Institut f¨ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug
der Universit¨at zu K¨oln — WS 2019/2020 Alexander Klug
Mathematische Methoden f¨ur das Lehramt
10. ¨Ubung
Abgabe: Dienstag, 7. Januar 2020 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
29. Addition und Multiplikation in C 9 Punkte
Erl¨autern Sie die geometrische Bedeutung der komplexen Addition und Multiplikation in der komplexen Ebene. Welche Darstellung der komplexen Zahlen (Polarform, kartesische Form) bietet sich f¨ur welche Grundrechenart eher an?
30. Linearkombination 3+4=7 Punkte
Betrachten Sie die folgenden gew¨ohnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung:
(i) f(x) +f00(x) = 0 (ii)f(x) +f00(x) = 1, (iii) (f(x))2+f00(x) = 0.
Wir nehmen an, dass die beiden Funktioneng(x) undh(x) jeweils L¨osungen dieser Differential- gleichungen sind. Der genaue Ausdruck f¨urg(x) und h(x) ist hierbei nicht von Bedeutung. Im folgenden werden Linearkombinationen der Form
ag(x) +bh(x) mit a, b∈R betrachtet.
a) Zeigen Sie durch Einsetzen, dass diese Linearkombination ebenfalls eine L¨osung der Diffe- rentialgleichung (i) ist.
b) Zeigen Sie, dass diese Linearkombinationen im Allgemeinen keine L¨osung der Differential- gleichungen (ii) und (iii) ist.
31. Ged¨ampfte Schwingungen 3+7=10 Punkte Gegeben sei die Newtonsche Bewegungsgleichung f¨ur ein Teilchen der Massem an einer Feder mit der Federkonstanten kmit zus¨atzlicher Reibungskraft FR=−γx,˙ γ >0:
mx¨=−kx−γx˙
a) Zeigen Sie, dass im aperiodischen Grenzfallγ =ω (mitγ = 2mγ , ω=p
k/m) die allgemeine L¨osung gegeben ist durch
x(t) = (a1+a2t)e−γt mita1, a2 ∈R.
b) Im Folgenden wird k= 1 und m = 1 gesetzt. Die Anfangsbedingungen sind gegeben durch x(0) = 1 und ˙x(0) = 0. Wie lauten die L¨osungen x(t) f¨ur diese Anfangsbedingungen jeweils f¨urγ = 12,γ = 1 und γ = 2. Achten Sie hierbei auf den richtigen L¨osungsansatz. Skizzieren Sie x(t) f¨ur alle drei F¨alle in einem geeigneten Bereich.
32. Bremsweg 10 Punkte Ein Teilchen der Masse m bewege sich ausschließlich unter dem Einfluss der Reibungskraft FR=−γv,γ >0 mit v= ˙x. Die Bewegungsgleichung lautet somit
mv˙=−γv.
Bestimmen Sie damit zun¨achst die Geschwindigkeit v(t) und anschließend durch integrieren x(t). Die Anfangsbedingungen sind gegeben durch x(0) = 0 und v(0) = v0. Wie lang ist der Bremsweg? Wann kommt das Teilchen zum Stehen?
33. Grenzen des Wachstums 4+10=14 Punkte Eine Bakterienpopulation vermehrt sich durch Zellteilung. In einem kleinen Zeitintervall ∆t nimmt die Zahl der Bakterien n(t) zu um ∆n =rn∆t, wobei r >0 die Teilungsrate ist. Dies f¨uhrt auf die Differentialgleichung
˙ n=rn.
a) Bakterien der Spezies Escherichia coli verdoppeln ihre Populationsgr¨oße unter optimalen Bedingungen alle 20 Minuten. Bestimmen Sie aus dieser Angabe die Rater. Wie viele Nach- kommen hat eine einzelne Zelle nach 30 Stunden? Wenn jedes Bakterium 10−12g wiegt, wie groß ist die Masse dieser Population? Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Masse der Erde.
b) Tats¨achlich wird das Wachstum durch die verf¨ugbaren N¨ahrstoffe begrenzt. Um dies zu modellieren f¨uhren wir zus¨atzlich zur Teilungsrate r eine Sterberates ein, die proportional zu der Zahl der Bakterien ist,s(n) =σnmit einem Proportionalit¨atsfaktorσ >0. Dies f¨uhrt auf die logistische Gleichung
˙
n= (r−s(n))n=rn−σn2. (1)
Machen Sie den Ansatzn(t) =ertf(t), und l¨osen Sie die Differentialgleichung f¨urf(t) mittels Trennung der Variablen. Finden und skizzieren Sie die L¨osung von (1) mit Anfangsbedingung n(0) = 1. Welche Populationsgr¨oße stellt sich f¨ur lange Zeiten (t→ ∞) ein?
34. Parametrisierter Weihnachtsbaum 8 Bonuspunkte Finden Sie eine Parametrisierung eines Weihnachtsbaumes, deren Gestalt ¨ahnlich zu dem fol- genden Plot ist:
