahl 0
0 =
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
m1 m2 m3 mn
a a a ... a
a a a ... a
a a a ... a
. . . . .
a a a ... a
1 2 4 5 7 8
1 4 7 2 5 8
0 0 ... 0 0 0 ... 0 . . . . 0 0 ... 0
2.2 Quadratische Matrizen ( m = n )
A = A (n,n) =
Hauptdiagonale:
von links oben nach rechts unten, d.h. die Elemente a 11 , a 22 , ... , a nn Diagonalmatrix:
Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind gleich null a ij = 0 für i ≠ j
Spur einer Matrix:
= Summe der Hauptdiagonalelemente Sp(A) = a 11 + a 22 + ... + a nn Symmetrische Matrix:
Es gilt: A = A
T, a ij = a ji , d.h. jeweils zwei zur Hauptdiagonalen spiegelbildliche Elemente sind gleich.
Beispiel:
Antisymmetrische oder schiefsymmetrische Matrix wenn gilt: A = - A
TFür die Elemente gilt: a ij = - a ji für i ≠ j, a ij = 0 für i = j (die Hauptdiagonalelemente sind null) Jede quadratische Matrix kann in eine Summe aus einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix zerlegt werden:
A = A
s+ A
asmit A
s= ½ ( A + A
T), A
as= ½ ( A - A
T) Normale Matrix, wenn gilt: A
TA = A A
TEinheitsmatrix:
E = = (a ij ) mit a ij =
1 1 12 1n
21 22 2n
n1 n 2 nn
a a ... a a a ... a
. . . .
a a ... a
1 5 0 5 2 7 0 7 3
1 0 ... 0 0 1 ... 0 . . . . 0 0 ... 1
0 füri j für i = j
≠
1
Dreiecksmatrix:
1.) Rechte oder obere Dreiecksmatrix R ( engl. U von upper ) Alle Elemente unterhalb/links der Hauptdiagonalen sind null
R = ( r ij ) mit r ij = 0 für alle j < i
2.) Linke oder untere Dreiecksmatrix L ( engl. auch L von lower ) Alle Elemente oberhalb/rechts der Hauptdiagonalen sind null
L = ( l ij ) mit l ij = 0 für alle j > i
2.3 Vektoren
Matrizen vom Typ (m,1) heißen einspaltige Matrizen oder Spaltenvektoren der Dimension m.
Matrizen vom Typ (1,n) heißen einzeilige Matrizen oder Zeilenvektoren der Dimension n.
Mit Hilfe der Transponierung kann ein Spaltenvektor in einen Zeilenvektor umgewandelt werden.
Allgemein:
Spaltenvektor: Zeilenvektor:
2.4 Rechenoperationen mit Matrizen
2.4.1 Gleichheit zweier Matrizen A = (a ij ) und B = (b ij )
A = B, wenn A und B vom gleichen Typ sind und wenn a ij = b ij für alle i,j
2.4.2 Addition und Subtraktion von Matrizen ist möglich, wenn sie vom gleichen Typ sind.
Rechnung erfolgt elementweise: A ± B = (a ij ) ± (b ij ) = ( a ij ± b ij ) Beispiel:
Kommutativgesetz: A + B = B + A
Assoziativgesetz: ( A + B ) + C = A + ( B + C )
1 2
m
a a a
a
=
r
M
T
1 2 m
a r = (a , a , K , a )
1 3 7 3 5 0 4 2 7
2 1 4 2 1 4 4 0 8
− −
+ =
−
2.4.3 Multiplikation mit einer reellen oder komplexen Zahl z
Jedes Element der Matrix wird mit der Zahl z multiplziert z·A = z·( a ij ) = ( z·a ij )
Beispiel:
3·
Umkehrung: Ein Faktor, der in allen Elementen der Matrix enthalten ist, kann ausgeklammert werden.
Division durch eine reelle oder komplexe Zahl z = Multiplikation mit dem Kehrwert 1/z
2.4.4 Multiplikation zweier Matrizen ( Skalares Matrixprodukt )
Das Produkt A·B zweier Matrizen A und B läßt sich nur bilden, wenn die Spaltenzahl des linken Faktors gleich der Zeilenzahl des rechten Faktors ist.
Ist A vom Typ ( m,l ), muß B vom Typ ( l,n ) sein und das Produkt C = A·B wird vom Typ ( m,n ).
Mit A = ( a ij ), B = ( b jk ) und C = ( c ik ) gilt:
Ein Element c ik ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B.
A·B = = ( c ik ) = C; i = 1, 2, ... , m; k = 1, 2, ... , n
Beispiel:
A = B =
FALKsches Schema zur Durchführung der
Multiplikation: B
A C
c 22 = 2·2 - 1·1 + 4·3
1 3 7 3 9 21
0 1 4 0 3 12
=
− −
l ij jk j 1
a b
=
∑
1 3 7
2 1 4
1 0 1
−
−
3 2 5 1 0 3
−
3 2 5 1 0 3
−
1 3 7
2 1 4
1 0 1
−
−
12 26 11 15
3 1
−
−
Anmerkungen:
* Falls die beiden Produkte A·B und B·A gebildet werden können, ist im allgemeinen A·B ≠ B·A
Das Kommutativgesetz gilt nicht.
* Multiplizieren mit der Einheitsmatrix E:
A·E = E·A = A
Anwendung der Matrix-Multiplikation auf lineare Gleichungsssysteme:
Gegeben: System mit n Unbekannten x 1 , x 2 , ... , x n a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = c 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = c 2
M M M M a n1 x 1 + a n2 x 2 + ... + a nn x n = c n
Setzt man als sog. Koeffizientenmatrix A =
und die Spaltenvektoren X = und C =
so läßt sich das Gleichungssystem auch in der Form A·X = C darstellen.
Durch Verwendung der inversen Matrix A
-1zu A kann man die Werte der Unbekannten für verschiedene Konstantensätze c 1 , c 2 , ... , c n direkt durch Matrixmultiplikation finden.
1 1 12 1n
21 22 2n
n1 n 2 nn
a a ... a a a ... a
. . . .
a a ... a
1 2
n
c c
c
M
1 2
n
x x
x
M
n
i 1=
∑
n
j 1=
∑
2.5 Determinanten 2.5.1 Defintionen
Eine Determinante D ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix A zugeordnet ist.
Definition mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes:
D = det(A) = det( a ij )
=
= a ij A ij , i fest ← Entwicklung nach Zeile i
= a ij A ij , j fest ← Entwicklung nach Spalte j
Hierbei ist A ij die mit dem Vorzeichenfaktor (-1) (i+j) multiplizierte Unterdeterminante des Elements a ij , genannt „Adjunkte“ oder „Algebraisches Komplement“.
Unterdeterminante:
Eine Unterdeterminante (n-1)-ter Ordnung des Elements a ij einer Determinante n-ter Ordnung heißt die- jenige Determinante, die sich durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte aus A ergibt.
Beispiel:
A = A 12 =
Berechnung von Determinanten 2. Ordnung
D = = a 11 ·a 22 - a 12 ·a 21
Mit dieser Grundformel und dem Entwickeln nach Zeilen oder Spalten können grundsätzlich alle Determinanten berechnet werden. Allerdings gibt es andere schnellere Möglichkeiten.
11 1 2 1j 1n
21 22 2 j 2n
i1 i2 ij in
n1 n2 n j nn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
K K
K K
M M M M
K K
M M M M
K K
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
21 23
31 33
a a
a a
11 12
21 22
a a
a a
Berechnung von Determinanten 3. Ordnung
1.) Durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte Beispiel: Entwicklung nach der 1. Zeile
D =
= a 11 - a 12 + a 13
Die drei Unterdeterminanten 2. Ordnung müssen noch jeweils ausgerechnet und mit ihren Vorfaktoren multipliziert werden. Nach Ordnen und Zusammenfassen erhält man bei allgemeiner Rechnung ein Ergebnis, das sich schneller auch ergibt durch:
2.) Die Regel von SARRUS
D =
(+) (-)
D = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33
Die Regel von Sarrus ist nur auf Determinanten von 3. Ordnung anwendbar !!!
Determinanten 4. Ordnung und höher
Durch Entwickeln nach Zeilen oder Spalten wird die Ordnung der Unterdeterminanten solange ver- mindert, bis Unterdeterminanten 3. oder 2. Ordnung entstanden sind.
