a) Wie sieht die Rekursionsformel (4.6) f¨ur dieak hier aus? b) Bestimmen Sie eine explizite Darstellung f¨ur dieak im Falle a0 = 1

J. M¨uller SoSe 2018 05.06.2018

7. ¨Ubung zur Vorlesung Differenzialgleichungen

Abgabe: Bis Dienstag, 19.06.2018, 8:30 Uhr im Kasten E5 E-Geb¨aude

Haus¨ubungen

A25: (Hermitesche Differenzialgleichung) F¨ur λ∈C betrachten wir die Gleichung

x⁰⁰= 2tx⁰−λx.

a) Wie sieht die Rekursionsformel (4.6) f¨ur dieak hier aus?

b) Berechnen Siea₂, a₃, a₄ im Falle a₀ = 1, a₁ = 0.

A26: (Besselsche Differenzialgleichung) Gegeben sei die Gleichung

x⁰⁰ =−x⁰/t−x.

a) Wie sieht die Rekursionsformel (4.6) f¨ur diea_k hier aus?

b) Bestimmen Sie eine explizite Darstellung f¨ur diea_k im Falle a₀ = 1.

A27: a) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem zur Differenzialgleichung

x⁰⁰⁰−3x⁰+ 2x= 0.

b) Bestimmen Sie jeweils ein reelles Fundamentalsystem zu den Differenzialglei- chungen

x⁽⁴⁾±x= 0.

A28: Es seien D ⊂R×K^d offen, f ∈ C(D,K^d) und (u, v)∈ D. Zeigen Sie: Ist g :D → K×K^d definiert durchg(t, x) := (1, f(t, x)) f¨ur (t, x)∈D, so ist (ϕ, I) L¨osung des Anfangswertproblemsx⁰ =f(t, x),x(u) = v genau dann, wennI 3t7→(t, ϕ(t)) das Anfangswerproblem y⁰ =g(y), y(u) = (u, v) l¨ost.