Mathematik 1, Teil B

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Mathematik 1, Teil B

Inhalt:

1.) Grundbegriffe der Mengenlehre 2.) Matrizen, Determinanten

3.) Vektoren, Rechenregeln 4.) Komplexe Zahlen

5.) Lineare Gleichungssysteme

6.) Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik

7.) Vektoren, Anwendungen in der Geometrie

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Kap. 6: Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik

1. Einführung

Die sog. Wechselstromschaltungen sind Zusammenschaltungen von Bauelementen ( Widerstän- de, Kapazitäten, Induktivitäten, Übertrager, Transistoren usw.) mit Spannungs- und/oder Strom- quellen, die nur sinusförmige Wechselspannungen und -ströme erzeugen. Die Spannungen und Ströme in den Bauelementen können dann folgendermaßen dargestellt werden:

allgemeine Darstellung einer Wechselspannung mit reellen Zeitfunktionen

u(t) = û · sin(ωt + ϕu) = û · sin(α(t)) (6.1a)

oder u(t) = û · cos(ωt + ∼ϕu) = û · cos(~α(t)) mit ~α(t) = α(t) - π/2 (6.1b) α(t) bzw. ~α(t) ist ein Winkel, der mit fortlaufender Zeit t linear anwächst.

Der sinusförmige Verlauf kann mathematisch mit einer sin-Funktion oder mit einer cos-Funktion angegeben werden. Die wesentlichen Kenngrößen sind

• die Amplitude û

• die Kreisfrequenz ω bzw. die Frequenz f = ω/2π

• die Nullphase oder der Phasenwinkel ϕu ( bzw. ∼ϕu)

2. Einführung der Darstellung mit komplexen Zahlen als Ersatz für die reelle Schwingung u(t)

Die Berechnung von Wechselstromschaltungen ist mathematisch einfacher, wenn anstatt der sin- und cos-Funktionen die Darstellung mit komplexen Zahlen in Form der „komplexen Schwin- gung“ oder der „komplexen Amplitude“ verwendet wird. Wie in der Technik üblich, wird im folgenden statt des Zeichens „i“ für die imaginäre Einheit das Zeichen „j“ verwendet.

Den Zusammenhang zwischen der reellen Darstellung (6.1) und der komplexen Darstellung lie- fert zunächst die Eulersche Beziehung

cos(α(t)) = 1

2 ( e^j^α^(t) + e^-j^α^(t) ) (6.2a) sin(α(t)) = 1

j2( e^jα(t) - e^-jα^(t) ) (6.2b)

Darin stellen die Ausdrücke e^j^α^(t) und e^-j^α^(t) zwei komplexe Zahlen dar, die mit fortschreiten- der Zeit auf dem Einheitskreis links bzw. rechts umlaufen, siehe Kap.4. Ihre Ortsvektoren wer-

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den in der Elektrotechnik als „Drehzeiger“ bezeichnet. e^jα(t) und e^-jα(t) sind immer zueinander konjugiert komplexe Zahlen.

Bild 6-1

Der reelle Wert cos(α(t)) kann als die Hälfte der Summe

aus einem linksdrehenden Zeiger (+ω) und einem konjugiert komplexen rechtsdrehenden Zeiger (-ω) gebildet werden.

Ein entsprechendes Bild gibt es auch für sin(α(t)). Wie sieht es aus?

Nimmt man noch den Amplitudenfaktor û hinzu û cos(α(t)) = û 1

2 ( e^jα(t) + e^-jα(t) ) = 1

2 ( û e^jα(t) + û e^-jα^(t) ) (6.3) so läßt sich feststellen, daß die Kenngrößen der Wechselspannung sowohl in dem linksdrehenden als auch in dem rechtsdrehenden Zeiger enthalten sind. Daher kann man viele Rechenopera- tionen im Bereich der Wechselstromschaltungen vereinfachen, indem man nur den linksdrehenden Zeiger benutzt. Der Übergang von der reellen Zeitfunktion nach Gl.(6.1) auf die Drehzei- gerdarstellung ist dann keine Gleichung mehr, sondern eine Zuordnung:

û cos(α(t)) → û e^jα(t) = u(t) oder û cos(α(t)) = Re[ û e^jα(t) ] = Re[ u(t) ] (6.4a) û sin(α(t)) → û e^jα(t) = u(t) oder û sin(α(t)) = Im[ û e^jα^(t) ] = Im[ u(t) ] (6.4b)

Die Form u(t) = û e^jα(t) = û e^{j(ωt + ϕ}^u⁾ wird komplexe Schwingung genannt. (6.5)

Anmerkung: zu dem Drehzeiger û e^jα(t) kann entweder die reelle Schwingung u(t) mit der mathematischen cos-Funktion oder die reelle Schwingung u(t) mit der mathematischen sin- Funktion zugeordnet werden. Beide Möglichkeiten sind gleichwertig, man kann sich für eine frei entscheiden. Die gewählte Möglichkeit muß dann aber auch für die gesamte Schaltungs-

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Rechenoperationen mit Drehzeigern,

die die Rechnung mit der reellen Darstellung korrekt ersetzen können:

• Addieren und Subtrahieren von Drehzeigern gleicher (Kreis-)Frequenz

• Multiplizieren mit einem kontanten (auch komplexen) Faktor

• Dividieren von zwei Drehzeigern gleicher (Kreis-)Frequenz

• Differenzieren

• Integrieren

Rechenoperationen mit Drehzeigern,

die die Rechnung mit der reellen Darstellung nicht korrekt ersetzen können:

• Multiplizieren von Drehzeigern - führt auf Ergebnisse, die der Rechnung mit der reellen Darstellung nicht entsprechen

3. Reduzieren auf die komplexe Amplitude û

In linearen Wechselstromschaltungen, die nur Quellen mit ein und derselben Frequenz enthalten, haben alle Ströme und Spannungen eben diese gleiche Frequenz. Bei der mathematischen Behandlung mittels der Drehzeiger enthalten daher die komplexen Schwingungen aller Ströme und Spannungen den gleichen Faktor e^j^ω^t. Zum Beispiel für eine Wechselspannung:

u(t) = û e^{j(ωt + ϕ}û⁾ = û e^jωt e^{j ϕ}û = û e^{j ϕ}û e^jωt

Man kann daher aus allen Gleichungen den Faktor e^jωt herauskürzen.

Dann bleibt nur der Faktor

û e^{j ϕ}^u = û (6.6)

übrig. Dieser Faktor wird komplexe Amplitude genannt.

Die komplexe Amplitude enthält nur noch die Kenngrößen Amplitude û und Phase ϕu

Die Rechenoperationen

• Addieren und Subtrahieren von Drehzeigern gleicher (Kreis-)Frequenz

• Multiplizieren mit einem kontanten (auch komplexen) Faktor

• Dividieren von zwei Drehzeigern gleicher (Kreis-)Frequenz

können durch Verwendung der komplexen Amplituden noch weiter vereinfacht werden.

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4. Übergänge zwischen reeller und komplexer Darstellung

4.1 Übergang von der reellen zur komplexen Darstellung

Gegeben: eine sinusförmige Spannung in reeller Darstellung

(i) u(t) = û · sin(ωt + ϕu) (6.7a)

(ii) u(t) = û · cos(ωt + ∼ϕu) (6.7b) Darstellung als komplexe Schwingung:

(i) u(t) = û e^{j(ωt + ϕ}û⁾ = û e^{j(ωt +}^∼ϕû^{+ π/2)} (6.8a) (ii) u(t) = û e^{j(ωt +}^∼ϕû⁾ = û e^{j(ωt + ϕ}û^{- π/2)} (6.8b) Darstellung als komplexe Amplitude:

(i) û = û e^{j ϕ}û = û e^j(^∼ϕû^{+ π/2)} (6.9a) (ii) û = û e^j^∼ϕû = û e^j(^ϕû^{- π/2)} (6.9b)

Achtung: Der Phasenwinkel wird entsprechend der gewählten Zuordnung (sin-Funktion oder cos-Funktion zu komplexer Darstellung) direkt von der reellen in die komplexe Darstellung übernommen oder er muß vorher um +π/2 oder -π/2 korrigiert werden.