Einfacher ist meist das systematische Umformen mittels der Rechenregeln für Determinanten, z.B.
nach dem Gaußschen Algorithmus, mit dem Ziel, möglichst wenige oder gar keine Unterdeter- minanten tatsächlich noch ausrechnen zu müssen.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
22 23
32 33
a a
a a
21 23
31 33
a a
a a
21 22
31 32
a a
a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 12
21 22
31 32
a a
a a
a a
2.5.2 Rechenregeln für Determinanten
1.) Der Wert einer Determinante ist unabhängig von der Wahl einer Entwicklungszeile oder -spalte.
2.) Der Wert ist null, wenn
a) eine Zeile oder Spalte aus Nullen besteht
b) zwei Zeilen oder zwei Spalten gleich sind, evtl. bis auf einen Faktor
c) eine Zeile (bzw. Spalte) eine Linearkombination anderer Zeilen (bzw. Spalten) ist.
3.) Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn
a) die Zeilen mit den Spalten vertauscht werden: det(A) = det(A
T)
b) zu irgendeiner Zeile (bzw. Spalte) eine andere Zeile (bzw. Spalte) oder eine Vielfaches einer anderen Zeile (bzw. Spalte) addiert oder subtrahiert wird.
c) zu irgendeiner Zeile (bzw. Spalte) eine Linearkombination anderer Zeilen (bzw. Spalten) addiert oder subtrahiert wird.
4.) Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert das Vorzeichen der Determinante.
5.) Eine Determinante wird mit einer Zahl multipliziert, indem die Elemente einer einzigen Zeile (bzw. Spalte) mit dieser Zahl multipliziert werden.
6.) Multiplikation zweier Determinanten Gegeben: Matrizen A und B
det(A)·det(B) = det(A·B)
Beispiele zu den Rechenregeln:
Gegeben:
Matrix A =
Determinante durch Entwickeln nach der 1. Zeile ergibt
D = 1·(45 - 48) - 2·(36 - 42) + 3·(32 - 35) = -3 - 2·(-6) + 3·(-3) = 0 Determinante nach der Sarrus-Regel ergibt:
D = +45 +84 +96 -105 -48 -72 = 225 - 225 = 0
(1) Wird Zeile 2 von Zeile 3 subtrahiert, (2) Wird jetzt Zeile 3 zu Zeile 1 addiert, wird
erhält man D = D =
Nach Regel 2b) ist D = 0, weil zwei Zeilen gleich sind.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 3 3 3
4 5 6
4 5 6
3 3 3
n
i 1=
∏
2.5.3 Berechnung der Determinante mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus
Prinzip:
Durch Kombinieren von Zeilen nach den Rechenregeln wird systematisch eine obere/rechte Dreiecksma- trix erzeugt:
Anmerkung: Die Elemente der 2. bis n-ten Zeile haben nicht mehr die originalen Werte, sie sind durch einen oder mehrere Kombinationsschritte verändert.
Die Dreiecksmatrix wird durch mehrfaches Entwickeln nach einer Zeile (von unten nach oben) bestimmt.
Ihr Wert ergibt sich schließlich immer (wegen der Nullen im unteren/linken Dreieck) aus D = a ii = a 11 ·a 22 ·a 33 · ... ·a nn
Beispiele:
1.) Gegeben: Determinante 3. Ordnung D =
Umwandlung nach dem Gaußschen Algorithmus:
(1) Ist das Element a 11 gleich null, so wird
die erste Zeile mit einer anderen vertauscht: D = Anmerkung: Vorzeichen wechsel von D
durch den Zeilentausch
(2) Durch Kombinieren der ersten Zeile mit den anderen können in der 1. Spalte in der zweiten und allen weiteren Zeilen Nullen erzeugt werden. Hier muß nur noch das Element a 21 = 3 zu null wer- den. Dies geht durch die Rechnung: 2. Zeile + 3*1.Zeile.
Damit folgt: D =
(3) Damit auch die 2. Spalte der Dreiecksmatrix entspricht, muß das Element a 32 = -2 zu null
werden. Dies geschieht mit der Rechnung: D = 7*3. Zeile + 2. Zeile.
Anmerkung: Durch die Multiplikation der 3. Zeile mit 7 erhöht sich D um den Faktor 7. *)
11 1 2 13 1n
' ' '
22 23 2n
'' ''
3 3 3n
( n 1) nn