Beispiel

Gegeben: zwei sinusförmige Spannungen der selben Frequenz u₁(t) = 10V · sin(ωt + π/4) und u₂(t) = 12V · cos(ωt - π/3) Darstellung als komplexe Amplitude:

(i) û₁ = 10V e^{j π/4} und û₂ = 12V e^j^π/6 (ii) û₁ = 10V e^{-j π/4} und û₂ = 12V e^{-j π/3}

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4.2 Übergang von der komplexen zur reellen Darstellung

Gegeben: eine sinusförmige Spannung in der Darstellung als komplexe Amplitude û = û e^{j ϕ}^u

Darstellung als komplexe Schwingung:

u(t) = û e^{j(ωt + ϕ}^u⁾ Darstellung als reelle Schwingung:

(i) es gilt die Zuordnung: sin-Funktion zu komplexer Schwingung

u(t) = û · sin(ωt + ϕu) = Im[ u(t) ] (6.10a)

(ii) es gilt die Zuordnung: cos-Funktion zu komplexer Schwingung

u(t) = û · cos(ωt + ϕu) = Re[ u(t) ] (6.10b)

Die Zusammenhänge nach Gl.(6.10) können graphisch dargestellt werden:

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5. Anwendungsbeispiele

5.1 Summe/Differenz von zwei sinusförmigen Wechselspannungen

Gegeben: sinusförmige Spannungen u₁(t) = 10V sin(ωt + 75°) u₂(t) = 5V sin(ωt + 59°) Gesucht: Spannung u₃(t), so daß gilt: u₁(t) + u₃(t) = u₂(t)

• Stellen Sie zuerst u₁(t) und u₂(t) als komplexe Schwingungen dar und geben Sie die komplexen Amplituden û₁ und û₂ an!

• Tragen Sie û₁ und û₂ in die Gaußsche Zahlenebene ein, Maßstab 1V A 1cm.

• Ermitteln Sie die komplexe Amplitude û₃ grafisch!

• Ermitteln Sie die komplexe Amplitude û₃ durch Rechnung!

• Geben Sie u₃ als reelle Schwingung u₃(t) an!

Lösung:

komplexe Schwingung u₁(t) = 10V e^j(ω^t+75°) u₂(t) = 5V e^j(ω^t+59°) komplexe Amplitude û₁ = 10V e^j75°

û₂ = 5V e^j59°

û₃ eingetragen und abgelesen, û₃ = 0V -j 5,4V

Rechnung: û₃ = û₂ - û₁

û₁ = 10V (cos(75°) + j sin(75°)) = 10V (0,2588 + j0,9659) = 2,588V + j9,659V

û₂ = 5V (cos(59°) + j sin(59°)) = 5V (0,515 + j0,8572) = 2,575V + j4,286V

û₃ = -0,013V -j5,373V ≈ -j5,373V û₃ = 5,373V e^-j90°

u₃ als komplexe Schwingung: u₃(t) = 5,373V ej(ωt - 90°)

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5.2 Multiplikation von Zeigern

Durch einen Wechselstromwiderstand mit der Impedanz Z = (8 - j10)Ω fließt ein sinusförmiger Wechselstrom i(t) = 1,5A·cos(ωt) .

a) Gesucht ist die an der Impedanz Z auftretende Wechselspannung u(t). Angabe als reeller Zeitverlauf ! Hinweis zur Lösung durch Rechnung: die komplexe Amplitude der Spannung û ergibt sich aus der komplexen Amplitude des Stromes mit

û = Z î

b) Tragen Sie î , Z und û in die Gaußsche Zahlenebene ein!

Maßstäbe: 1A A 1cm, 2Ω A 1cm, 5V A 1cm

c) Wie groß ist der Anteil u_R der Spannung u, der mit dem Strom i in Phase (d.h. phasengleich) ist? Angabe durch die Amplitude û_R !

Lösungen:

a) komplexe Amplitude des Stromes: î = 1,5A·e^j0 = (1,5 + j0)A

komplexe Amplitude der Spannung: û = (8 - j10)Ω (1,5 + j0)A = (12 - j15)V Umwandlung in Exponentialform: | û | =

√

¹²²^{+ 15}² V = 19,2V

ϕu = arctan(-15/12) = - 51,34°

û = 19,2V e^-j51,34°

komplexe Schwingung: u(t) = 19,2Ve j(ωt - 51,34°) reeller Zeitverlauf: u(t) = 19,2V cos(ωt - 51,34°)

b)

c) û_R ist der Realteil von û also û_R = 12V